查補培優(yōu)沖刺04.二次函數與幾何的綜合壓軸題型一：二次函數與角度問題題型二：二次函數與相似（全等）題型三：二次函數與特殊三角形題型四：二次函數與特殊四邊形題型五：二次函數與定值、定點題型六：二次函數與幾何最值（范圍）題型七：二次函數與新定義幾何圖形題型一：二次函數與角度問題1.二次函數與角度綜合問題，常見類型：

1）特殊角問題：（1）利用特殊角的三角函數值找到線段之間的數量關系；（2）

遇到特殊角可以構造特殊三角形，如遇到45°構造等腰直角三角形，遇到30°、60°構造等邊三角形，遇到90°構造直角三角形。2）角的數量關系問題（1）等角問題：基于動點構造某個角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質、全等和相似的性質或構造圓，利用圓周角的性質來解決；（2）倍角問題：基于動點構造某個角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質、等腰三角形的性質、對稱、輔助圓等知識來解答；（3）角的和差問題：角度和為90度、45度等。例1．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數的圖像與軸交于點，且經過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內角是的兩倍，求點的橫坐標．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）①過點作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進而可得，求得直線的解析式為，設，則，進而表示出，最后根據二次函數的性質即可求解．②根據已知，令，，在上取點，使得，得出，然后根據，設，．進而分兩種情況討論，ⅰ當時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數的圖像與軸交于點，且經過點和點∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點作軸平行線分別交、于、．∵，當時，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設，，，當時，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點，使得，∴，設，則，則，解得，∴，即．如圖3構造，且軸，相似比為，又∵，設，則．分類討論：ⅰ當時，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．ⅱ當時，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．綜上所示，點的橫坐標為2或．【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，待定系數法求二次函數解析式，線段長的最值問題，相似三角形的性質與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．變式1．（2024·江蘇揚州·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知拋物線的頂點坐標為，與x軸分別交于點A，B．連接，點D是線段上方拋物線上的一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在點D運動過程中，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，在點D運動過程中，連接交于點E，點F在線段上，連接，若，求點F橫坐標的最大值．

【答案】(1)(2)1(3)【分析】本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質與判定，勾股定理，一次函數與幾何綜合：（1）把拋物線設為頂點式即可得到答案；（2）先求出，進而求出直線解析式為；如圖所示，過點D作軸，交于E，設，則，可得；進而得到，據此可得答案；（3）利用勾股定理得到，，，則，可得，利用三角形外角的性質證明，進而證明，得到，設，則，可得，則當時，有最大值，最大值為1，即點F的橫坐標的最大值為．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，∴拋物線解析式為；（2）解：在中，當時，解得或，∴；設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為；如圖所示，過點D作軸，交于E，設，則，∴；∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為1；（3）解：∵，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，∴，∴，∴當時，有最大值，最大值為1，∴點F的橫坐標的最大值為．變式2．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在二次函數（m是常數，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求的度數；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內二次函數（m是常數，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結合函數的圖像，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2)(3)【分析】（1）分別令等于0，即可求得的坐標，根據，即可求得；（2）方法一：如圖1，連接AE．由解析式分別求得，，．根據軸對稱的性質，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如圖2，過點D作交BC于點H．由方法一，得，．證明，根據相似三角形的性質建立方程，解方程即可求解；（3）設PC與x軸交于點Q，當P在第四象限時，點Q總在點B的左側，此時，即．【詳解】（1）當時，．解方程，得，．∵點A在點B的左側，且，∴，．當時，．∴．∴．∵，∴．（2）方法一：如圖1，連接AE．∵，∴，．∴，，．∵點A，點B關于對稱軸對稱，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如圖2，過點D作交BC于點H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．（3）．設PC與x軸交于點Q，當P在第四象限時，點Q總在點B的左側，此時，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．【點睛】本題考查了二次函數綜合，求二次函數與坐標軸的交點，角度問題，解直角三角形，相似三角形的性質，三角形內角和定理，綜合運用以上知識是解題的關鍵．題型二：二次函數與相似（全等）相似三角形存在性問題：（1）若兩個相似三角形對應關系已知，則根據對應邊或對應角關系；①設點坐標；②表示線段長（或點坐標）；③列比例關系式求解；④將點坐標代入到滿足的函數關系中求解；（2）若兩個相似三角形對應關系末知，則需根據已知三角形分類討論三角形的對應邊關系，再由（1）中的步驟求解即可。全等三角形存在性問題：（1）若兩個全等三角形對應關系已知，則根據對應邊關系；①若三角形的邊長可以計算出來，則根據全等關系直接列式；②若已知三角形的頂點在拋物線上，并且可以表示出來，則將此頂點坐標代入拋物線解析式中列式。（2）若兩個全等三角形對應關系未知，則需根據已知分類討論兩個三角形的對應全等關系，再由（1）中的方法求解即可。例1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為，，其中（），且，與軸的交點為，直線軸，在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線、直線的交點分別為．(1)求拋物線的解析式；(2)當時，求面積的最大值；(3)當時，是否存在點，使以為頂點的三角形與相似？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，面積有最大值，為(3)、或【分析】（1）根據拋物線對稱性得到，再由得到，聯立方程組求解得到，，利用待定系數法確定函數解析式即可得到答案；（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直線：，根據在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線的交點為，分二種情況：①當在軸之間時；②當在軸右邊時；利用平面直角坐標系中三角形面積的表示方法，最后結合拋物線圖象與性質求解即可得到答案；（3）分兩種情況：點在上方；點在下方；當點在上方時，如圖所示，，當以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，當點在下方時，如圖所示，，當以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線，對稱軸為，拋物線與軸的交點分別為，，其中（），且，，，則，解得，，，將代入得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：由得：，設直線：，將，代入得，解得，直線：，在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線、直線的交點分別為，根據，，則分二種情況：①當在軸之間時；②當在軸右邊時；當在軸之間時，如圖所示：，，，，，拋物線開口向下，當時，有最大值，為；當在軸右邊時，過作軸，如圖所示：，，，，對稱軸為，，拋物線開口向上，則當時，隨著的增大而增大，即當時，有最大值，為；，當時，面積有最大值，為；（3）解：由（1）知，當時，，解得或，，當在上方，即時，如圖所示：，當以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；由（1）（2）可知，，，且，，當時，，，，即，解得（舍去）或；當時，，，，即，解得（舍去）或（舍去）；當在下方，即時，如圖所示：，當以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；由（1）（2）可知，，，且，，當時，，，，即，解得（舍去）或；當時，，，，即，解得（舍去）或；綜上所述，存在點，使以為頂點的三角形與相似，此時，、或．【點睛】本題考查二次函數綜合，涉及待定系數法確定函數關系式、二次函數圖象與性質、拋物線與三角形面積問題、拋物線與三角形相似、解一元二次方程等知識，熟記二次函數圖象與性質，掌握二次函數綜合題型的解法，分類討論是解決問題的關鍵．變式1．（23-24九年級·江蘇連云港·階段練習）如圖，在第一象限內作與軸的夾角為的射線，在射線上取一點，過點作軸于點．在拋物線上取一點，在軸上取一點，使得以為頂點的三角形與全等，則符合條件的點A的坐標是．

