8.6.3.2平面與平面垂直的性質(zhì)

【新知初探】

要點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面

文字語言

的________,那么這條直線與另一個(gè)平面_________

符號語言acB=1,______,_________=>a_LB

圖形語言

J

【基礎(chǔ)1自)m

［判斷］

1.若平面平面￡,則平面。內(nèi)所有直線都垂直于平面￡.()

2.若平面平面￡,則平面。內(nèi)一定存在直線平行于平面￡.()

3.若平面a不垂直于平面￡,則平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面￡.()

［訓(xùn)練］

若平面aj_平面￡,平面￡1.平面人則()

A.a口丫B.a_L/C.。與r相交但不垂直D.以上都有可

能

【題型通關(guān)】

題型一垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

【例1】已知加，〃表示直線，*￡,7表示平面，給出下列三個(gè)命題：

(1)若an￡=加，nua,〃_)_勿，則n±￡；(2)若a_L￡,aAy=m,BCy

—n,則nl.ni；

⑶若/，a,〃_L￡,〃，則a_L￡.其中正確的命題為()

A.(1)(2)B.(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

跟蹤訓(xùn)練1若加，〃是兩條不同的直線，a,￡,7是三個(gè)不同的平面，則下列

命題中正確的是()

A.若/仁￡,aJ_￡,則ffl_LaB.若aCy=m,￡Ay=n,m//n,則

a〃

C若

/_L6,勿〃a,則a_L￡D.若a_Ly,aJL￡,則￡_L7

型

題二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用

度

角

1證明直線和平面垂直

I例

2］如圖所示，四棱錐2一/凡力中，底面力靦是/%8=60°且邊長為a

的菱形，側(cè)面必〃為正三角形，其所在平面垂直于底面/四，G為邊的中

點(diǎn).求證：

(1)式1平面PAD；

②)ADLPB.

角度2與面面垂直的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算問題

【例3】如圖，在四面體力靦中，平面力比」平面應(yīng)力，ABLBC,AC=AD=2,

BC=CD=\,求四面體力灰力的體積.

角度3面面垂直的性質(zhì)在探究性問題中的應(yīng)用

【例4】如圖1,在矩形第力中，4?=1,48=3,〃為"上一點(diǎn)，且0仁2M.

將△/血/沿4"折起，使得平面匕平面ABCM,如圖2,點(diǎn)夕是線段陰的中點(diǎn).

⑴求四棱錐〃一ABCM的體積；

(2)求證：平面初￡1平面4比骯

(3)過6點(diǎn)是否存在一條直線/,同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①上平面/比斷②AL/。請說明理由.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐［一比7?中，ABLAD,BCLBD,平面48區(qū)L平面比D

點(diǎn)￡,F(E與A,〃不重合)分別在棱4〃BD上,旦甌L被

求證：⑴如'〃平面48。；

ADA.AC.

題型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用

【例5】如圖所示，△力優(yōu)為正三角形，笈人平面46GBD//CE,且==。=

2劭，M是劭的中點(diǎn).

求證：⑴DE=DA；

(2)平面MILL平面ECA；

(3)平面〃劭，平面ECA.

【變式】本例條件不變，試求平面/應(yīng)與平面/8C所成二面角的大小.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐尸一/靦中，AB//CD,ABLAD,CD=2AB,平面必〃

，底面/靦，PALAD,￡'和歹分別是繆和民的中點(diǎn).

求證：⑴陽，底面48s

(2)應(yīng)'〃平面PAD；

(3)平面比7U平面PCD.

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.在空間中，下列命題正確的是()

A.垂直于同一條直線的兩直線平行B.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D.垂直于同一平面的兩條直線平行

2.已知互相垂直的平面。，?交于直線］,若直線勿，A滿足而〃a,則

()

A.m//1B.m//nC.z?±7D.mVn

3.如圖，點(diǎn)尸為四邊形力靦所在平面外一點(diǎn)，平面必。1.平面

ABCD,PA=PD,6為/〃的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不一定成立的是()

A.PELACB.PELBC

C.平面小_L平面ABCDD.平面陽口_平面PAD

4.如圖所示，三棱錐產(chǎn)一46。中,平面必6_L底面ABC,

且PA=PB=PC,則△力a'是—三角形.

