河南省周口市項(xiàng)城23-2025高三上學(xué)期第四次段考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求得集合M、N，再依據(jù)交集的概念計(jì)算即可.【詳解】由，所以，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域知，即,所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】A【分析】用待定系數(shù)法設(shè)，再代入已知條件解方程即可.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，則解得，即，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知x，y為非零實(shí)數(shù)，向量，為非零向量，則“”是“存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】化簡得到得到，共線且方向相同，存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得得到，共線，得到答案.【詳解】，故，整理得到，即，故，共線且方向相同，存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得，故，共線，即“”是“存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得”的充分不必要條件.故選：A.4.已知某公司第1年的銷售額為a萬元，假設(shè)該公司從第2年起先每年的銷售額為上一年的倍，則該公司從第1年到第11年（含第11年）的銷售總額為（）（參考數(shù)據(jù)：取）A.萬元 B.萬元 C.萬元 D.萬元【答案】D【分析】依據(jù)題意，由條件可得數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)第年的銷售額為萬元，依題意可得數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，則該公司從第1年到第11年的銷售總額為萬元．故選：D5.已知的外心為，且，，向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】依據(jù)給定條件，確定的形態(tài)，并求出角C，再利用投影向量的意義求解作答.【詳解】在中，由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，而為的外心，則，即有，又，則為正三角形，因此，，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，建立方程求出的值，然后利用幫助角公式求出的解析式，利用最值性質(zhì)轉(zhuǎn)化為周期關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，所以，解得，所以，又由，，所以，所以的最小值為函數(shù)的最小正周期．故選：B.7.已知，均大于1，滿意，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先化簡表達(dá)式，將問題轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，畫圖分析即可.【詳解】由得：，即，同理，，上述可化為：，其中且都大于1，分別為，且，令，如圖所示：由圖可得：故選：B8.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】令，將方程轉(zhuǎn)化為，設(shè)，且，由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性與值域，并畫出簡圖，設(shè)，則，得，分類探討的范圍，即可得出的范圍．【詳解】令，得，當(dāng)時(shí)，，即或，只有2個(gè)零點(diǎn)，不合題意，故，又，所以，設(shè)，且，則，令，解得，且，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，則在的最小值為，畫出簡圖，如圖所示，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，變形為，記，令，則，畫出簡圖，如圖所示，①當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)根，則只有一個(gè)根，不合題意；②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，則有一個(gè)根，有兩個(gè)根，符合題意；③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，則有一個(gè)根，有一個(gè)根，不合題意；綜上所述，，即，故選：D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為16 B.的最小值為9 C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】ABD【分析】利用基本不等式即可推斷A；依據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可推斷B；利用消元法即可推斷C；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可推斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以（舍去），所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故B正確；對(duì)于C，由B得，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C.函數(shù)在的值域?yàn)镈.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位【答案】ACD【分析】先由圖象信息求出表達(dá)式，從而即可推斷A；留意到是的對(duì)稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可推斷B；干脆由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯赏茢郈；干脆按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對(duì)比即可推斷.【詳解】如圖所示：由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點(diǎn)為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項(xiàng)正確；由A選項(xiàng)分析可知，而是的對(duì)稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.定義在R上的函數(shù)滿意為奇函數(shù)，函數(shù)滿意，若與恰有2024個(gè)交點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.為的對(duì)稱軸C. D.【答案】BCD【分析】由，得函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由是奇函數(shù)，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而得是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，由，得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而知與的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，由此可推斷各選項(xiàng)．【詳解】，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；是奇函數(shù)，即，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，C正確；所以，從而，所以是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，，A錯(cuò)；又，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此與的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，，D正確．故選：BCD．12.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師設(shè)計(jì)了有序?qū)崝?shù)組，，，表示把中每個(gè)1都變?yōu)?，0，每個(gè)0都變?yōu)?，所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如，則.定義，，若，則（）A.中有個(gè)1B.中有個(gè)0C.中0的總個(gè)數(shù)比1的總個(gè)數(shù)多D.中1的總個(gè)數(shù)為【答案】AC【分析】依據(jù)給定有序數(shù)列的定義得到，，,，，探究得到的規(guī)律，然后利用數(shù)列的學(xué)問求通項(xiàng)求和即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，明顯，，，中共有2,4,8項(xiàng)，其中1和0的項(xiàng)數(shù)相同，，，中共有3,6,12項(xiàng)，其中為1，為0，設(shè)中總共有項(xiàng)，其中有項(xiàng)1，項(xiàng)0，則，，，所以中有個(gè)1，A正確；中有個(gè)0，B錯(cuò)；，則，，，，中的總數(shù)比1的總數(shù)多，C正確；，，，，中1的總數(shù)為，D錯(cuò).故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，則f(f(3))的值等于________．【答案】2【分析】由點(diǎn)知,再由點(diǎn)可得.【詳解】由圖可知.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在能結(jié)合圖象中的點(diǎn)的坐標(biāo)弄清晰數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.14.已知等比數(shù)列中，若，則=__________．【答案】9【分析】依據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式化簡，解方程組得結(jié)果【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中通項(xiàng)公式可知，，那么聯(lián)立方程可知首項(xiàng)為128，公比為，結(jié)合9.故答案為：9.