【答案】或或或【分析】此題應分四種情況考慮：（1）當，時；（2）當，時；（3）當，時；（4）當，時，利用特殊三角形三邊關系，根據三角形全等即可求解．【詳解】（1）當，時，

設，代入，解得：（舍去），，，，又，，，；（2）當，時，過點作軸，垂足為，由（1）得，，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，又，，；

（3）當，時，設，代入，解得：（舍去），，，，，，，；（4）當，時，過點作軸，垂足為點，由（3）得，，在中，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，又，，，，綜上所述，點A的坐標是或或或．【點睛】本題主要考查的是全等三角形的判定和性質以及二次函數圖象和性質，由于全等三角形的對應頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．題型三：二次函數與特殊三角形1）等腰三角形存在性問題處理技巧：需注意分類討論思想的應用，找準頂確與底角分類討論的關鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。2）直角三角形存在性問題處理技巧：需注意分類討論思想的應用，找準直角頂點是分類討論的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．

【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過點D作DM⊥OA于點M，設，由，解得，進而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據二次函數得性質即可得解；（3）先設出平移后頂點為，根據原拋物線，求得原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，進而得，再根據勾股定理構造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，

∵，∴二次函數的解析式為設，∵D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當m=時，，∴，∵，∴設將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對稱軸x=的左側，y隨x的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設平移后的拋物線為，則頂點為，∵頂點為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，∴，∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當p=3時，，當p=時，，∴點P坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數的圖像及性質，勾股定理，解直角三角形以及待定系數法求二次函數的解析式，熟練掌握二次函數的圖像及性質是解題的關鍵．變式1．（2021·江蘇宿遷·中考真題）如圖，拋物線與軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當∠CAQ=∠CBA45°時，求點P的坐標；(3)如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作軸的垂線交BC于點H，當△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【分析】（1）根據待定系數法解答即可；（2）求得點C的坐標后先利用勾股定理的逆定理判斷∠ACB=90°，繼而可得∠ACO=∠CBA，在x軸上取點E（2，0），連接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，進一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系數法分別求出直線CE與PQ的解析式，再與拋物線的解析式聯立方程組求解即可；（3）設直線AP交y軸于點G，如圖，由題意可得若△PFH為等腰三角形，則△CFG也為等腰三角形，設G（0，m），求出直線AF和直線BC的解析式后，再解方程組求出點F的坐標，然后分三種情況求出m的值，再求出直線AP的解析式，進而可求出點P的坐標，于是問題可求解．【詳解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，∴拋物線的解析式是；（2）令x=0，則y=2，即C（0，2），∵，，AB2=25，∴，∴∠ACB=90°，∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA，在x軸上取點E（2，0），連接CE，如圖，則CE=OE=2，∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，∴CE∥PQ，∵C（0，2），E（2，0），∴直線CE的解析式為y=-x+2，設直線PQ的解析式為y=-x+n，把點A（-1，0）代入，可得n=-1，∴直線PQ的解析式為y=-x-1，解方程組，得或，∴點P的坐標是（6，-7）；（3）設直線AP交y軸于點G，如圖，∵PH∥y軸，∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，∴若△PFH為等腰三角形，則△CFG也為等腰三角形，∵C（0，2），B（4，0），∴直線BC的解析式為，設G（0，m），∵A（-1，0），∴直線AF的解析式為y=mx+m，解方程組，得，∴點F的坐標是，∴，當CG=CF時，，解得：（舍去負值），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標是（，），此時點H的坐標是（，），∴PH=；當FG=FC時，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標是（3，2），此時點H的坐標是（3，），∴PH=2-=1.5；當GF=GC時，，解得或m=2（舍去），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標是（，），此時點H的坐標是（，），∴PH=；綜上，PH=或1.5或．【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、直線與拋物線的交點以及等腰三角形的判定和性質等知識，具有相當的難度，熟練掌握二次函數的圖象和性質、靈活應用數形結合的思想是解題的關鍵．變式2．（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于A、B兩點（A在B的左側），它的對稱軸l與圖象交于點P，直線所對應的函數表達式為(1)請直接寫出點P的坐標．(2)若為直角三角形，設直線與這個二次函數的圖象的另一個交點為Q．①求a、c的值與點Q的坐標；②若M為直線l上的點，且以M、B、Q為頂點的三角形是銳角三角形，請直接寫出點M的縱坐標t的取值范圍．

