Page282024-2025學年度12月學情調(diào)研試卷高三數(shù)學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿意（是虛數(shù)單位），則虛部為（）A. B. C. D.3.設(shè)平面對量，均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.北京時間2024年11月24日我國嫦娥五號探月飛行器勝利放射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，閱歷放射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動等11個關(guān)鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.48 B.0.32 C.0.82 D.0.685.兩個圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面綻開圖恰好拼成一個圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是（）A. B. C. D.6.等差數(shù)列各項均為正數(shù)，首項與公差相等，，則的值為（）A.6069 B.6079 C.6089 D.60997.已知函數(shù)，正實數(shù)滿意，則的最小值為（）A B. C. D.8.已知函數(shù)在上都存在導函數(shù)，對于隨意的實數(shù)，當時，，若，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分．9.若且，則下列結(jié)論成立的是（）A B. C. D.10.函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.B.C.對隨意的都有D.在區(qū)間上的零點之和為11.已知，是圓O：上兩點，則下列結(jié)論正確是（）A.若點O到直線的距離為，則B.若的面積為，則C.若，則點O到直線的距離為D.的最大值為，最小值為12.在正四棱錐中，，，點滿意，其中，，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值是B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，與所成角可能為D.當時，與平面所成角正弦值的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值為______．14.已知向量，在方向上投影向量為，則_______.15.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等分，以每條邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一次分形”；再用同樣的方法將所得圖形中的每條線段重復上述操作，這稱為“二次分形”；.依次進行“次分形”（）.規(guī)定：一個分形圖中全部線段的長度之和為該分形圖的長度.若將邊長為1的正三角形“次分形”后所得分形圖的長度不小于120，則的最小值是______.（參考數(shù)據(jù)：，）16.已知函數(shù)，令，當時，有，則______；若函數(shù)恰好有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為_________.四、解答題：本題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.在中，，，的對邊別為，，，若.（1）求角；（2）若，，求.18.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.19.如圖，在四棱錐中，底面，，．點在棱上，，點在棱上，．（1）若，為的中點，求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．20.如圖，半徑為1的光滑圓形軌道圓、圓外切于點，點是直線與圓的交點，在圓形軌道、圓上各有一個運動質(zhì)點，同時分別從點、起先逆時針繞軌道做勻速圓周運動，點，運動的角速度之比為2：1，設(shè)點轉(zhuǎn)動的角度為，以為原點，為軸建立平面直角坐標系．（1）若為銳角且，求、的坐標；（2）求的最大值．21.已知橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）若不過點的動直線與橢圓相交于，兩點，若，求證：直線過定點，并求出該定點坐標.22.已知函數(shù).（1）若在定義域內(nèi)單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，m，n分別為的極大值和微小值，求的取值范圍.2024-2025學年度12月學情調(diào)研試卷高三數(shù)學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合,再取交集即可得解.【詳解】由，可得，所以，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，則.故選：C.2.已知復數(shù)滿意（是虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算求得，進而求得，由此得解.【詳解】因為，所以，則，所以的虛部為.故選：A.3.設(shè)平面對量，均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】將兩邊平方，化簡后即可得，由此即可選出答案.【詳解】因為，所以“”是“”的充分必要條件，故選：C.4.北京時間2024年11月24日我國嫦娥五號探月飛行器勝利放射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，閱歷放射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動等11個關(guān)鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.48 B.0.32 C.0.82 D.0.68【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意干脆求解出橢圓的實半軸長和半焦距，進而求解.【詳解】由題意可知橢圓實軸長，所以，焦距，所以，所以橢圓的離心率，故選：D.5.