高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末模擬(2)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、選擇題(本大題共8小題，共40.0分)

1.設(shè)集合4={y|y=2X/eR},B={標-1<()},則4uB=()

A.(—1,1)B.(0,1)C.(―1,+o0)D.(0,+oo)

【答案】C

【解析】4={y|y=2*,xeR},即4=(0,+8),

B={x\x2-KO},即8=(-1,1),

A\JB—(0,+8)u(—1,1)—(—1,+8),

故選C.

2.“x<0”是“InQ+1)<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】ln(x+1)<0—()<工+1<1O—1<X<0.

由刀<0分一1<x<0,

由一1<x<0nx<0,

.,.“X<0”是“1?(T+1)<0"的必要不充分條件.

故選8.

3.已知不等式a/+。刀+2>0的解集為{刈-1(比<2},則不等式2/+法+a<0的解集為()

]_1

A.{%|-1<%<-}B.{x\x<-1或x>-}

C.{x|-2<x<1}D.{x\x<—2或%>1]

【答案】A

【解析】???不等式a/+力％+2>0的解集為{%[-1<%V2},

??.ax2+b%+2=0的兩根為—1,2,且a<0,

即-1+2=——j(―1)X2=—,

aa

解得a=-1,b=1,

則不等式可化為2/+%-1<0,

解得-1<%<a

則不等式2/+6%+a<。的解集為{x|-1<x<1}.

故選A.

4.函數(shù)“久)在(一8,+8)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若〃1)=一1,則滿足一13”久2)<1的x的取值

范圍是()

A.[—2,2]B.1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】。

【解析】???函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

若/⑴=-1,W(-i)=-/(1)=1，

又?函數(shù)/(X)在(-8,+8)上單調(diào)遞減，-1</(x-2)<1,

——241,

解得：1WxW3,

所以x的取值范圍是[1,3].

故選。.

5.函數(shù)y=2⑶sin2久的圖象可能是()

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=2⑶sM2x,2Tsin(—2工)=—1=—y,

得到函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱,

故排除A和b

當x=］時，函數(shù)的值為0,故排除C.

故選D

6.若log4(3a+4b)=logzVH^，則a+b的最小值是()

A.6+2A/3B.7+2V3C.6+4百D.7+4V3

【答案】D

【解析】3a+4h>0,ab>0,

/.a>0,h>0,

log4(3a+4b)=log2Vab,

???log4(3a+4b)=log4(afo)

3a+4b-ccb，所以工H—=1,

ba

/34\

a+b=(a+/?)x1=(a+/?)(丁4—I

\ba/

3a4h3a4b

=7+—+—>7+2—.—

ba?ba

=7+4V3,

當且僅當?shù)?F，即b=2遮+3,a=4+2佟寸取等號.

故選D

7.若tcma=I，則cos2a+2sin2a=()

AA-元64B.gC.1D.||

【答案】A

3

【解析】tana=???cos2a+2sin2a

4

cos2a+4sinacosa

sin2a+cos2a

1+4tana

tan2a+1

3

J+4X.

T6+1

64

-25"

故選A.

8.已知函數(shù)/'(x)=sin((ox+9)(3>0,\<p\<^),x=-為/(x)的零點，x=為y=/(%)圖象的對稱軸,

且f(x)在邑，當上單調(diào)，則3的最大值為()

lo36

A.11B.9C.7D.5

【答案】B

【解析】???X=一:為/0)的零點，尤=3為丫=/(%)圖象的對稱軸，

?T=-,即吧?/=巴，(nGN),

42432、7

即3=2n+1,(nEN),即3為正奇數(shù)，

???/(X)在(二，亞)上單調(diào)，則/

八,11836，3618122

即7=22g解得：3412,

36

11TT

當3=11時，-----\~(p—k.n,kEZ,

4,

??j7T71

???切〈二，0=一￡，

Z4

此時,(X)在邑，?不單調(diào)，不滿足題意；

lo36

當3=9時，----Fw=kn,kEZ,

4

???取<p(p=?,

此時/(?在邑表)單調(diào)，滿足題意；

loDO

故3的最大值為9,

故選艮

二、不定項選擇題(本大題共4小題，共20.0分)

9.將函數(shù)/(%)=sin2x向右平移?個單位后得到函數(shù)gO),則g(x)具有性質(zhì)()

A.在(0,已)上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

B.最大值為1,圖象關(guān)于直線x=:對稱

C.在(-蜘上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

D.周期為兀，圖象關(guān)于點6,0)對稱

【答案】ABD

【解析】因為將函數(shù)/(%)=sin2x向右平移？個單位后得到函數(shù)

g（E）=sin2（1-----）=sin（2x——J=—eo?2x,

由于g(-z)=-co?2(-x)=-cos2x=g(工),所以g(x)為偶函數(shù)，且在(0,￡)上單調(diào)遞增，所以A正確，排

除C,

9(X)nax=1＞。管)=-??(：%■)=1,所以8正確,9(牛)=一而傳)=()，周期為兀，故。正確.

故選ABD.

