CD高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧：向量

基礎(chǔ)知識

一、向量的概念：

★（1）向量的概念：既有大小又有方向的量.向量常用有向線段來表示，注意不能說向量

就是有向線段，為什么？（向量可以任意平移）

★（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：6,注意零向量的方向是任意的；

★（3）單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量；

★（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量；

★（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量々、B叫做平行向量，記

作：a//b,規(guī)定零向量和任何向量平行；

★（6）位置向量：起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.

二、向量的幾何運(yùn)算：

1、向量的基本運(yùn)算：

★（1）向量的加法運(yùn)算：三角形法則和平行四邊形法則；

★（2）向量的減法運(yùn)算：三角形法則；（減數(shù)指向被減數(shù)）

★（3）實(shí)數(shù)與向量的乘積：實(shí)數(shù)4與非零向量［的積是一個(gè)向量，記作4工.

①丸>0,4也與。方向相同，長度為岡山|；

②4<0,X?。與a方向相反，長度為囚*|；

③丸=o,尤⑷=6.

2、向量的數(shù)量積：

★（1）向量的夾角：對于兩個(gè)非零向量［和如果以。為原點(diǎn)，作厲=2,礪=B,

那么射線0A與0B的夾角e叫做3和B的夾角，0的取值范圍是［0,%卜

f一—一f

★（2）向量的投影：b在。上的投影為|〃|cos。，。為向量。和b的夾角；

★（3）向量的數(shù)量積公式：〃石=W/cosO；（〃“二］4）

★★（4）的幾何意義：7坂等于其中一個(gè)向量。的模同與另一個(gè)向量區(qū)在向量々的

方向上的投影M|cos，的乘積.

★3、向量的夾角公式：。0$8=翳.

郵|

4、向量的平行與垂直：

★（1）向量的平行：a//b<^>a=A,b；

★(2)向量的垂直：aVb<^a.b=G.

★★5、平面向量分解定理：如果I和1是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的

任一向量“，有且只有一對實(shí)數(shù)/、丸2，使4=44+/^02.

6、三點(diǎn)共線:

★（1）平面上有A、B、C三點(diǎn),若麗=2豆則A、B、C三點(diǎn)共線;

★★（2）設(shè)麗、礪不平行，點(diǎn)P在A3上O存在實(shí)數(shù)九〃使得

OP=WA+/4OBJzLA+//=1（2,

三、向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算：

1、向量的坐標(biāo)表示：

★（1）i：x軸正方向單位向量，j：y軸正方向單位向量；

★（2）向量的坐標(biāo)表示：平面直角坐標(biāo)系中，以7,J為基底，則平面內(nèi)的任一向量［可

表示為a=xi+y/=（x,y）,稱（x,y）為向量a的坐標(biāo);

★(3)A(jq,y1),B(x2,y2)=>AB=(x2-xl,y2-y1).

2、向量的模：

★(1).=(%,凹)=>小Jxj+yj；

★(2)已知a=(X1,yJ,則。的單位向量4=

3、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

★(I)a=(%,yj3=(%,必)=>4±石=(%±馬，》土必)；

★(2)a=(x(,2e7?=>Aa=(2%1,)；

★(3)a=(xp),^=(x2,y2)=>a*b=x1x2+yxy2.

4、向量的平行與垂直：

★(1)向量的平行：4=(占，乂),〃=(》2，%),4//5<=>X義=%M；

★(2)向量的垂直：?=(%,,yl),Zj=(x2,y2),alZ><=>xlx2+y,y2=0.

5、定比分點(diǎn)：

★★(1)定比分點(diǎn)公式：已知4斗，必)、B?,%)是直線上任一點(diǎn)，且

；一百+4

A-

麗=4萬(4€尺/1力一1),令P(羽y),則：1+2；

X+儀

[y~~uT

X.+M

x=-----

★(2)中點(diǎn)公式：若點(diǎn)尸(x,y)為、8(工2，為)兩點(diǎn)中點(diǎn)，則丸=1=><；

V=2L±A

I2

★★(3)重心公式：若點(diǎn)G(x,y)為AABC重心，且A(X[,y)、B(x2,y2),C(x3,y3),

_xt+x2+x3

X~3-

則〈

V-X+力+)’3

y—

3

題型與方法

一、向量的概念與運(yùn)算(加法、減法'數(shù)乘)

【例1】在下列命題中：(1)若忖=忖，則2=分；(2)兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，

終點(diǎn)相同；(3)若A月=。C，則是平行四邊形：(4)若ABCD是平行四邊形，則A4=OC；

(5)若a=〃,〃=c,則4=<;；(6)若。〃〃,〃〃c,則“〃其中正確的是.

