兩角和與差的正弦。教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生能用兩角差的余弦公式來推導(dǎo)出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解幾個公式

之間的聯(lián)系.

2.能靈活運用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明.

3.讓學(xué)生了解公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時滲透數(shù)學(xué)中常用的換元法、整體代換

法等重要思想.

教學(xué)重點與難點

重點：正確掌握兩角和與差的正、余弦公式.

難點：能夠靈活利用公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的求值、化簡和證明.

教學(xué)過程

二、建立模型

1.探究

已知cos(a—p)=cosacosp+sinasinp,則sin(a+p),sin(a—p)中的角及函數(shù)名

與cos(a+p)和cos(a一時有何關(guān)系？

通過誘導(dǎo)公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin(a+1=

推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索.

3.分析公式的結(jié)構(gòu)特征

SgS鄧中兩邊的加減運售符號相同，右邊為占B角的異名三角函數(shù)的乘積.應(yīng)特別

注意公式兩邊符號的差異.

三、解釋應(yīng)用

［例題一］

3itx

已知sina=—5,且a為第四象限角，求sin(4—a)cos(4+a)的值.

分析：本題主要訓(xùn)練公式S4與又+p的使用.

34

由sina=—3■及a為第四象限角，可求出cosa=H，再代入公式求值.

［練習(xí)一］

1.(1)已知sin(3O°+a)=±.6O°VaV15O°?求cosa的值.

5

194

2.在△ABC中?cosA=——tcosB=w,求cosC的值.

135

3.已知8)=1^.sin(a+0)=-3?求cos2/3的值.

L4133

4.已知sina=^?cosg=第匹(0?殳)?求a一夕的值.

分析：1.(1)強調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，a=(30°+a)-30°,再利用

已知條件求出cos(30°+a).

2.應(yīng)注意三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，C=TI—(A+B),再由誘導(dǎo)公式cos(7c—a)=—cosa,要求cos

C即轉(zhuǎn)化為求一cos(A+B).

3.應(yīng)注意分析角之間的關(guān)系，20=(a+p)—(a—p),因此，求cos20還應(yīng)求出sin(a—P)和cos

(a+p).解此題時，先把a+B與a—0看成單角，然后把2(3用這兩個單角來表示.

4.該題是在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：(1)求出a+0角的某個三角函數(shù)

值.(2)確定角的范圍.(3)確定角的值.其中，求a+p的某個三角函數(shù)值時，應(yīng)分清是求cos(a-p)

還是求sin(a—P).

已知向量OP=(3,4),若將其繞原點旋轉(zhuǎn)45。到。一的位置，求點P(X、/)的坐標(biāo).

解：設(shè)NxOP=a,IOPI=5,

34

??cosot^n,since_3、).

叵

Vx,=5cos(a+45°)=5(cosacos45°—sinasin45°)=-2,

7巫

y，=5sin(a+45°)=5(sinacos45°+cosasin45°)=2,

a7巫

:.pf-T,"2".

已知向量OP=(4,3),若將其繞原點旋轉(zhuǎn)60。，一135。到OP1，的位置，求點P1，P2的坐

標(biāo).

［例題三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值.

1?

(1)y=2cosx—2sinx.

(2)y=3sinx+4cosx.

(3)y=asinx+bcosx,(ab0).

注：(1),(2)為一般性問題，是為(3)作鋪墊，推導(dǎo)時，要關(guān)注解題過程，以便讓學(xué)生充分理解

輔助角(P滿足的條件.

(3)解：考查以(a,b)為坐標(biāo)的點P(a,b),設(shè)以O(shè)P為終邊的一個角為(p,則

a.b

cos<p=―.sma>=—.

于是工+浸尸。-)二

J$+廬(cospsinz+sinyrosx)=

J及sin(1+.

其中.sin(p=—,卜.cos(p=一,".

Va2+b2Yy/a2+h2

，函數(shù)y=asinx+AcosJT的最大值為\/a2?最小值為一.

［練習(xí)三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值.

(1)y=cosx—sinx.

(2)y=sinx—sin(x+4)

(3)已知兩個電流瞬時值函數(shù)式分別是L=12sin(3t—45。)，L=10sin(cot+30°),求合成的正弦

波1=11+12的函數(shù)式.

四、拓展延伸

出示兩道延伸性問題，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，然后師生共同解決.

1.已知三個電流瞬時值的函數(shù)式分別為L=5sin(ot,12=6sin(cot—60°),I3MlOsin(rot+60°),求

它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式I=Il+l2+l3,并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期.

解i/=I1+上+八=13sinW+ZATTCOSmt=

27T-

sinutf4cosu'/=

yi8TJ

5/181sin(ivt+0.

其中.sincp=2*?ccsa>=-J』.可取cp=14°55'.