15.剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù).如圖，原紙片為一圓形，直徑，須要剪去四邊形，可以通過對(duì)折、沿，裁剪、綻開實(shí)現(xiàn).已知點(diǎn)在圓上，且，，則四邊形的面積為______________.【答案】【分析】依據(jù)角平分線得到，結(jié)合勾股定理得到，利用余弦定理得到，再計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)圓心為，連接，，，，故平分，，又，解得，，，中：，即，解得或（舍）.故，故四邊形的面積為.故答案為：.16.若存在，使得函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線也相同，則的最大值為__________.【答案】【分析】設(shè)兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求導(dǎo)后得到方程，求出，從而得到，即，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，進(jìn)而求出，求出答案.【詳解】定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，設(shè)兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，，，則，即，解得或，因?yàn)?，所以（舍去），滿意要求，且，即，故，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，故，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)已知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在（1）；（2）；（3）這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿意（1）求角；（2）若的外接圓周長為，求邊上的中線長.【答案】（1）所選條件見解析，；（2）.【分析】（1）依據(jù)所選條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形面積公式、向量數(shù)量積定義、三角恒等變換化簡條件求角；（2）由已知易得為頂角為的等腰三角形，是中點(diǎn)，則，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求中線長度.【小問1詳解】選（1），則，所以，而，則，所以；選（2），則，所以，而，則；選（3），則，，所以，所以，則，而，則.【小問2詳解】由，則，故，，即，結(jié)合（1）易知：為頂角為的等腰三角形，如下圖，是中點(diǎn)，的外接圓周長為，若外接圓半徑為，則，所以，而，所以，則，即求邊上的中線長為.18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，都有，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）首先可以依據(jù)已知得到，其次留意到，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解.（2）由（1）可知，先將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)得，從而可求得其前項(xiàng)和為，若，都有，則只需，探討的單調(diào)性即可得到其最小值，從而解不等式即可求解.【小問1詳解】一方面：因?yàn)?，所以，所以，即；另一方面：又時(shí)，有，即，且，所以此時(shí)；結(jié)合以上兩方面以及等比數(shù)列的概念可知數(shù)列是首先為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）可知，又由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，又，都有，故只需，而關(guān)于單調(diào)遞增，所以關(guān)于單調(diào)遞減，關(guān)于單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，因此，即，解得，綜上所述：的取值范圍為.19.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為.（1）求；（2）設(shè)點(diǎn)為外心，且滿意，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）由數(shù)量積的定義得，再結(jié)合三角形面積公式可得，從而得角；（2）由圓性質(zhì)得，然后由數(shù)量積定義求得，再由正弦定理求得．【小問1詳解】，兩式相除得：，又，∴.【小問2詳解】為外心，故.由正弦定理可知：.20.已知數(shù)列滿意，.（1）證明為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若不等式對(duì)于隨意都成立，求正數(shù)的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）依據(jù)題意，由等差數(shù)列的定義，即可證明，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）依據(jù)題意，將不等式變形，可得，令，由其單調(diào)性可得，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，，即，所以，且，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且，所以.【小問2詳解】由（1）可知，則，令，所以，由可知，隨增大而增大，只需即可，且，所以的最大值為.21.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知是和的等比中項(xiàng).（1）證明：.（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列及余弦定理化簡，再由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)，化簡即可得解；（2）利用三角函數(shù)化簡后，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性求出值域即可.【小問1詳解】因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，即，由余弦定理可得，故，即，由正弦定理可得，即，又，所以，即.【小問2詳解】由（1）可知，解得，，由，令，.令，得，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，得，即在區(qū)間上單調(diào)遞減.因?yàn)?，，，故，即的取值范圍?22.已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．（1）求在上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若對(duì)恒成立，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與三角函數(shù)有界性分段探討的符號(hào)，由此得函數(shù)的單調(diào)性與極值；（2）先探求恒成立的必要條件，再證明其充分性.充分性的證明先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合（1）結(jié)論可證.【小問1詳解】①當(dāng)時(shí)，，所以，，則，所以單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，則，且，，則，所以在單調(diào)遞減，又，故存在，使得，即，且在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，則，所以，又，所以，故在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時(shí)，則，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上單調(diào)遞增；⑤當(dāng)時(shí)，則，，所以，在上單調(diào)遞增；綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在上僅有2個(gè)極值點(diǎn).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即.令，若對(duì)恒成立，由，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.由，則為函數(shù)的微小值點(diǎn)，