【答案】(1)(2)①，；②或【分析】（1）根據對稱軸公式可得到點P的橫坐標，代入可得出點P的坐標；（2）①根據題意可知，是等腰直角三角形，所以，由此可得出點A，B的坐標，聯立方程，可得出點Q的坐標；②由題意可知，，由兩點間的距離可得，分三種情況，當為直角時；當為直角時；當為直角時，根據勾股定理建立方程，求出t的值，進而可得出t的取值范圍．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線，∴點P的橫坐標為，∵直線的表達式為，當時，，；（2）①由拋物線的對稱性可知，，∴是等腰直角三角形，

設拋物線的對稱軸與x軸交于點E，則軸，，,,把代入得，，解得，∴拋物線的解析式為，令，解得或，當時，，；②由題意可知，，當為直角三角形時，分三種情況：當為直角時，，即，解得；當為直角時，，即解得；當為直角時，，即，解得或，∴當為銳角三角形時，t的取值范圍為或．【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了二次函數的解析式的求法，等腰直角三角形的性質與判定，利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系是解題的關鍵．題型四：二次函數與特殊四邊形1）平行四邊形存在性問題處理技巧：（平移或中點思想）關鍵：對角線互相平分，即對角線中點重合→中點公式。①當AB為對角線：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD；②當AC為對角線：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD；③當AD為對角線：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。2）菱形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構造等腰三角形，即鄰邊相等的點。3）矩形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構造證直角三角形，即鄰邊垂直的點。4）正方形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構造證等腰直角三角形的點。注意：“四邊形ABCD是....”和“以點A、B、C、D為頂點的四邊形是....”的區(qū)別，前者順序已定，后者可以隨機順序，需進一步討論。例1．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個簡單的經典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現新問題、新結論的重要方法，在數學學習和研究中，我們經常會用到類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關思想，解答下列問題．材料二：分類討論是一種重要的數學思想，也是一種解題策略，在數學中的應用相當多，它能使許多看似非常復雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數學問題時要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復、不遺漏，每次分類必須保持在同一標準．請閱讀上述材料，完成題目：如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），點的坐標為，與軸交于點，直線與軸交于點．動點在拋物線上運動，過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當點在線段上時，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是軸上一動點，點在運動過程中，若以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)；(2)存在．的最大值為；(3)點坐標為或或，．【分析】（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；（2）設，則，則，根據三角形面積公式得到，然后根據二次函數的性質解決問題；（3）先求出拋物線的對稱軸為直線得到，討論：當時，則，利用平行四邊形的性質得，從而得到此時點坐標；當時，由于點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，所以點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，設，則，然后把代入得，則解方程求出得到此時點坐標．【詳解】（1）解：拋物線經過點，點，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在．當，，解得，則，設，則，，，，當時，有最大值為；（3）解：拋物線的對稱軸為直線，，當時，則，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，點坐標為或；當時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，設，則，把代入得，解得，，此時點坐標為，，綜上所述，點坐標為或或，．【點睛】本題考查了二次函數的綜合題，二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和平行四邊形的性質；待定系數法求函數解析式；坐標與圖形性質；運用分類討論的思想解決數學問題是解題的關鍵．變式1．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交x軸于兩點，交y軸于點C，點P在線段上，過點P作軸，交拋物線于點D，交直線于點E．(1)，；(2)在點P運動過程中，若是直角三角形，求點P的坐標；(3)在y軸上是否存在點F，使得以點C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或【分析】（1）把代入，運用待定系數法解二次函數的解析式，即可作答．（2）因為，先排除一種情況，再進行分類討論，即和，分別列式計算，即可作答．（3）根據菱形性質，結合圖象性質，進行分類討論，即四邊形為菱形或四邊形為菱形，運用中點法列式，以及勾股定理，代入數值，進行計算，即可作答．【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象交x軸于兩點，∴把代入得解得∴故答案為：；（2）解：∵軸∴∴∵是直角三角形∴當時，∴∴∵對稱軸∴此時點P的坐標為∴當時，設的解析式為∴把代入∴得解得∴設點則∵∴∴∵∴則即解得（此時點E和點C重合，故舍去）∴點綜上或（3）解：存在，或如圖：依題意，當四邊形為菱形時，由（2）知的解析式為設點，∵四邊形為菱形∴即則由（2）知，此時∴∴即如下圖所示：如圖：依題意，當四邊形為菱形時∵點，∴即∵∴∴解得，（舍去）∴∴綜上或【點睛】本題考查了二次函數的幾何綜合，菱形性質，待定系數法解函數解析式，勾股定理，解直角三角形的相關性質，熟練運用分類討論思想以及數形結合思想是解題的關鍵．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為交軸于、兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)已知拋物線上點，以點為直角頂點構造，使點在軸上，點在軸上，為的中點，求的最小值；(3)為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的橫坐標為或或或【分析】（1）根據二次函數的頂點坐標列出關于、的方程組，求解即可；（2）證明，得到，設，求出點，，得到點，則，即可求解；（3）分三種情況：①若是斜邊，則；②若是斜邊，則；③若是斜邊，則，分別列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，∴，解得：∴拋物線的解析式為；（2）如圖，連接，∵拋物線的解析式為，，當時，得，∴，∴軸，即軸，過點作于點，過點作軸于點，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴，設，則，∴，，∴，，∵是的中點，∴，∵，軸，∴，在中，，，∴，∴當時，的最小值為；（3）∵拋物線交軸于、兩點，當時，得，解得：或，∴，，設，則，，∵、、、構成的四邊形是矩形，∴是直角三角形，①若是斜邊，則，∴，解得：，，（舍去），（舍去），此時點的橫坐標為或；②若是斜邊，則，∴，解得：或（舍去），此時點的橫坐標是；③若是斜邊，則，∴，解得：或（舍去），此時點的橫坐標為；綜上所述，點的橫坐標為或或或．