【難度】★

【答案】(4)C5)

【例2】已知3=(—4,5),分=(—2,4),則忤一葭.

【難度】★

【答案】6?

【例3】已知點(diǎn)A(l,3),B(4,-1),則與向量還同方向的單位向量為()

A.(?V)B.9一DC.(一|,D.(一本|)

【難度】★

【答案】A

【例4】已知3=(1,x),1=(4,2),若力九則實(shí)數(shù)x=_

【難度】★

【答案】-2

【例5】如圖：在梯形43co中，4。//3。且4。=,5。,

AC與8。相交

2

于。，設(shè)福=￡,DC^b,用￡石表示前，則的=—

—

B匕------------------------

【難度】★★

［答案】一4-42人■*

33

【例6】在直角坐標(biāo)系內(nèi)6(4,-3),6(一2,6),點(diǎn)P在直線Eg上，且|麻卜2|聲冏，求出P的坐

標(biāo).

【難度】★★

【答案】P(-8,15)

【鞏固訓(xùn)練】

1.判斷下列命題是否正確，并說明理由.

①若向量。與b同向,且⑷>步|,則a>b；

②若向量⑷=網(wǎng)，則。與萬的長度相等且方向相同或相反；

③對于任意|。|=步|,且。與b的方向相同，則a=b；

④向量a與向量b平行，則向量。與b方向相同或相反.

【難度】★

【答案】①不正確；②不正確；③正確；④不正確.

2.設(shè)無￡R,向量［=(尤,1)石=(1,—2),且Z1分,則|Z+B|=.

【難度】★

【答案】Vio

3.已知向量5=(%2,4+1筋=依4),若不〃人則實(shí)數(shù)Z的值是.

【難度】★★

【答案】左=0或2=1

3

4.已知A(3,—l),6(-4,—2),P是直線AB上一點(diǎn)，若2萬=3而，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【難度】★★

【答案】P(-y,-1)

5.有以下命題成立：設(shè)點(diǎn)P,Q是線段的三等分點(diǎn)，則有加+而=礪+礪.將此命題推廣,

設(shè)點(diǎn)4,&4,A是線段AB的六等分點(diǎn)則

0A+0A,+OAj+OA^+OA^[OA+OB^.

【難度】★★★

【答案】-

2

6.已知點(diǎn)P、。是AABC所在平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，且滿足AX+定=6,28+詼+西=配,

若\PQ\=A\BC\,則正實(shí)數(shù)2=.

【難度】★★★

【答案】-

2

二、向量的數(shù)量積

向量數(shù)量積運(yùn)算的基本方法：1、向量的分解；2、坐標(biāo)法：3、向量數(shù)量積的幾何意義.

【例7】已知向量2=(3,Y),3=(0,—1),則向量)在向量B的方向上的投影是

【難度】★★

【答案】4

【例8】平面向量々與B的夾角為60°,同=1,分=(3,0),則|2￡+母=.

【難度】★

【答案】V19

【方法】7=時(shí)

【例9】在邊長為1的正方形ABC。中，M為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，則

的最大值為___________

【難度】★★

3

【答案】-

2

【方法】向量的分解；坐標(biāo)法

【例10】已知A4BC的外接圓的圓心為。，AC=6,BC=7,AB=8,則AO-BC

【難度】★★★

【答案】一14

【方法】向量數(shù)量積的幾何意義

【鞏固訓(xùn)練】

1.在平行四邊形ABCD中，若網(wǎng)=2,阿卜l,N84O=60。，則福麗=.

【難度】★★

【答案】-3

2.已知向量［與向量坂，同=2,同=3,a,B的夾角為60,當(dāng)1＜相＜2,0＜2時(shí),

|ma+nb|的最大值為.

