圓與方程

一、選擇題：（3X12=36分）

1.方程*2+4+。戶2”+24+3-1=0表示圓，則a的取值范圍是（）

22

A.a<-2B.--<a<0C.-2<a<0D.-2<a<-

33

2.若兩圓（+/=01和x2+y2+6x-8y-ll=0有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.(一8,1)B.(121,+8)C.[1,1213D.(1,121)

3.過點M(3,2)作。0：/+/+4『2產(chǎn)4=0的切線方程是)

A.尸2B.5『12尸9二0

C.12矛-5廣26=0D.y=2或5xT2y+9=0

4.在圓(尸2)、(尸3)J2上與點(0,-5)距離最大的點的坐標(biāo)是)

A.(5,1)B.(4,1)

C.(V2+2,V2-3)D.(3,-2)

5.圓/+/-4產(chǎn)47*6=0截直線廠二5二0所得的弦長為()

5匹

A.76B.C.1D.5

2

6.到點A（-1,0）和點B（1,0）的斜率之積為T的動點P的軌跡方程是)

A.x+y=lB.x+y=l（x￥±l）

C.x+Al(xWO)D.尸Jl-I2

7.等腰三角形ABC,若一腰的兩個端點坐標(biāo)分別是A(4,2),B(-2,0),A頂點，則另一

腰的?個端點C的軌跡方程是()

A.x2+y2-8x-4y=0

B.x2+ly2-8x-4y-20=0(XH10,XH—2)

C.x?+y2+8x+4y-20=0(XH-2,XH10)

D.x2+y2-8x-4y+20=0(x-2,xwl0)

8.圓（x-3）2+（y+4）2=1關(guān)于直線x+y=O對稱的圓的方程是（）

A.(x+3)2+(y-4)2=1B.(x-4)2+(y+3)2=1

C.(x+4)2+(y-3).ID.(x-3)2+(y-4)'I

9.圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+l=O的距離為血的點共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.直線（x+l'+b（y+l）=O與圓1+/=2的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交或相切D.不能確定

11.已知方程x'+y'+4x—2y—4=0,則x'+y'的最大值是()

A.9B.14C.14-6D.14+6招

12.已知點M(a,b)(abWO)是圓內(nèi)一點，直線m是以點M為中點的弦所在直

線，直線，的方程是ax+by=r\那么()

A.m〃/且/與圓相交B.且/與圓相交

C.m〃，且/與圓相離D./J_m且/與圓相離

二、填空題：(4X4=16分)

13.已知圓C和，軸相切，圓心C在直線x—3y=0上，目.被宜線尸x截得的弦長為25，

則圓C的方程.

14.圓x2+yZ-2x+10y-24=0與圓x，y2+2x+2y-8=0的交點為A、B,則線段AB的垂直平分線的

方程是o

15.在圓x2+y2=4上，到直線4x+3y-12=0的距離最小的點的坐標(biāo)是.

16.在z軸上與點A(-4,1,7)植B(3,5,-2)等距離的點C的坐標(biāo)為。

三、解答題：(8X6=48分)

222

17.求以圓Ci：x+y-12x-2y-13=0和圓C2：x+y+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方

程.

18.如圖，已知直角坐標(biāo)平面上點Q(2,0)和gC：/+/=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|

的比等于尤.求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。

19.已知點力(0,2)和圓a(x—6)2+(>—4)2=￡，一條光線從1點出發(fā)射到X軸上后

沿圓的切線方向反射，求入射光線的方程。

20.已知圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；③

圓心到直線/：尸2尸0的距離為立，求該圓的方程.

3

21.一直線經(jīng)過點P(-3,--),被圓/+/=25所截得的弦長為8,

2

(1)求此弦所在的直線方程；

(2)(2)求過點P的最短弦和最長弦所在直線的方程

22.已知直線/：y=k(x-a)及圓0：x2+y=r2(a>r>0),直線/與圓0相交于A、B

兩點，求當(dāng)k變動時，弦AB的中點M的軌跡方程。

附加題：已知圓心一+/一6叩-2(幽-1)丁+10冽2_2加-24=0(蕨R),求證:

(1)無論勿為何值，圓心都在同一直線1上；

(2)任一條平行于1的直線，若與圓相交，則被各圓所截得的弦長都相等.