兩個圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面綻開圖恰好拼成一個圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐母線長為，小圓錐半徑為、高為，大圓錐半徑為，高為，依據(jù)側(cè)面積之比可得，再由圓錐側(cè)面綻開扇形圓心角的公式得到，利用勾股定理得到關(guān)于的表達式，從而將兩個圓錐的體積都表示成的表達式，求出它們的比值即可.【詳解】設(shè)圓錐母線長為，側(cè)面積較小圓錐半徑為，側(cè)面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為、，則，得，因為兩圓錐的側(cè)面綻開圖恰好拼成一個圓，所以，得，再由勾股定理，得，同理可得，所以兩個圓錐的體積之比為：.故選：A.6.等差數(shù)列各項均為正數(shù)，首項與公差相等，，則的值為（）A.6069 B.6079 C.6089 D.6099【答案】A【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法化簡方程求出，由此得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為首項與公差相等，所以，因為，，所以，所以，所以，故選：A．7.已知函數(shù)，正實數(shù)滿意，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先推斷函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，從而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因為，所以，故函數(shù)關(guān)于對稱；又的定義域為，，所以由復合函數(shù)的單調(diào)性可推斷在上單調(diào)遞增；又，所以，即，又，故，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：B.8.已知函數(shù)在上都存在導函數(shù)，對于隨意的實數(shù)，當時，，若，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，探討奇偶性、單調(diào)性，從而比較大小得解.【詳解】令，因為時，，所以當時，，則在上單調(diào)遞減，因為的定義域為，又，則，所以，所以為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又，，，而，所以，即.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的解決關(guān)鍵是視察條件，構(gòu)造出，從而得解.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分．9.若且，則下列結(jié)論成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】舉例說明推斷AD；利用不等式性質(zhì)推理推斷BC.【詳解】對于A，取，滿意，此時，A錯誤；對于B，，由不等式性質(zhì)知，成立，B正確；對于C，當時，，當，，則，當時，，，則，于是，因此若且，則成立，C正確；對于D，取，滿意，而，D錯誤.故選：BC10.函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.B.C.對隨意的都有D.在區(qū)間上的零點之和為【答案】AB【解析】【分析】利用圖象求得函數(shù)的解析式，可推斷AB選項的正誤；計算的值，可推斷C選項的正誤；利用正弦型函數(shù)的對稱性可推斷D選項的正誤.【詳解】由題圖可知函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，把代入得，則，得，，，則AB選項均正確；，當時，，不滿意對隨意的都有，C錯誤；，，則共有個零點，不妨設(shè)為、、、，且，則，，兩式相加，整理得，故的全部零點之和為，D錯誤，故選：AB.11.已知，是圓O：上兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點O到直線的距離為，則B.若的面積為，則C.若，則點O到直線的距離為D.的最大值為，最小值為【答案】AC【解析】【分析】利用弦長公式判定選項A正確；先利用三角形的面積公式求出，再結(jié)合角的范圍判定選項B錯誤；利用數(shù)量積的計算公式求出，進而判定三角形的形態(tài)判定選項C正確；設(shè)，，且，利用幫助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)判定選項D錯誤.【詳解】對于A：易知圓：的半徑，因為點O到直線的距離，所以，即選項A正確；對于B：因為的面積為，所以，即，解得，因為，所以或，即選項B錯誤；對于C：因為，所以，即，即，因為，所以，即是邊長為1的等邊三角形，所以點O到直線的距離為，即選項C正確；對于D：由題意設(shè)，，且，則因為，所以，則，，，所以，即，即選項D錯誤.故選：AC.12.在正四棱錐中，，，點滿意，其中，，則下列結(jié)論正確的有（）A.最小值是B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，與所成角可能為D.當時，與平面所成角正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)向量關(guān)系可得為正方形內(nèi)的點(包括邊界)，設(shè)，依據(jù)正棱錐的性質(zhì)結(jié)合條件可得推斷A，依據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合條件可推斷B，依據(jù)線面角的求法結(jié)合條件可推斷C，利用坐標法表示出線面角，然后利用導數(shù)求最值可推斷D.【詳解】由，可得，其中，，所以為正方形內(nèi)的點(包括邊界)，在正四棱錐中，，，設(shè)，連接，則平面，，對A，由題可知，當重合時取等號，故A正確；對B，當時，，即，故在線段上，因為，所以三角形的面積為定值，而三棱錐的高為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對C，當時，，故在線段上，由題可知平面，故平面，所以為在平面內(nèi)的射影，，而在中，，所以，，故與所成角不行能為，故C錯誤；對D，當時，，故在線段上，如圖以為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)與平面所成角為，所以，設(shè)，，則，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是依據(jù)向量關(guān)系結(jié)合條件得到點的位置，然后結(jié)合條件利用立體幾何學問解決即得.