【難度】★★

【答案】2M

3.在&AA3C中，4B=AC=3,M,N是斜邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則加?麗的值為

【難度】★★

【答案】4

【方法】向量的分解：坐標(biāo)法

4.如圖，在圓O中，若弦AB=3,弦AC=5,則就?前的值是

【難度】★★

【答案】8

【方法】向量數(shù)量積的幾何意義

三、向量的應(yīng)用

(-)三點(diǎn)共線的應(yīng)用；

(-)三角形“四心”：

1.而+無+左=60G是A43c的重心.

2.而=〃國-+-4￡-)(/1H0)0/1經(jīng)過418。的內(nèi)心.

\AB\\AC\

3.1而月麗|=|歷|00為AABC的外心.

4.而屈=麗?壇=瓦?而=H為AABC的垂心.

【例11】已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于仞、N兩點(diǎn)，且

AM=xAB,AN=yAC,則WL的值為_________.

x+y

【難度】★★

【答案】-

3

【方法】三點(diǎn)共線

【例12]設(shè)1，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，通=(〃-1)1+[,近=%—21，a>0,b>0.

12

若4民。三點(diǎn)共線，則一+二的最小值是_______

ab

【難度】★★

【答案】4

【方法】平面向量分解定理，三點(diǎn)共線

UUUUUUUULB1

【例13】已知同一平面上的向量PA,PB,AQ,3Q滿足如下條件:

zuun

UUUUUUUABUUUuuuucuiiuuuutmiuuai

①；②-uta-+；③貝的最

|PA+P5|=|A8|=2[\AB\?8Q=0|AB+AQ|=|AB—AQ|,U|PQ|

大值與最小值之差是

【難度】★★

【答案】2

【方法】三角形“四心”

【鞏固訓(xùn)練】

1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,

AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若礪=〃?詢'，AC=nAN,則〃的值為

【難度】★★

【答案】2

【解析】取特殊位置，設(shè)〃與5重合，N與C重合，則加=〃=1,所以

m+n—2.

【方法】三點(diǎn)共線

2.已知點(diǎn)。是AABC的重心，內(nèi)角A、B、。所對的邊長分別為小氏c,且

2aOA+bOB+^^cOC=6^則角。的大小是.

3

【難度】★★

TT

【答案】-

3

【方法】三角形重心

易錯(cuò)題型

零向量、向量的夾角

【例1】己知點(diǎn)A(1,3),6(4,-1),則與AB共線的單位向量為

【難度】★

3434

【答案】

一,和(

5555

【解析】與向量％同向的單位向量為符

【易錯(cuò)點(diǎn)】①長度為1個(gè)單位的向量叫單位向量;②與向量々同向的單位向量為符。學(xué)生記憶時(shí)大

多會記得第二點(diǎn)，容易忽略反向的單位向量。

【變式訓(xùn)練】

1.與3=（8,-15）垂直的單位向量為

【難度】★

【答案】f-

（17

-

4

+

2.已知向量p其中5、b.%均為非零向量，則萬的取值范圍是

【難度】★★

【答案】[0,3]

【例2】設(shè)。為兩個(gè)非零向量Z、B的夾角，已知對任意實(shí)數(shù)，3+而的最小值為1,則（）

A、若e確定，則R唯一確定B、若e確定，則力唯一確定

C、若口確定，則。唯一確定D、若欠確定，則。唯一確定

【難度】★★

【答案】B

【解析】不妨設(shè)2=而，b=OB,過點(diǎn)8作。4的平行線/,設(shè)麗=E,則P點(diǎn)在/匕即

而=分+R,顯然當(dāng)而_L即時(shí)，OP最小。此時(shí)，OP=Wsin6（圖1）,或者而曰石卜出伍―夕）

（圖2）,即1=「卜也。，所以若。確定，則同唯一確定；若問確定，則。可能有兩解，故選8

【易錯(cuò)點(diǎn)】題目的難度在于未知量多，分析起來不好著手，容易犯錯(cuò)。這類向量的題型需要定量來

分析和求解。

【變式訓(xùn)練】

1.已知向量awe,卜1=1滿足：對任意，eR,恒有a-fe2。一e,則（）

A>a±eB、a_L（a-e）C、eJ_Q-e）D-（a+e）_L（a-e）

【難度】★★

【答案】C

2.已知3=（2,1）與至=（1,2）,要使歸+可最小，則實(shí)數(shù)f的值是

【難度】★★

4

【答案】--

5

3.已知。是向量。、B的夾角，且對任意的feR,相的最小值為1,則%=

【難度】★★

【答案】|sec^|

【例3】在AA8C中，過中線中點(diǎn)E任作一直線分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，設(shè)AM=xAB,