5.如圖，在三棱臺ABC-DEF中,平面犯小平面ABC,ZACB=^O°,

BE=EF=FC=\,BC=2.

求證：6/L平面U

【札記】

參考答案

【新知初探】

交線

垂直

aua

a_L1

【基礎(chǔ)自測】

［判斷］

1.X平面。內(nèi)的直線也可能平行于平面￡或相交但不垂直.

2.V

3.V

［訓(xùn)練］

解析兩個(gè)平面都垂直于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，

故A,B,C都有可能，故選D.

答案D

【題型通關(guān)】

【例1】解析對于(1),依據(jù)線面垂直的判定定理，一條直線垂直于一個(gè)平面

內(nèi)的兩條相交直線，才能得到該直線與此平面垂直，而〃只與￡內(nèi)的一條直線加

垂直，不能得到〃，￡,故⑴不正確.對于(2),如圖所示，在長方體/四一/'

B'CD'中，平面〃D'，平面/比〃平面48。'D'與平面〃3'〃'的交

線為廣〃，與平面/靦的交線為力6,但CD'〃/笈故⑵不正確.對于⑶，

由于R_La,mLn,則n在平面a內(nèi)或〃〃a.若〃在平面a內(nèi)，由6可得a

J.￡；若〃〃a,過A作平面與a交于直線/,則〃〃/,由得/_L￡,從

而a_L￡.故⑶正確.

答案B

跟蹤訓(xùn)練1解析由線面平行、垂直的有關(guān)知識可排除A,B,D；對于C,因?yàn)?/p>

m//a,過/作平面7交a于〃，則加'〃勿，由于/_1_￡,故加',又加'

ua,則a_L￡,所以C正確.

答案C

【例2】證明(1)由題意知△必〃為正三角形，G是/〃的中點(diǎn)，.?.尸

又平面為〃，平面/比〃平面為〃n平面繆=/〃，2七平面必〃，

平面ABCD,由Bk平面48(%，：.PGLBG.

又?.?四邊形/頗是菱形且N的8=60°,

劭是正三角形，：.BGA.AD.

又ADCPG=G,AD,PGu平面必〃，

.?.8C_L平面PAD.

(2)由⑴可知6G_L/〃，PGLAD,BGCPG=G,BG,Pk平面P8G,

所以4a平面如C,

又PBa平面PBG,所以A9_L/^

【例3】解如圖所示，在平面/切內(nèi)過〃點(diǎn)作〃EL/&垂足為色故由平面

48CL平面力修，力。為交線，DFu平面ACD,知?dú)?_平面ABC,即加是四面體

48(力的面/8C上的高.

設(shè)G為邊切的中點(diǎn)，連接力G,則由AC=AD,知AGLCD,

從而AG=^A(^—C(}=^^22—=^^-

逅XI

,11/口AG?CD2V15

由〉。?郎=55?4G得DF=-T-=---=；.

乙乙zlCz乙X

在RtZX/a1中，AB=ylA"Bg=小,

=

S&ABC=~^B?BC^~.

I、氐

故四面體力題的體積卯=￡.

OO

【例4】⑴解由已知力=〃%￡是4獷的中點(diǎn),

：.DEVAM.

,：平面平面ABCM,平面ADMC平面ABCM—AM,DEu平面力〃肌

.?.龐，平面ABCM.

四棱錐〃一4比￥的體積以=[x]lX3—gxiXl)xgxq^=4g.

⑵證明由⑴可得，鹿平面力比弘DEu平面DEB,

，平面頌，平面ABCM.

(3)解過8點(diǎn)存在一條直線/，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①/<=平面4比肱②AL49.理由：

在平面力比"中，過點(diǎn)8作直線/,使/_L4Z

平面/平面ABCM,平面ABCMC平面ADM=AM,lu平面ABCM,

平面4W,

又Y/IZt平面ADM,

：.1LAD.