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】【分析】由命題的否定轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．令，則解得，故實數(shù)的最大值為故答案為：14.已知向量，在方向上的投影向量為，則_______.【答案】【解析】【分析】利用投影向量公式即可得解.【詳解】因為在方向上的投影向量為，，所以，即，所以.故答案為：.15.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等分，以每條邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一次分形”；再用同樣的方法將所得圖形中的每條線段重復上述操作，這稱為“二次分形”；.依次進行“次分形”（）.規(guī)定：一個分形圖中全部線段的長度之和為該分形圖的長度.若將邊長為1的正三角形“次分形”后所得分形圖的長度不小于120，則的最小值是______.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【解析】【分析】依題意可得“每次分形”圖的長度可看成是首項為4，公比為的等比數(shù)列，從而可得到“次分形”圖的長度為，列出不等式，結(jié)合，即可求解．【詳解】依題意可得“次分形”圖的長度是“次分形”圖的長度的，由“一次分形”圖的長度為，所以“每次分形”圖的長度可看成是首項為4，公比為的等比數(shù)列，所以“次分形”圖的長度為，故，即，兩邊取對數(shù)得，所以，則，又，故n的最小整數(shù)值是．故答案為：．16.已知函數(shù)，令，當時，有，則______；若函數(shù)恰好有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為_________.【答案】①.0或②.【解析】【分析】分和兩種狀況，結(jié)合導函數(shù)推斷出函數(shù)單調(diào)性，求出零點；先得到0為的一個零點，再參變分別，構(gòu)造，只需有3個零點，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】當時，，即，當時，，令，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在恒成立，無解，當時，，即，故或，解得或或，但舍去，其余兩個滿意要求，當時，，故0為的一個零點，當時，令，當時，，當時，，令，當時，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故在時取得極大值，也是最大值，且，且當時，恒成立，畫出其圖象如下，要想有3個不同的零點，只需；故答案為：0或；四、解答題：本題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.在中，，，的對邊別為，，，若.（1）求角；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式、幫助角公式化簡即可得解；（2）依據(jù)三角形的面積公式及余弦定理即可得解.【小問1詳解】因為由正弦定理得：即，所以

即，故，由為三角形內(nèi)角可得，.【小問2詳解】，，由余弦定理，又，代入得.18.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由關(guān)系消得遞推關(guān)系，再構(gòu)造等差數(shù)列求通項；（2）由等差與等比數(shù)列特點分組求和.【小問1詳解】由①當時，，所以當時，②①②式相減得，即兩邊同除以得，，又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，則【小問2詳解】，可知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，19.如圖，四棱錐中，底面，，．點在棱上，，點在棱上，．（1）若，為的中點，求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)相像可得線線平行，即可由線面平行的判定求解，（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解線面角，即可求解.【小問1詳解】證明：過作的平行線交于，連接，，又，，，又，，為的中點，又為的中點，，又，又，，，且，四邊形是平行四邊形，，，平面，平面，平面【小問2詳解】以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，0，．，3，，，0，，，0，，3，，設(shè)，，，，0，，，，=，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，則，，平面的一個法向量為，，，設(shè)直線與平面所成角為，，，則20.如圖，半徑為1的光滑圓形軌道圓、圓外切于點，點是直線與圓的交點，在圓形軌道、圓上各有一個運動質(zhì)點，同時分別從點、起先逆時針繞軌道做勻速圓周運動，點，運動的角速度之比為2：1，設(shè)點轉(zhuǎn)動的角度為，以為原點，為軸建立平面直角坐標系．（1）若為銳角且，求、的坐標；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知條件求出，則利用正弦的兩角和公式可求出，從而可得，的值，進而可求得、的坐標；（2）依據(jù)題意得，，則，化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值.【小問1詳解】因為為銳角，所以因為，所以，所以，所以，所以，，所以，．【小問2詳解】因為點，分別運動的角速度之比為2：1，所以當點轉(zhuǎn)動的角度為時，轉(zhuǎn)動角度為，因此，．，所以當時，取得最大值，所以的最大值為．21.已知橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）若不過點的動直線與橢圓相交于，兩點，若，求證：直線過定點，并求出該定點坐標.【答案】（1）（2）證明見解析，該定點坐標為【解析】【分析】（1）依據(jù)直線與圓相切，由點到直線的距離公式即可求解，（2）聯(lián)立直