AN=yAC（xyw0）,則4x+y的最小值是

【難度】★★

9

【答案】-

4

【解析】山。為5c中點(diǎn)知訪=（而+；公，又戒=xQ,而="記孫。0）,E為AD

---1*1*1*I]

中點(diǎn)，故AE=—AD=—AM+—AN,-M.E、N三點(diǎn)共線，.?.一+—=1,.?.4x+y=

24x4y4x4y

（4x+y{—+—^^^+-+->21^--+-=-,當(dāng)且僅當(dāng)上=土，即x=3,y=3時(shí)取

'"14x4yJ4xy4Y4xy444xy8-4

等號。

【易錯(cuò)點(diǎn)】若次=4麗+4反（X、〃為常數(shù)），則A、B、。三點(diǎn)共線的充要條件是;1+〃=1。

【變式訓(xùn)練】

1.在AABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn)，AN=AAB+//AC,則4+〃的值

為______

【難度】★★

【答案】1

2.在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,

若AB=mAM,AC=mAN,則m+〃的值為

【難度】★★

【答案】2

3.已知等差數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若麗=4次+。200無，且A、B、。三點(diǎn)共線（該直

線不過原點(diǎn)。），則$200=

【難度】★★

【答案】100

4.已知在平面直角坐標(biāo)系中，4（—2,0）,3（1,3）,。為原點(diǎn)，且礪=。蘇+尸而（其中。+/?=1,

a,P均為實(shí)數(shù)），若N（l,0）,則麗的最小值是

【難度】★★

【答案】-V2

2

【例4】已知a,b,C分別為AA3C中NA,NB,NC的對邊，點(diǎn)G為A43C的重心，且

a-GA+bGB+cGC=O,則AA3C為（）

A、等腰直角三角形8、直角三角形C、等腰三角形。、等邊三角形

【難度】★★

【答案】D

【解析】???點(diǎn)G是A48C的重心，GA+GB+GC=0,又。?蘇+匕?而+c?文=6,

aGA+bGB-c^A+GB）^O.即（a—c屈+（。一0癡=6,vGA,而不共線，

a-c=h-c=O,即a=6=c,二AABC為等邊三角形，故選。

【易錯(cuò)點(diǎn)】運(yùn)用平面向量判定圖形形狀，主要是將“邊相等、邊平行、邊垂直”分別對應(yīng)轉(zhuǎn)化為“向

量的模相等、向量的平行、向量的垂直”等問題。

【變式訓(xùn)練】

1.已知。為A48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足方一歷=5三+無一2蘇，則AA8C一定是（）

A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形

【難度】★★

【答案】B

2.已知AABC,若對任意，eR,BA-tBC>AC,則A43C（）

A、必為銳角三角形B、必為鈍角三角形C、必為直角三角形D、答案不確定

【難度】★★

【答案】C

3.在A4BC中，若詬e=而.而'+互I而+而.無，則MBC是（）

A、等邊三角形B,銳角三角形C、鈍角三角形。、直角三角形

【難度】★★

【答案】D

4.已知非零向量A8與AC滿足正=。且普痣2則A4BC為（)

HM2

A、三邊均不相等的三角形8、直角三角形C、等腰非等邊三角形。、等邊三角形

【難度】★★

【答案】D

的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足

,則點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過AABC的（）

【答案】D

A3AC=-1回+同=0

解析BC-BC1J

|AB|COSJ3cosC

一、7

ACOB+OC

垂直，不妨設(shè)3C中點(diǎn)為"，則。P-=0P-0M=MP,

|A(^COSC2

可得MP與BC垂直，MP所在直線為的中垂線，故點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過A48C的外一心。、

ACABAC