圓與方程答案

12345()789101112

DCDDABDBCCDC

13.(x-3)2+(y-l)2=3和@+3產(chǎn)+(y+l)23

14.2x+y+3=0

16.(0,0,—)

222

17.解：由圓Ci：x+y-12x-2y-13=0和圓C2：x"+y+12x+16y-25=0得公共弦所在直線的方

程為：4x+3y-2=0(1)由圓G、C2的圓心坐標(biāo)分別為(6,1)、(-6,-8)

得圓心兩點所在直線方程為：2土§=±±9即：3x—4y—14=0(2)

1+86+6

聯(lián)立(1)、(2)解得圓心坐標(biāo)：x=2,y=-2

由圓3的半徑為病，且圓心(6,1)到直線4x+3y—2=0的距離為：

|24+3-2|,------

d=匚，一！=5,所以所求的圓的半徑為尸=J5O—25=5

V？TT7

所求圓的方程為:(x-2)2+(y+2)2=25

18.解：如圖，設(shè)直線MN切圓于N,則動點M組成的集合是：P={M|MN|=J5|MQ|}.

因為圓的半徑|0N|=L所以|MN|2=|M0|2-|0N|2=|M0|2-I.

設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),

貝IJyjx2+y2-1=42y](x-2)2+y2

整理得(1-4)2+>2=7

它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為(4,0),半徑為J7

o-36

19.解：已知圓G(x-6)~+(y-4)^=—,關(guān)于x軸的對

366

稱的圓為a：(X—6)20+(>+4)20=、，其圓心的坐標(biāo)是(6,-4),半徑為-匕，由光的反

5V5

射定律知，入射光線所在直線方程與圓G相切。

設(shè)入射光線所在直線方程為：y-2=kx即：kx-y+2=Q

W+4+2|_6解得女=_2或A=_，

yll+k2V52

所以入射光線所在直線方程為：2x+y—2=0或x+2y-2=0

20.解：(法一)設(shè)圓P的圓心為P(a,b),半錨r,則點P到x軸，y軸的距離分別為

Ib|,Ia].由題意可知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90。，圓P截x軸所得的弦長為V2r,

21bl=揚，得r，,又圓P被y軸所截得的弦長為2,由勾股定理得?=a2+l,得2b2-葬1.

又因為P(a,b)到直線*-2尸0的距離為正，得(1="小L且，即有a-2b=±l

5V55

綜前述得12b2_/=]解得卜=_1,‘=1,于是苦=2/=2

[a-2b=\\a-2b--11力=-1g=l

所求圓的方程是(X+l)2+(y+l)2=2，或&-1)2+(>-1)2=2

(法二)設(shè)圓的方程為(工-〃)2+(y-b)2=產(chǎn)，

令x=0,^y2-2by+b2+a2-r2=0,

所以Iyi-丫21=《(y、+ya)?-4yly2=ylr2-a2=2,r2=a2+1

再令片0,可得一一201+〃2+/一產(chǎn)=。，

所以IX]-X2l=J(X]+X2)2_4X]X2=不產(chǎn)~~b2，得2一｝2=,

即/=2/，從而有2b2-養(yǎng)1.

又因為P(a,b)至直線x-2片0的距離為正，得d/"2j=后.艮哨a-2b=±l

5V55

綜前述得12/一/=1,12/-“2=1解得卜=-1,卜=1,于是'=29=2

[a-2b=\[a-2b=-1[/?=-1[b=1

所求圓的方程是(x+1y+(y+=2,或(x-l)2+(y-l)2=2

3

21.解：(1)設(shè)所求直線為y+2=k(x+3)

3

即kx—y+3k—2=0

.??此直線被圓截得弦長為8,圓的半徑為5

圓心到此弦的距離為3

==L3

即Jk*+1=3,.?.解得k=-4

故直線的方程為3x+4y+15=0

又直線x=-3也滿足條件

所以所求的直線為3x+4y+15=0和x=-3.