10.已知函數(shù)/(%)是［2-磯2m-6］(?neR)上的偶函數(shù)，且/(%)在［2-TH,0］上單調(diào)遞減，則/(%)的解析式

可能為()

A./（%）=%2+mB.〃上)=一，/

m

C./(x)=xD./(x)=k〉gr〃(W+1)

【答案】ACD

【解析】??,/(%)是［2-m,2m-6］(mGR)上的偶函數(shù)，

???2—m+2m-6=0得zn=4,

則f(%)在［-2,0］上單調(diào)遞減，/(%)是［一2,2］(血6R)上的偶函數(shù)，

4/(%)=/+4是偶函數(shù)，在［-2,0］上單調(diào)遞減滿足條件.故A有可能；

8/(%)=-4可，是偶函數(shù)，當XW0時，/。)=-4-x=-(》，為增函數(shù)，不滿足條件；

C./(x)=%4,是偶函數(shù)，則［-2,0］上單調(diào)遞減滿足條件.故C有可能；

Df(%)=log4(|%|+1)是偶函數(shù),當/W0,/(%)=log4(-x+1)是減函數(shù)，滿足條件，故。有可能.

故選：ACD.

11.已知a,仇則下列推證中不正確的是()

A.a>h=>am2>bm2B.->-a>b

cc

2222

C.ac>be今a>bD.a>b,ab>0=>-<^-

ab

【答案】ABD

【解析】對于Am=0時不成立；

對于8.c<0時不成立；

對于Cac2>be2,兩邊同除以,可得a>b,正確；

-11

對于。.由a?>爐,。％>0,取a=-2,b=-1,貝卜〉二，所以也不成立.

ab

故選ABD

(%—a)2%v0

,1,^「若人"是人乃的最小值，則實數(shù)?？赡艿闹禐?)

(XIICLfX>U

x

A.2B.—2C.1D.—1

【答案】AB

【解析】當aVO時，/(%)=(x-a)2(x<0),此時最小值/(a)=0,

“X)=x+[+a(久>0)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,+8)單調(diào)遞增，即此時最小值為/'(1)=a+2,

???f⑴是f⑺的最小值,

.,?。+240,—2,

當a>0時，/(x)=(x-a)2(%<0),此時最小值f(0)=a2,

f(x)=x+}+a(x>0)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,+8)單調(diào)遞增，即此時最小值為/(I)=a+2,

?；/⑴是/'(x)的最小值，

?■a+2<a2,a>2,

??.滿足題意的取值可為a=2或a=-2,

故選A3.

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.不等式號>1的解集為.

【答案】(—8,0)

【解析】由于>1得:

1-->1=>-<0=>%<0,

XX

故不等式的解集為：(-8,0),

故答案為(-8,0).

14.設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則(-要+1)的最小值為

【答案】4V3

【解析】％>0,y>0,%+2y=5,

2xy+x+2y+l

^.(x+l)(2y+l)費=2后;+看

川一Vxy4xy

由基本不等式有:

2歷+券"J歷?言=4后

當且僅當2歷=券時,

即：町=3,x+2y=5時，即：或］；7時，等號成立,

(%+l)(2y+l)

故的最小值為4百;

故答案為：4V3.

15.已知扇形的周長為4CM,當它的半徑為和圓心角為弧度時，扇形面積最大，這個最

大面積是.

【答案】1cm;2;1cm2

【解析】設(shè)扇形的半徑為廣，弧長為/,貝〃+2r=4,

即I=4-2r(0<r<2)①，

扇形的面積s=3r，將①代入，

得：S=1(4—2r)r=-r2+27=—(r—l)2+1,

所以當且僅當r=l時，S有最大值1.

止匕時Z=4—2x1=2,a=-=2.

r

所以當a=2rad時，扇形的面積取最大值1.

故答案為1cm;2;1cm2

16.方程sinx+V5cosx=1在閉區(qū)間[0,2兀]上的所有解的和等于.

【答案】y

【解析1vsinx+y/3cosx=1,

i..V3i

A-sinxH----cosx=一，

222

即sin。+§=

可知久+g=2kn4-g或％+-=2kli+—,k6Z,

又1xe[0,2/1],

117T_p.7T117T,7177r

???%=X或”=亍?.?T+5=9

故答案為：y.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.已知函數(shù)=Asin（wx+（p）+B（A>0,w>0,|如<》的部分圖象如圖所示:

(1)求/(久)的解析式；

(2)求/(久)的單調(diào)區(qū)間和對稱中心坐標；

(3)將/(%)的圖象向左平移:個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，最后將圖象向上平移

1個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)在上的最O大值和最小值.