【點睛】本題是二次函數綜合運用，考查了待定系數法確定解析式，矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，二次函數與坐標軸的交點，二次函數的最值，勾股定理，一元二次方程的應用等知識點，正確理解題意并分類求解是解題的關鍵．題型五：二次函數與定值、定點1.直線過定點：設點的坐標，用字母表示出直線的解析式，再分離變量，得到定點坐標或直線的橫（縱）坐標為定值。2.線段比值為定值、線段乘積為定值、線段和差為定值：設點的坐標，用字母表示出線段的長，尋找等量關系，在恒等變換中消去字母，得到定值。3.線段倒數和為定值：一種是與角平分線有關的純幾何問題，此時可通過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，利用面積法用兩種方式表示出三角形的面積，再通過恒等變換得到倒數和為定值，另一種是與拋物線的性質有關的代數問題（直線過交點），先設點的坐標，用字母表示出線段的長，利用根與系數的關系及恒等變換消去字母，得到定值。例1．（2024·湖北武漢·三模）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，頂點為．其中，．(1)直接寫出該拋物線的解析式；(2)如圖，在第三象限內拋物線上找點，使，求點的坐標；(3)如圖，過拋物線對稱軸上點的直線交拋物線于兩點，線段的中點是，過點作軸的平行線交拋物線于點．若是一個定值，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據待定系數法求解即可；（2）過點作軸于，過點作軸于，設點，由，得，列出關于m的方程即可求解；（3）設，直線的解析式為：，表示出，，結合是一個定值，求出t的值，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為，且經過點，∴解得，∴該拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過點作軸于，過點作軸于，則，∵，，∴，，把代入得，，∴，∴，設點，則，，∴，∵，∴，∴，即，整理得，，解得或（不合，舍去），∴；（3）解：設，設直線的解析式為：，∴，即，∴直線的解析式為：，設，由，得，即：，∴，∴=∵線段的中點是，∴，，∴，∴，∴，∴當時，即時，是定值，∴．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，掌握待定系數法，用參數表示一次函數的解析式和線段長時解題的關鍵．變式1．（2024·江蘇無錫·一模）如圖1，拋物線經過，兩點，作垂直x軸于點C．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點是拋物線上一點，滿足，求點的坐標；(3)若點P為拋物線上一點，且在第四象限內．已知直線，與x軸分別交于E、F兩點．當點P運動時，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)是定值，該定值為，理由見解析【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）分①當點D在直線的上方時與②當點D在直線的上方時兩種情況討論，對于前一種情況，可得軸，點A與點D重合，即可得解，對于后一種情況先求出與x軸的交點M，繼而利用待定系數法求出直線的解析式，再與拋物線解析式聯立求出點D的坐標即可；（3）求出拋物線與x軸的交點為和，設點P的坐標是，則，再用待定系數法分別求出直線和的解析式，從而求出點E與點F的坐標，繼而求出與，從而代入中化簡即可得解．【詳解】（1）解：拋物線經過，兩點，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為：；（2）①當點D在直線的上方時，如下圖所示：∵，∴軸，∵點A與點B對應函數值都是3，即軸，∴此時點A與點D重合，即；②當點D在直線的下方時，設與x軸交于點M，如下圖所示：∵，∴，∵垂直x軸于點C，，∴，，，設，則，在中，，即，解得：，∴，設直線的解析式是：，將點B、M代入得：，解得：，∴直線的解析式是：將直線的解析式與拋物線解析式聯立得：，解得：，或(舍去)，∴；綜上所述：點D的坐標是：，；（3）是定值，該定值為，理由如下．令，解得，即拋物線與x軸的交點是：和，設點P的坐標是，則，設直線的解析式是：，將點A、P代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，令，解得：，即，∴，設直線的解析式是：，將點B、P代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，令，解得：，即，∴，，∴．∴是定值，該定值為．【點睛】本題考查二次函數綜合題，涉及待定系數法，二次函數與x軸的交點，二次函數與幾何綜合，勾股定理等知識，運算量較大，掌握待定系數法、聯立方程組求函數交點的方法和數形結合思想是解題關鍵．變式2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側），點關于軸的對稱點為．(1)當時，求，兩點的坐標；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【答案】(1)點的坐標為，點的坐標為(2)或(3)是，【分析】(1)解方程組，整理得到，解方程即可得到答案．(2)分k＜0和k＞0，兩種情形求解．(3)設直線A的解析式為y=px+q，根據題意求得p，q的值，結合方程組的意義，確定與y軸的交點即可．【詳解】（1）根據題意，得，整理得到，解方程，得，當x=-3時，y=-9；當x=1時，y=-1；∵點在點的左側，∴點的坐標為（-3，-9），點的坐標為（1，-1）．（2）∵A，B是拋物線圖像上的點，設A（m，），B（n，），則（-n，），當k＞0時，根據題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個根，∴，設直線y=kx-3與y軸的交點為D，則點D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；當k＜0時，根據題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個根，∴，設直線y=kx-3與y軸的交點為D，則點D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；綜上所述，k的值為或．（3）直線A一定過定點（0，3）．理由如下：∵A，B是拋物線圖像上的點，∴設A（m，），B（n，），則（-n，），根據題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個根，∴，設直線A的解析式為y=px+q，根據題意，得，解得，∴直線A的解析式為y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直線A的解析式為y=（n-m）x+3，故直線A一定過定點（0，3）．【點睛】本題考查了拋物線與一次函數的交點問題，待定系數法，一元二次方程根與系數關系定理，對稱性，熟練掌握拋物線與一次函數的交點，及其根與系數關系定理是解題的關鍵題型六：二次函數與幾何最值（范圍）二次函數的幾何最值1（代數法）：引入新的變量，將所求的長度、面積、坐標等用新的變量表示出來，再運用二次函數的最值解決即可。二次函數的幾何最值2（幾何法）：將我們要求的線段、多線段和差的最值問題轉化為基本的幾何模型（將軍飲馬、胡不歸、費馬點、阿氏圓、瓜豆原理等）進行解決即可。例1．（2024·江蘇淮安·二模）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．(1)求點，的坐標；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)①的大小不變，理由見解析；②線段的長度存在最大值為【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標，把化為頂點式即可求得點的坐標；（2）①在上取點，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結論；②證，利用相似三角形的性質得即，解得進而利用二次函數的性質即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴頂點為，令，，解得或，∴；（2）解：①的大小不變，理由如下：在上取點，使得，連接，

