一、關(guān)于教學目的的確定：

對導數(shù)這個概念的理解可為今后高等數(shù)學的學習奠定基礎，但由于學生沒有學習過極

限概念，對導數(shù)概念及其定義的數(shù)學語言表述的理解比較困難，這種理解上的困難將影

響學生對后繼學問的學習，因此，我從學問、實力、情感等方面確定了本次課的教學目標。

1＞學問與技能：

通過大量的實例的分析，經(jīng)驗由平均改變率過渡到瞬時改變率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知

道瞬時改變率就是導數(shù)。

2、過程與方法：

①通過動手計算培育學生視察、分析\比較和歸納實力

②通過問題的探究體會靠近、類比、以已知探求未知、從特別到一般、數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學思想方法

3、情感、看法與價值觀：

通過運動的觀點體會導數(shù)的內(nèi)涵，使學生駕馭導數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的愛好.

二、關(guān)于教學過程的設計：

為了達到以上教學目的，在詳細教學中，依據(jù)“按部就班原則”，我把這次課分為三

個階段：“概念探究階段”「'概念建立階段”；“概念鞏固階段”。下面我將對每一階段

教學中支配解決的主要問題和教學步驟作出說明。

（一）”概念探究階段”

1,這一階段要解決的主要問題

在這一階段的教學中，由于留意到學生在起先接觸導數(shù)這個概念時，總是以靜止的觀

點來理解這個描述改變過程的動態(tài)概念，總覺得與以前學問相比，接受起來有困難，好像

這個概念是突然產(chǎn)生的，甚至于不明概念所云，故我在這一階段支配主要解決這樣幾個問

題：

①使學生從熟識的物理學問入手，以物體的平均速度改變趨勢的觀點無限靠近的思想

理解瞬時速度，從而發(fā)覺導數(shù)的過程；

②使學生形成對導數(shù)的初步相識；

③使學生了解學習概念的導數(shù)必要性。

2.本階段教學支配

我實行溫故知新、推陳出新的教學過程，分三個步驟進行教學。

①溫故知新

由于探討數(shù)列極限首先應對數(shù)列學問有一個清晰的了解，因此在詳細教學中通過對教

案中5個詳細數(shù)列通項公式的思索讓學生對數(shù)列通項公式這個概念產(chǎn)生回憶，指出以前探

討數(shù)列都是探討的有限項的問題，現(xiàn)在起先探討無限項的問題。然后引導學生回憶數(shù)列

是自變量為自然數(shù)的函數(shù)，通項公式就是以n為自變量的、定義域為自然數(shù)集的函數(shù)冊的

解析式。再引導學生回憶探討函數(shù)，事實上探討的就是自變量改變過程中，函數(shù)值改變的

狀況和改變的趨勢，并以第［2］的數(shù)列「'為例說明：當n=2、3、4、5時，對應的

!■、1、就說明自變量由2增加到5時，對應的函數(shù)值就由，減小到，這種改變狀況。

4816216

若問自然數(shù)n始終增加下去，函數(shù)a,,應怎樣改變下去，這就是探討改變的趨勢。

這樣利用通項公式就可把數(shù)列改變趨勢問題與函數(shù)值改變趨勢問題有機地結(jié)合起來，

引導學生從函數(shù)值改變趨勢的角度來看待例題中五個數(shù)列的變換趨勢。通過這種探討，在

對改變趨勢這個概念的理解上發(fā)揮心理學上所提“無意留意”的作用，使學生對進一步探

討的數(shù)列變換趨勢問題不至于太生疏。

②推陳出新

在對5個數(shù)列改變趨勢的分析過程中，通過引導，由學生探討得到數(shù)列（2）、（3）、

（5）的共同特征，近而向?qū)W生說明：“具有類似于數(shù)列（2）、（3）、（5）共性的數(shù)列稱為