跟蹤訓(xùn)練2證明⑴在平面力劭內(nèi)，ABLAD,EFLAD,

則AB//EF.

'：ABa5F?ABC,EN平面砒,

...跖〃平面ABC.

(2)'JBCYBD,平面4被A平面比劭，平面/應(yīng)小平面比〃at平面比〃

.?.8C_L平面ABD.

?.3代平面C.BCLAD.

VAB±AD,BC,加平面的BCCAB=B,

平面ABC,

又ACa平面力8C,

，ADLAC.

【例5】證明⑴設(shè)朝a,如圖，作分'〃區(qū)交"于凡

則CF=DB=a.

因?yàn)閰^(qū)L平面力比；BCu平面/比；

所以BCLCE,所以〃4EC,

所以所=N歐+W=/a.

又因?yàn)楸弧芩浴?,平面力歐

因?yàn)?代平面ABC,所以DBLAB,

所以DA=平兩市=鄧a,

所以DE=DA.

⑵取。的中點(diǎn)爪連接楙；BN,則助脫若龍統(tǒng)血.

乙

所以四邊形物劭為平行四邊形，

所以MD//BN.

又因?yàn)楸?_1_平面Z8C,BAc平面ABC,

所以￡C_L剛所以反工的

又施=的，物為￡4的中點(diǎn)，

所以DMLAE.

因?yàn)椤暌?平面4仇7,AECEC=E,

所以〃心平面AEC,又Z!Jfc平面BDM,

所以平面做匕平面ECA.

⑶由⑵知〃區(qū)L平面AEC,

而〃W=平面DEA,

所以平面姐J_平面

【變式】解如圖延長口交%延長線于點(diǎn)/V,連接AV,設(shè)做=a,

由例題知，CE=AC=BC=AB=2a.

BD]

在△四V中，由笈=5知8為GV中點(diǎn)，

CE2

：.CB=BN=2a.

.?.△/員￥中，ZABN=120°,ZBAN=Z^=30°,

/.ZC4A^=90°,即陰

又比上平面48GA為u平面/8G

:.EC工NA,又On喈=C,CA,m=平面"E

...胡_L平面/綱又AE,"t平面小石

：.NALAE,NALAC,且曲，為平面力龐與平面的交線.

...N。夕為平面/應(yīng)與平面48c所成二面角的平面角，

在康△/方中，AC=CE,

/。￡=45°,

二平面4龍與平面/a'所成二面角的大小為45°.

跟蹤訓(xùn)練3證明(1)因?yàn)槠矫鏋椤╛1底面ABCD,且PALAD,平面為〃n平面

ABCD=AD,處u平面必〃

所以為_1_底面ABCD.

(2)因?yàn)?8〃切，CD=2AB,￡為勿的中點(diǎn)，

所以AB〃旭旦AB=DE.

所以四邊形力頗為平行四邊形.

所以BE//AD.

又因?yàn)橛钠矫鍼AD,ADa平面PAD,

所以龍〃平面用〃

⑶因?yàn)榍宜倪呅?頗為平行四邊形，

所以出工切，ADVCD.

由⑴知為，底面力靦，又Cg平面ABCD,

所以PALCD.又ADHPA=A,AD,PAa平面PAD,

所以切，平面PAD.又Pg平面PAD,所以CDLPD.

因?yàn)樯俸蜕俜謩e是繆和房的中點(diǎn)，

所以PD//EF.所以CDVEF.

又EFCBE=E,EF,BEu平面BEF,

所以5，平面BEF.

又CZt平面PCD,

所以平面頌，平面PCD.

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.解析A項(xiàng)中，垂直于同一條直線的兩直線可能平行、異面或相交；B項(xiàng)中，

平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能平行或相交；C項(xiàng)中，垂直于同一平面的兩個(gè)

平面可能平行或相交；D項(xiàng)正確.

答案D

2.解析因?yàn)椤