解：(1)由圖象可知

解得《：，

T7TT77r71T

又由于_=------=>T=71,

21212

所以W=y=2,

由2sin(2x告+8)-1=1,

v+1=5+2M*ez),

又㈤

所以8

所以f(久)=2sin(2x+|)-1；

(2)由⑴知，/(%)=2sin(2x+^)-1,

令2A,TT——C2T+—^2far+-,A,€Z,

得《HW如+—,kEZ,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?什-：：*7T+1]"€Z,

令加7T+/21+g42far+rA€Z,

得fcir+—《工(kn+—,keZ,

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kir+^kTt+^keZ,

令2工+；=hr,keZ,得工=4-',卜wz,

所以/'(x)的對稱中心的坐標為(1——1),k€Z；

⑶由已知的圖象變換過程可得：g(x)=2s譏(x+與)，

因為0

<x<O

UUI、I27T),2nUTT

所以至+高，

所以當％+§=§,得久=當時，g(x)取得最小值9(生=一2,

當?shù)?4=:時，即x=0時，g(x)取得最大值g(0)=Q

18.已知/(久)是定義在R上的偶函數(shù)，且xWO時，/(x)=log|(-x+l).

(1)求f(3)+/(—1)；

(2)求函數(shù)/Q)的解析式；

(3)若f(a-l)<-1,求實數(shù)a的取值范圍.

解：(1)???/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，

X<。時，〃H)=1暨(-1+1),

，/⑶4-/(-I)=/(-3)+/(-I)=logi4+logi2=-2-1=-3；

(2)令x>0,則—x<0,f(-x)=log|(x+1)=/(x)

X>0時，fM=10gi(x+1),

2

logi(—x+1),x<0

則“")=%9；(久+1),%>0：

2

⑶?."(%)=logi(-x+1)在(—8,0］上為增函數(shù)，

???f(X)在(0,+8)上為減函數(shù)，

?."(a-1)<-1=/⑴，所以/(|a-1|)<f⑴,

*'?\d-11>11

解得a>2或a<0.

19.一半徑為2m的水輪如圖所示,水輪圓心。距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每3s轉(zhuǎn)一圈,

如果當水輪上點尸從水中浮現(xiàn)時(圖中點P。)開始計算時間.

(1)試建立適當?shù)淖鴺讼?，將點P距離水面的高度九(根)表示為時間t(s)的函數(shù)；

(2)點P第一次到達最高點大約要多長時間？

(3)記/??)=%,求證:不論1為何值，=(t)+f(t+l)+f(t+2)是定值.

解：(1)以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點。且與水面垂直的直線為y軸,

建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)h=As譏+。)+k,(-^<</><0),

則/=2,k=1,

T=3=—,

0)

27r

CL)=—3

???h=2sin(j^-t+0)+1,

t=0,h=0,

???0=2sin(l)+1,

???sin0=—I，

TT■八

V--<0<0,

?'??=一%

???h=2sin(—t--)+1

36’

(2)令2sin(6I-。+1=3,得sin(9—)=1,

5ODo

2nTT_7T

一,

3L6—2

???t=1,

???點P第一次到達最高點大約要Is的時間；

(3)由(1)知：f(t)=2sizi(—t—)+1=V3sin—t—cos—t+1,

36’33

/(t+1)=2sin(—t+—)+1=2.cos—t+1,

jT(t+2)—2sin(—t+—)+1=—V3sin-t-cos—t+1,

???/(t)++(t+1)++(t+2)=3(為定值).

20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)引進一高科技企業(yè)，投入資金720萬元建設(shè)基本設(shè)施，第一年各種運營費用120萬元，以后每

年增加40萬元.每年企業(yè)銷售收入500萬元，設(shè)((71)表示前〃年的純收入(f(71)=前〃年的總收入-前

"年的總支出-投資額).

(1)從第幾年開始獲取純利潤？

(2)若干年后，該企業(yè)為開發(fā)新產(chǎn)品，有兩種處理方案：

①年平均利潤最大時，以480萬元出售該企業(yè)；

②純利潤最大時，以160萬元出售該企業(yè).問哪種方案最合算？

解：由題意知每年的運營費用(萬元)是以120為首項，40為公差的等差數(shù)列.

則/(n)=500n-[120n+x40]-720

=-20n2+400n—720.

(1)獲取純利潤就是f(n)>0,

故有一20M+400n-720>0,

解得2<n<18.又&N*,可知從第三年開始獲取純利潤.

(2)①年平均利潤呼=400-20(n+^)<160,當且僅當n=6時取等號.

故此方案獲利6X160+480=1440(萬元)，此時n=6.

@/(n)=-20n2+400n-720

=-20(n-10)2+1280,

當n=10時，f(jt)max=1280.

故此方案共獲利12804-160=1440(萬元).

比較兩種方案，在同等數(shù)額獲利的基礎(chǔ)上，第①種方案只需6年，第②種方案需要10年，

故選擇第①種方案.

21.已知函數(shù)/(%)=4支+聯(lián)241+1,

(1)當a=-1時,求函數(shù)f(x)在久￡的值域;

(2)若關(guān)于尤的方程/(%)=0有實數(shù)解，求。的取值范圍.

解：(1)當a=-l時，/(x)=(2X)2-2x2x+1,%e[-1,2],

令"2,嗚4],

則y=t2-2t+l=(t-l)2,(-<t<4),

即當t=l時,ymin-o;

當t=4時，ymax=9,

???函數(shù)/(x)的值域為[0,9];

(2)方程/(X)=0有解，

即。)2+2ax2x+l=0有解，

令t=2X,貝亞>0,

則方程產(chǎn)+2at+