有極限的數(shù)列，共性中的“趨近于一個確定的常數(shù)”稱它為有極限數(shù)列的極限”。并進一

步和學生探討如何給數(shù)列的極限下定義，此時我依據(jù)學生狀況賜予提示，給出數(shù)列極限概

念的描述性說明：當項數(shù)無限增加時，數(shù)列的項無限趨近于某一個確定的常數(shù)的數(shù)列稱為

有極限的數(shù)列，這個確定的常數(shù)稱為數(shù)列極限。

③劉徽及其《割圓術(shù)》的介紹

學生對數(shù)列極限概念有了肯定的相識，為了使學生相識到這個概念并不是突然產(chǎn)生

的，是和他們已有的學問結(jié)構(gòu)親密相關(guān)的，為此在第一階段我設計了這一部分教學。

我一方面介紹了我國古代數(shù)學家對數(shù)列極限思想所做的貢獻，如“在世界數(shù)學史上，

劉徽是最早運用這種數(shù)列極限的思想解決數(shù)學問題的大數(shù)學家。用這種指導思想計算圓面

積的方法，就稱為劉徽割圓術(shù).用類似劉徽割圓術(shù)的方法求出圓周率的近似值，雖然在公

元前3世紀的古希臘數(shù)學家阿基米德也算出過，但所用的方法卻比劉徽所用的方法繁雜的

多?！?/p>

在另一方面重點結(jié)合計算機模擬劉徽割圓術(shù)，介紹這種算法的指導思想：“割之彌細，

所失彌少。割之又割，以至于不行割，則與圓合體，而無所失矣”。通過課件動態(tài)演示，

進一步在“無意留意”作用的發(fā)揮上下文章，加深學生對“改變趨勢”、“趨近于”、“極限”

等概念的相識，為下一階段極限概念的教學供應對這個概念感性相識的基礎。

（二）“概念速立階段”

1.這一階段要解決的任務

由于數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學語言表述具有高度的概括性、抽象性，學生初次

接觸很困難。詳細講，在￡/語言中，學生搞不清￡的兩重性——肯定的隨意性、相對的

確定性；學生搞不清“N”，不太理解N的實質(zhì)是表示項數(shù)n無限增大過程中的某一時刻，

從這一時刻起，全部an（n>N）,都聚集在以極限值A為中心，￡為半徑的鄰域中，N是否存

在是證明數(shù)列極限存在的關(guān)鍵。

因此在這一階段的教學中，我實行“啟發(fā)式談話法”與“啟發(fā)式講解法”，留意不“一

次到位”，這樣在本階段我設計解決的幾個主要問題是：

①建立、理解數(shù)列極限的定義；

②相識定義中反映出的靜與動的辨證關(guān)系；

③初步學習論證數(shù)列極限的方法。

2.本階段教學支配

本階段教學支配分三個步驟進行。

①問題的提出

在教學支配上，我依據(jù)學生形成對數(shù)列極限的初步相識，以數(shù)列

“1234n”

2'n+T9…

為例，提出一個學生形成極限概念時不好回答的問題：依據(jù)數(shù)列極限定義直觀描述，這個

數(shù)列的極限是1,即當項數(shù)n無限增大時，這個數(shù)列的項無限地趨近于1,問題是為什么

不說這個數(shù)列的項無限地趨近于1.1,從而使學生發(fā)覺問題在于自己已獲得的數(shù)列極限概

念中“無限趨近于”這一描述，這種描述比較含混，感到有必要對極限定義做進一步精確

描述。

②問題的解決

詳細講，由于數(shù)軸上兩點的距離及其解析表示對學生來說是很熟識的，故我在教學

中利用數(shù)軸引導學生先得出結(jié)論：“趨近于”是距離概念，距離的解析表示是肯定值，“無

限趨近于”就可用距離要多小有多小來表示。即數(shù)列項與確定常數(shù)差的肯定值要多小有多

小。

然后讓學生通過詳細計算如：“思索已知數(shù)列中是否有到1.1的距離為0.01的項？”