∵，∴拋物線對稱軸為，即，∵將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，，，∴，，，∴，

∴是等邊三角形，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，又，∴是等邊三角形，∴，即的大小不變；②設，則，∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，∴，∴即，∴，∴當時，有最大值為．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像及性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質以及等邊三角形的判定及性質，題目綜合性較強，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．變式1．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，已知拋物線，點，在此函數圖象上，動點P位于點O、B之間的拋物線上（不與點O，B重合），過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．(1)如圖1，求該二次函數的解析式；(2)尺規(guī)作圖：當最大時，在圖2中作出此時的點P；(3)如圖3，連接OB，交直線AP于點M，直接寫出的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）用待定系數法求解即可；（2）作以線段為直徑的圓，作線段的垂直平分線角拋物線于點P，角圓于點Q，點P即為所求作的點；（3）作于點H，先證明點O在上，得，可知最大時，的值最大．作于點，則，要使最大，只要最大即可，在點Q在過圓心且與的垂線上．作交于點，交于點，則．然后求出，即可求出的最大值．【詳解】（1）把代入，得，∴，∴；（2）∵，∴，∴點Q在為直徑的上．設點Q到的距離為h，∵，∴，∴當最大時，最大，點Q在線段的垂直平分線上．如圖，作以線段為直徑的圓，作線段的垂直平分線交圓于點Q，連接交拋物線于點P，點P即為所求作的點；（3）作于點H，∵在上，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴點O在上，，∴，∵是定值，∴最大時，的值最大．作于點，則四邊形是矩形，∴，∴要使最大，只要最大即可，在點Q在過圓心且與的垂線上．作交于點，交于點，則．∴，，∴，∴．∵，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴的最大值為．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象與性質，圓周角定理，三角形的面積公式，勾股定理及其逆定理，矩形的判定與性質，三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．題型七：二次函數與新定義幾何圖形所謂的“新定義”型問題是指給出一個學生未學過的新規(guī)定，要求學生現學現用，將陌生的問題轉化成熟悉的問題，將非常規(guī)的問題轉化成常規(guī)問題，從而解決問題。很好的鍛煉了學生的閱讀理解能力、數學抽象、數學歸納、類比遷移、轉化等綜合創(chuàng)新能力，很好地體現了數學核心素養(yǎng)的考查。例1．（2024.成都市校考期中）【閱讀理解】定義：在平面直角坐標系中，點為拋物線的頂點，直線與拋物線分別相交于，兩點（其中點在點的右側），與拋物線的對稱軸相交于點，若記，則稱是直線與拋物線的“截積”．【遷移應用】根據以上定義，解答下列問題：如圖，若直線的函數表達式為．（1）若拋物線的函數表達式為，分別求出點，的坐標及的值；（2）在（1）的基礎上，過點作直線的平行線，現將拋物線進行平移，使得平移后的拋物線的頂點落在直線上，試探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）設拋物線的函數表達式為，若，，且點在點的下方，求的值．【分析】（1）聯立直線與拋物線的解析式求解，即可求出，的坐標，再求出點的坐標，利用新定義求出答案；（2）設平移后的拋物線的頂點坐標為，求出，聯立①②整理得，，求出，，，進而求出，即可求出答案；（3）由拋物線的函數表達式為①的頂點坐標為，得出，再求出，得出，聯立①②整理得，，設，，，，得出，，進而得出，即可求出答案．【解答】解：（1）直線的函數表達式為①，拋物線的函數表達式為②，聯立①②解得，或，，，，針對于直線，令，則，，拋物線的函數表達式為，頂點，，；（2）是定值，其值為；由（1）知，，，直線的解析式為①，設平移后的拋物線的頂點坐標為，拋物線的函數表達式為，平移后的拋物線的解析式為②，，，聯立①②整理得，，或，，，，，，即是定值，其值為．（3）拋物線的函數表達式為①的頂點坐標為，，，，，，直線的函數表達式為②，聯立①②整理得，，設，，，，，，，，，，或，拋物線的頂點在直線與拋物線的對稱軸交點的下方，且與直線相交于，兩點，拋物線的開口向上，，即．【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了新定義，待定系數法，解方程組，一元二次方程的根與系數的關系，用表示出的平方是解（3）的關鍵．變式1．（2024重慶中考模擬預測）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），已知點的橫坐標是2，拋物線的頂點為．（1）求的值及頂點的坐標；（2）點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉后得到拋物線，記拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點為，（點在點的右側）．當點與點重合時（如圖，求拋物線的表達式；（3）如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點，，，中任取兩點，若以取出的三點為頂點能構成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數”．當拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數時，求點的坐標．【分析】（1）將點代入，即可求出，把拋物線的解析式化為頂點式即可得出頂點坐標；（2）如圖1，連接，作軸于，作軸于，由，可得，，故拋物線的頂點的坐標為，即可得出拋物線的函數表達式為；（3）設點，如圖2，作軸于，軸于，于，根據旋轉可得：，進而可得：點的坐標為，點的坐標為，再分類討論即可得出答案．【解答】解：（1）由得，頂點的坐標為，點在拋物線上，，解得：；（2）如圖1，連接，作軸于，作軸于，根據題意，點，關于點成中心對稱，過點，且，在和中，，，，，拋物線的頂點的坐標為，拋物線由繞點旋轉后得到，拋物線的函數表達式為；（3）拋物線由繞軸上的點旋轉后得到，頂點，關于點成中心對稱，由（2）知：點的縱坐標為8，設點，如圖2，作軸于，軸于，于，旋轉中心在軸上，，點的坐標為，點的坐標為，根據勾股定理得，，顯然，和不可能是直角三角形，①當是直角三角形時，顯然只能有，根據勾股定理得：，，，解得：，，點的坐標為，；②當是直角三角形時，顯然只能有，根據勾股定理得：，，，解得：，，點的坐標為，，③當是直角三角形時，，，當時，，即，解得：，，點的坐標為，；當時，，即，解得：，，點的坐標為，；，，綜上所述，當拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數時，點的坐標為，或，或，．【點評】本題考查二次函數的綜合應用，圖形的翻折和平移，新定義“勾股伴隨同類函數”的理解與應用，二次函數的性質，二次項系數確定函數的形狀，形狀相同．開口方向相同則二次項系數相等，若形狀相同，開口方向相反，則二次項系數互為相反數，根據二次項系數和頂點坐標直接寫出二次函數的解析式是關鍵．課后訓練1.（2022·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數圖像上的兩個動點（點C在點D的左側），且．(1)求該二次函數的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)1(3)，，【分析】（1）二次函數與y軸交于點，判斷，根據，即二次函數對稱軸為，求出b的值，即可得到二次函數的表達式；（2）證明，得到，即，設，點D在第一象限，根據點的坐標寫出長度，利用求出t的值，即可，的值，進一步得出tan∠CDA的值；（3）根據題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質，求出對應點C的坐標即可?！驹斀狻浚?）解：∵二次函數與y軸交于點，∴，即，∵，即二次函數對稱軸為，∴，∴，∴二次函數的表達式為．（2）解：如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設：，點D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當時，，∴，，∴，∵在中，∴（3）解：存在，如圖，（2）圖中關于對稱軸對稱時，，∵點D的坐標為，∴此時，點C的坐標為，如圖，當點C、D關于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即，當點C在x軸上方時，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點C、D關于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設點C的坐標為，∴，，∴解得：，（舍），此時，點C的坐標為，當點C在x軸下方時，過點C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點C、D關于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設點C的坐標為，∴，，∴解得：（舍），，此時，點C的坐標為，綜上：點C的坐標為，，．【點睛】本題考查二次函數的綜合問題，運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．1．（23-24九年級上·浙江·階段練習）中，，，的對邊分別為，，，拋物線交軸于兩點，，交軸于點，其中的坐標是．(1)求證：是直角三角形；(2)若，求的值；判斷的三邊長能否取一組適當的值，使三角形為拋物線的頂點是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②能，當，，時，為等腰直角三角形【分析】（1）已知拋物線經過點，根據勾股定理可得為直角三角形．（2）由得出又可推出點的坐標，可求出與的等量關系式．令，可得，與的關系．【詳解】（1）證明：拋物線經過點，，，由勾股定理的逆定理得：為直角三角形；（2）解：如圖所示；即又，是方程的兩根，由知：在中，由勾股定理得，能．由知頂點過作軸于點則，，要使為等腰直角三角形，只需，，，又，，，當，，時，為等腰直角三角形．【點睛】本題考查的是二次函數的綜合運用以及等腰直角三角形的判定和三角函數的運用，難度較大．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點C與點B關于原點對稱，直線分別與y軸交于點E，F，點F在點E的上方，．

