突破點(diǎn)12立體幾何中的向量方法

核心提煉

提煉1兩條異面直線的夾角

(1)兩異面直線的夾角，J——-

(2)設(shè)直線的方向向量為S/,S2,則COS0=|COS<Sb62〉l=.----

提煉2直線與平面所成的角

(1)直線與平面的夾角ec(2)設(shè)直線/的方向向量為“，平面a的法向量為〃，則sin6

提煉3二面角的平面角

(1)如圖12-1①，AB,C￡>是二面角a-//的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面

角的大小9=---------

(2)如圖12-1②③，〃/,“2分別是二面角a-//的兩個(gè)半平面a,夕的法向量，則二面角

的大小。滿足cos0=、

真題回訪

回訪1直線與平面的夾角

1.(2015?全國(guó)卷II)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中,18=16,

3c=10,A4i=8,點(diǎn)E,尸分別在AiB,DICI±,AiE=D\F=4.

過(guò)點(diǎn)E,尸的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

求直線AF與平面a所成角的正弦值.

回訪2二面角

2.(2016?山東高考)在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓。的直徑，EF是

上底面圓0'的直徑，網(wǎng)是圓臺(tái)的一條母線.

(1)已知G,H分別為EC,尸3的中點(diǎn)，求證：G”〃平面ABC；

(2)已知比=尸8=/。=2小，AB=BC,求二面角R3C-A的余弦值.

熱點(diǎn)題型1向量法求線面角

＞例修(2016.全國(guó)丙卷)如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。，AD//

BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD,N為

PC的中點(diǎn).

⑴證明MN〃平面PAB-,

(2)求直線AN與平面所成角的正弦值.

熱點(diǎn)題型2向量法求二面角

卜例同(2016.全國(guó)乙卷)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，

面ABEb為正方形，AF=2FD,NAP￡>=90°,且二面角O-AF-E與二面角C-BE-F

都是60°.

⑴證明：平面A8EVJ_平面EFDC-,

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

熱點(diǎn)題型3利用空間向量求解探索性問題

》例圖如圖12-8,空間幾何體ABCOE中，平面ABC,平面BCD,平

?ABC.

(1)證明：AE〃平面BCO；(2)若△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，OE〃平面

ABC,且AO與BD,CD所成角的余弦值均為坐,試問在CA上是否存在一點(diǎn)P,

使得二面角P-BE-A的余弦值為乎.若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

A

鞏固提升：如圖所示，在多面體A8CDE中，平面ABC,BE//CD,AB=

2小，AC=4,BC=2,C￡>=4,BE=\.

(1)求證：平面ADCJ_平面BCDE-,

(2)試問在線段DE上是否存在點(diǎn)S,使得AS與平面ADC所成的角的余弦值

為平？若存在，確定S的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

學(xué)情分析

知識(shí)與技能目標(biāo)：

1、進(jìn)一步理解空間向量在立體幾何中的運(yùn)用。熟練運(yùn)用空間向量來(lái)

解立體幾何方面的題目。

2、利用向量解決立體幾何問題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法；

過(guò)程與方法目標(biāo)：

通過(guò)學(xué)生對(duì)空間幾何圖形的認(rèn)識(shí)，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利

用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將幾何問題代數(shù)化，提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力。

情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：

通過(guò)空間向量在立體幾何中的的運(yùn)用，讓學(xué)生感受空間向量作為

工具解決幾何問題的樂趣和意義，從而激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的熱情。

效果分析：

本節(jié)課是復(fù)習(xí)課教學(xué)，是一個(gè)讓學(xué)生參與討論、應(yīng)用解決問題、總結(jié)特點(diǎn)的復(fù)習(xí)過(guò)程,

所以在教學(xué)中我采取了學(xué)案教學(xué)法、學(xué)生分組討論合作探究、小組競(jìng)爭(zhēng)的教學(xué)法。通過(guò)“復(fù)

習(xí)一討論一總結(jié)一深化練習(xí)”的活動(dòng)過(guò)程，以講練結(jié)合，以練為主來(lái)完成整個(gè)教學(xué)過(guò)程。多

媒體輔助教學(xué)，不激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)向觀察、抽象概括、分析歸納的

邏輯思維能力，提高了課堂教學(xué)的有效性、生動(dòng)性。

教材分析

(1)理解直線的方向向量與平面的法向量。

(2)能用向量語(yǔ)言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。

(3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)。

(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了

解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。

評(píng)測(cè)練習(xí)

一、選擇題：

1.已知點(diǎn)A(-3,1,-4),則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()

(A)(-3,-1,4)(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)

2.在正三棱柱ABC—AfWi中，D是AC的中點(diǎn)，AB^BCp則平面DBJ與平面CBC1所成

的角為()

(A)30°(B)45°(060°(D)90°

3.設(shè)動(dòng)直線x=a與函數(shù)/(x)=2sin2(工+x)和g(x)=J^cos2x的圖象分別交于M、

4

N兩點(diǎn)，貝的最大值為()

A.41B.百C.2D.3

4.矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC—D,則

四面體ABCD的外接球的體積為（）

125125125125

------71------汽-----汽-----冗

A.12B.9C.6D.3

二、填空題：

5.將正方形ABC0沿對(duì)角線3。折成直二面角后，有下列四個(gè)結(jié)論：

（1）AC1BD.（2）AACO是等邊三角形；（3）A8與平面88成60。；（4）AB

與C。所成的角為60。.其中正確結(jié)論的序號(hào)為（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

三、解答題（共46分）

6.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=60°,對(duì)角線AC與

BD相交于點(diǎn)O,P0二6二、F分別是BC、AP的中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面PCD；

（2）求二面角A—BP—D的余弦值.

8.某組合體由直三棱柱ABC—AIIG與正三棱錐B-ACD組成，如圖所示，其中，

ABJ_BC.它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為2貶+i,1,2痣+i.

（1）求直線CAi與平面ACD所成角的正弦；

（2）在線段AG上是否存在點(diǎn)P,使平面ACD,若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不

存在，說(shuō)明理由.

課后反思

1、本節(jié)課采用各學(xué)習(xí)小組競(jìng)爭(zhēng)得分評(píng)出最優(yōu)小組的辦法（搶答得分，小組討論后回答得分，

小組討論后上黑板板書并講解得分的方法），充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。使本節(jié)課在學(xué)

生的自主學(xué)習(xí)過(guò)程中完成。比