使學生知道已知數(shù)列的項不能與1.1的距離要多小有多小，即1.1不是已知數(shù)列的極限，

從而使學生對“要多小有多小”這一概念有了進一步相識，并為量化|a「lI當項數(shù)無限增

加時要多小有多小打下基礎。

③數(shù)列極限定義的得出

在“檢驗'1'是否滿意：已知數(shù)列的項與1的差的肯定值是否要多小有多小”的教

學過程中，我實行“給距離找項數(shù)”的方法。

詳細講讓學生考慮已知數(shù)列中有哪些項與1的差的肯定值小于0.1、0.05、0.0011、

0.0001,讓學生把用計算器計算的結(jié)果在黑板上列表寫出并說明所得的結(jié)果，如提示學生

得出結(jié)論：“已知數(shù)列中第908項以后各項與1的差的肯定值小于0.0011?！边@種探討的

目的是使學生感受到“N”是項數(shù)n無限增大的過程中的一個標記，進而說明對于給定的

每一個正數(shù)，可找到N,當n>N時，幅尸1|小于這個正數(shù)。進而讓學生留意無論表示距離

的正數(shù)取的多么小，也不能說成''要多小有多小”，而把詳細值改為￡后即可解決這個問

題。

這樣通過探討，在我的引導下，使學生得到結(jié)論：“數(shù)列：

1234n

2'3'4"5'~n+\'■"

當項數(shù)無限增大時，它的項越來越趨近于1”，也就是數(shù)列：

1234n

2'4'5........n+T'

的極限為1,并進一步讓學生總結(jié)出一般數(shù)列的極限的精確定義。

（三）“概念鞏固階段”

1.本階段的教學支配

在這一階段的教學中我支配做兩件事情：

①說明N、￡、|a-A在探討數(shù)列極限時所起的作用；

②是習題訓練。

2.本階段的教學過程

依據(jù)上述說明，這一階段分為兩個步驟。

①定義說明

除了對極限概念予以說明外為了加深學生對數(shù)列極限概念中N、￡、|a廠A|<￡的相識，

我讓學生探討問題“隨意有極限的無窮數(shù)列能否使極限值為數(shù)列中的項”及“常數(shù)列是

否有極限”，當學生有困難時，可通過舉數(shù)列

0,-1,0,....工sin"...”

4162,"2

并提示其依據(jù)定義考慮問題。這樣使學生進一步體會由特別到一般再到特別的相識規(guī)律。

②習題訓練

在學生對數(shù)列極限定義的初步駕馭的基礎上，為鞏固學生所學，我讓學生作課本例1,

練習這道題目的在于總結(jié)上一階段得到數(shù)列極限的過程，同時讓學生熟識數(shù)列極限定義的

應用步驟；在此基礎上結(jié)合北大附中學生的特點我支配了例2,讓學生作這道題目的在于

通過對這道題的證明與探討可讓學生對等比數(shù)列｛1,q,q2,…q\…）收斂、發(fā)散性有一

個清晰的了解。在例2的處理手法上我讓學生先各抒己見，然后采納幾何畫板演示，驗證

同學猜想，從而激發(fā)學生的求知欲望。由于｛1,q,q2,…q\…｝和是今后學

23n

習過程中的常用數(shù)列，因此我覺得學生對例1、例2的駕馭的好壞將對后面的學習產(chǎn)生干

脆影響。

③補充說明

對于較好的班級，還可考慮用直角坐標系來代替數(shù)軸。由于數(shù)列是以自然數(shù)集子集

為定義域的特別函數(shù)，其圖象是離散的點.這使得數(shù)列的項與點（r）,f（n））,即點（n,aj對

應起來.當數(shù)列｛an｝有極限A時，在直角坐標平面內(nèi)的幾何意義為：任給正數(shù)￡,存在一個

以直線丫=4+￡和y=A-￡為邊界的條形區(qū)域，存