(1)分別求點E，F的縱坐標（用含m，n的代數式表示），并寫出m的取值范圍．(2)求點B的橫坐標m，縱坐標n之間的數量關系．（用含m的代數式表示n）(3)將線段繞點順時針旋轉，E，F的對應點分別是，．當線段與點B所在的某個函數圖象有公共點時，求m的取值范圍．【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據直線與y軸交于E，得到，根據點C與點B關于原點對稱，求得，得到，設直線的解析式為，將，代入得解方程即可得到結論；（2）根據題意列方程即可得到結論；（3）根據n與m的關系式為，得到在函數的圖象上，由旋轉得，，當在點B所在的函數圖象上時，解方程得到，根據線段與點B所在的函數圖象有公共點，列不等式組即可得到結論．【詳解】（1）由直線與y軸交于E，得，∵點C與點B關于原點對稱，，∴，由直線與y軸交于點F，得，即，綜上所述，，設直線對應的一次函數解析式為，將，代入，得：，解得，∴，同理；由點F在點E上邊知:，且，∴，即；

（2）由題意得，，整理得，；（3）∵n與m的關系式為，∴在函數的圖象上，由旋轉得，，當在點B所在的函數圖象上時，，解得，∵線段與點B所在的函數圖象有公共點，∴或，由旋轉得，且；∵或．∵，∴或．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了軸對稱的性質，旋轉的性質，待定系數法求函數的解析式，正確地求得n與m的關系式是解題的關鍵．4．（2023年四川省內江市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設（），可求，從而可求，即可求解；（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設，可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設（），，解得：，，，，，，，當時，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設，，，，，，解得：，；設直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經過，直線解析式為，當時，，

；綜上所述：存在，的坐標為或．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數解析式是解題的關鍵．5．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖1，二次函數與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．點坐標為，點坐標為，點是第一象限內拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為D，交直線于點，設點的橫坐標為．(1)求該二次函數的表達式；(2)如圖2，過點作，垂足為，當為何值時，最大？最大值是多少？(3)如圖3，連接，當四邊形是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點，使原點關于直線的對稱點恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點的坐標．【答案】(1)(2)當時，的值最大，最大值為；(3)或或．【分析】（1）利用待定系數法求函數表達式即可；（2）先利用待定系數法求得直線的表達式為，根據題意設，，，則，證明，利用銳角三角函數和坐標與圖形性質得，然后利用二次函數的性質求解即可；（3）設，拋物線對稱軸交x軸于點H，交矩形邊于G，分三種情況：①點O的對稱點恰好落在對角線上時；②點O的對稱點恰好落在對角線上時，③點O的對稱點恰好落在對角線的延長線上時，分別畫出圖形，利用對稱性質、坐標與圖形性質、銳角三角函數、相似三角形的判定與性質、勾股定理等分析求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．點坐標為，點坐標為，∴，解得，∴該二次函數的表達式為；（2）解：設直線的表達式為，將、代入，得，解得，∴直線的表達式為，∵拋物線上的動點在第一象限，且橫坐標為，軸，交直線于點，∴，，∴，∵，軸，∴，又，∴，∴，即，∵點坐標為，點坐標為，∴，，則，∴，∴，∵，∴當時，的值最大，最大值為；（3）解：∵，∴該拋物線的對稱軸為直線，∵點Q在拋物線的對稱軸上，∴設，∵四邊形是矩形，∴，，，設拋物線對稱軸交x軸于點H，交矩形邊于G，則，，，若點O的對稱點恰好落在對角線上時，如圖，連接，，則垂直平分，即，∴，∴,∴，則，∴，解得，則；若點O的對稱點恰好落在對角線上時，如圖，設與相交于點K，由對稱性質得，，∵，∴，則，∴，∵在拋物線對稱軸上，是矩形的對角線，∴K為的中點，則，，∴在中，，∴，∴，則；若點O的對稱點恰好落在對角線的延長線上時，如圖，過作軸于K，連接交延長線于M，由對稱性質得，，，，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，則，∴，設直線的表達式為，則，解得，∴直線的表達式為，當時，，則，綜上，滿足條件的點Q的坐標為或或．【點睛】本題考查二次函數的綜合，涉及待定系數法求函數解析式、坐標與圖形、二次函數的圖象與性質、矩形的性質、相似三角形的判定與性質、對稱性質、銳角三角函數以及勾股定理等知識，解答的關鍵是掌握相關知識的聯系與運用，運用數形結合和分類討論思想求解是解答的關鍵．6．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．(1)求點的坐標；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當線段的中點在該二次函數的圖象的對稱軸上時，的面積為．

【答案】(1)，；(2)①的大小不變，理由見解析；②線段的長度存在最大值為；(3)【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標，把化為頂點式即可求得點的坐標；（2）①在上取點，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結論；②由，得當最小時，的長最大，即當時，的長最大，進而解直角三角形即可求解；（3）設的中點為點，連接，過點作于點，證四邊形是菱形，得，進而證明得，再證，得即，結合三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴頂點為，令，，解得或∴；（2）解：①的大小不變，理由如下：在上取點，使得，連接，

∵，∴拋物線對稱軸為，即，∵將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，，，∴，，，∴，

∴是等邊三角形，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，又，∴是等邊三角形，∴，即的大小不變；②，∵，∴當最小時，的長最大，即當時，的長最大，∵是等邊三角形，∴∴，∴，

∴，∴，∴，即線段的長度存在最大值為；（3）解：設的中點為點，連接，過點作于點，

∵，∴四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，，∵的中點為點，∴，

∴，∴，∵，∴，，∵的中點為點，是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴即，∴，

∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像及性質，菱形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，等邊三角形的判定及性質以及解直角三角形，題目綜合性較強，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．7．（2023·江蘇揚州·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸正半軸上．(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數（a為常數，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數的圖象上，點B、D在y軸的同側，且點B在點D的左側，設點B、D的橫坐標分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數（a為常數，且）的圖象上，點B在點D的左側，設點B、D的橫坐標分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關系式．

【答案】(1)①1；②；③是，值為1(2)或【分析】（1）①當，，可知不在二次函數圖象上，將代入，求解值即可；②由①知，二次函數解析式為，設菱形的邊長為，則，，由菱形的性質得，，，則軸，，根據，即，計算求出滿足要求的解即可；③如圖2，連接、交點為，過作軸于，過作于，由正方形的性質可知，為、的中點，，，則，證明，則，，由題意知，，，，則，，設，則，，，，，，則，，即，計算求解即可1；（2）由題意知，分①當在軸右側時，②當在軸左側時，③當在軸左側，在軸右側時，三種情況求解；①當在軸右側時，，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設，則，，，，，，則，，即，解得；②當在軸左側時，求解過程同（2）①；③當在軸左側，在軸右側時，且不垂直于軸時，同理可求，當在軸左側，在軸右側時，且垂直于軸時，由正方形、二次函數的性質可得，．【詳解】（1）①解：當，，∴不在二次函數圖象上，將代入，解得，故答案為：1；②解：由①知，二次函數解析式為，設菱形的邊長為，則，，由菱形的性質得，，，∴軸，∴，∵，∴，解得（舍去），（舍去），，∴菱形的邊長為；③解：如圖2，連接、交點為，過作軸于，過作于，

由正方形的性質可知，為、的中點，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，由題意知，，，，則，，設，則，，∴，，，，∴，，∴，∵點B、D在y軸的同側，且點B在點D的左側，∴，∴，∴是定值，值為1；（2）解：由題意知，分①當在軸右側時，②當在軸左側時，③當在軸左側，在軸右側時，三種情況求解；①當在軸右側時，∵，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設，則，，∴，，，，∴，，∴，化簡得，∵∴；②當在軸左側時，同理可求；③當在軸左側，在軸右側時，且不垂直于軸時，同理可求，當在軸左側，在軸右側時，且垂直于軸時，由正方形、二次函數的性質可得，；綜上所述，或．【點睛】本題考查了二次函數解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數與幾何綜合，正方形、菱形的性質，全等三角形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．8．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．(1)當時，求點的坐標；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數表達式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．

【答案】(1)(2)或(3)，見解析【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式，進而得出頂點坐標，根據對稱性，即可求解．（2）由題意得，的頂點與的頂點關于直線對稱，，則拋物線．進而得出可得，①當時，如圖1，過作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當時，此情況不存在．（3）由（2）知，當時，，此時的面積為1，不合題意舍去．當時，，此時的面積為3，符合題意．由題意可求得．取的中點，在中可求得．在中可求得．易知當三點共線時，取最小值，最小值為．【詳解】（1）∵，∴拋物線的頂點坐標．∵，點和點關于直線對稱．∴．（2）由題意得，的頂點與的頂點關于直線對稱，∴，拋物線．∴當時，可得．①當時，如圖1，過作軸，垂足為．∵，∴．∵∴．∴．∵，∴．∵直線軸，∴．∴．∵，∴．∴．又∵點在圖像上，∴．解得或．∵當時，可得，此時重合，舍去．當時，符合題意．將代入，得．

②當時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得．∵，∴．∵，∴．∴．又∵點在圖像上，∴．解得或．∵，∴．此時符合題意．將代入，得．③當時，此情況不存在．綜上，所對應的函數表達式為或．（3）如圖3，由（2）知，當時，，此時則，，則的面積為1，不合題意舍去．當時，，則，∴，此時的面積為3，符合題意∴．依題意，四邊形是正方形，∴．取的中點，在中可求得．在中可求得．∴當三點共線時，取最小值，最小值為．【點睛】本題考查了二次函數的性質，特殊三角形問題，正方形的性質，勾股定理，面積問題，分類討論是解題的關鍵．9．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖（1），二次函數的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為，直線經過、兩點．(1)求該二次函數的表達式及其圖像的頂點坐標；(2)點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數的圖像相交于點，再過點作軸的垂線與該二次函數的圖像相交于另一點，當時，求點的橫坐標；(3)如圖（2），點關于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當的值最小時，直接寫出的長．【答案】(1)，頂點坐標(2)點橫坐標為或或或(3)【分析】（1）用待定系數法求函數的解析式即可；（2）設，則，，則，由題意可得方程，求解方程即可；（3）由題意可知Q點在平行于的線段上，設此線段與x軸的交點為G，由，求出點，作A點關于的對稱點，連接與交于點Q，則，利用對稱性和，求出，求出直線的解析式和直線的解析式，聯立方程組，可求點，再求．【詳解】（1）解：將點，代入∴解得∴∵，∴頂點坐標；（2）解：設直線的解析式為，∴解得∴，設，則，，∴，，∵，∴，∴或，當時，整理得，解得，，當時，整理得，解得，，∴點橫坐標為或或或；（3）解：∵，點與點關于軸對稱，∴，令，則，解得或，∴，∴，∵，∴點在平行于的線段上，設此線段與軸的交點為，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，作點關于的對稱點，連接與交于點，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴，同理可求直線的解析式為，聯立方程組，解得，∴，∵，∴.【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，利用軸對稱求最短距離的方法，解絕對值方程，待定系數法求函數的解析式是解題的關鍵．10．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）一次函數的圖像與軸交于點，二次函數的圖像經過點、原點和一次函數圖像上的點．(1)求這個二次函數的表達式；(2)如圖1，一次函數與二次函數的圖像交于點、（），過點作直線軸于點，過點作直線軸，過點作于點．①_________，_________（分別用含的代數式表示）；②證明：；(3)如圖2，二次函數的圖像是由二次函數的圖像平移后得到的，且與一次函數的圖像交于點、（點在點的左側），過點作直線軸，過點作直線軸，設平移后點、的對應點分別為、，過點作于點，過點作于點．①與相等嗎？請說明你的理由；②若，求的值．【答案】(1)(2)①，；②見解析(3)①，理由見解析；②3【分析】（1）通過一次函數表達式可以求出A、B兩點坐標，將A、B、C三點坐標代入二次函數表達式即可求解；（2）①通過聯立關系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值；②通過A（-2，0），E即可求出AE的長度；通過B，F即可求出BF的長度；（3）①通過二次函數平移前后的表達式可以確定新二次函數的圖像是由原二次函數的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的，從而可以得到：，．通過聯立關系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點P、點Q的橫坐標，通過坐標即可表示出的長度．②由①可得，求解即可．【詳解】（1）令，則，解得，∴，將點代入中，解得，∴點的坐標為．將，，代入可得：，解得：，∴二次函數的表達式為．（2）①∵一次函數與二次函數的圖像交于點、（），∴聯立關系式得：，整理得：，解得：，，故答案為：，；②當時，位于的上方，∵、，∴，，∴，當時，位于的下方，同理可證．故可得：；（3）方法一：①∵二次函數圖像的頂點為，二次函數的圖像的頂點為，∴新二次函數的圖像是由原二次函數的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的．∴的對應點為，的對應點為，聯立關系式可得：，整理得：，，當時，解得：，，∴，，∴．②∵，．∴，∴，解得:．方法二：①設、平移前的對應點分別為、，則．則，∵、平移前的對應點分別為、，由（2）②及平移的性質可知，．②∵，∴，∵到軸的距離為，點是軸與二次函數的圖像的交點，∴平移后點的對應點即為點．∵二次函數圖像的頂點為，二次函數的圖像的頂點為，∴新二次函數的圖像是由原二次函數的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的．∴，將點的坐標代入中，解得