§1.1.1正弦定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握正弦定理的內(nèi)容；

2.掌握正弦定理的證明方法；

3.會(huì)運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類基本問題.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

試驗(yàn)：固定AABC的邊CB及/B,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng).

思考：ZC的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角NC的大小的增大而.能否用一個(gè)等式

把這種關(guān)系精確地表示出來？

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究1：在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形

中，角與邊的等式關(guān)系.如圖，在RSABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，A

有q=sinA,2=sin8,又sinC=1=￡,

cccx.

從而在直角三角形ABC中，—=—=—.bI

sinAsinBsinCtq________X

CaB

(

探究2：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

0

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的

定義，

有CD=〃sin8=bsinA,則〃=——,/\

sinAsinB/\

同理可得上=上，彳/\

sinCsinB------------------g

從而，一=〃一=」.

sinAsinBsinC

類似可推出，當(dāng)AABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立.請你試試導(dǎo).

新知：正弦定理

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的比相等，即

a_b_c

sin4sinBsinC

試試：

(1)在AABC中，一定成立的等式是().

A.tzsinA=bsinBB.acosA=hcosB

C.asinB=bsinAD.acosB=bcosA

(2)已知aABC中，a=4,b=8,NA=30。,則NB等于.

［理解定理］

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同

一正數(shù)，即存在正數(shù)k使〃=&sin4,,c=ksinC;

(2)4=上=上等價(jià)于_____________,，=J,二，.

sinAsinBsinCsinCsinBsinAsinC

(3)正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如.=0；

sinB

b=.

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值,

如sinA=—sinB;sinC=________________.

b

(4)一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過程叫作解三角形.

X典型例題

例1.在AABC中，已知A=45。，B=60,a=42cm,解三角形.

變式：在AA8C中，已知8=45。，C=60。，a=12cm,解三角形.

1列2.在AABC中，elW^,A=45",a=2,bB,C.

變式：在AA8C中，米硒,8=60°,c=l,aA,C-

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.正弦定理：，-=上=，

sinAsinBsinC

2.正弦定理的證明方法：①三角函數(shù)的定義，

還有②等積法，③外接圓法，④向量法.

3.應(yīng)用正弦定理解三角形：

①已知兩角和一邊；

②已知兩邊和其中一邊的對角.

X知識拓展

，一=_也=工=2/?,其中2R為外接圓直徑.

sinAsinBsinC

學(xué)口評價(jià).

X自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.在AABC中，若竺2=2,貝IJAABC是（）.

cos8a

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

2.已知4ABC中，A：B：C=1：1：4,

則a：b：c等于（）.

A.1：1：4B.1：1：2C.1：1：百

D.2：2：G

3.在△ABC中，若sinA>sin8,則4與8的大小關(guān)系為（）.

A.A>BB.A<B

C.A>BD.A、8的大小關(guān)系不能確定

4.已知△ABC中，sinA:sin8:sinC=1:2:3,則

5.已知△ABC中，ZA=60°,a=也,則

a+b+c_

sinA+sin8+sinC

課后作業(yè)

1.已知AABC中，AB=6,ZA=30°，ZB=120°,解此三角形.

2.已知AABC中，sinA：sinB：sinC=k：(k+1):2k(kWO),求實(shí)數(shù)k的取值

范圍為.

§1.1.2余弦定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握余弦定理的兩種表示形式；

2.證明余弦定理的向量方法；

3.運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在一個(gè)三角形中，各和它所對角的的相等，即：

復(fù)習(xí)2：在AABC中，已知c=10,A=45°,C=30。，解此三角形.

思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？

二、新課導(dǎo)學(xué)

X探究新知

問題：在AA8C中，48、BC、C4的長分別為c、a、b.

AC=,

AC?AC=

同理可得：a2=b2+c2-2/?ccosA,

c2=a2+b2-labcosC.

新知：余弦定理：三角形中任何一邊的—等于其他兩邊的的和減去這兩

邊與它們的夾角的的積的兩倍.

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？

從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

從余弦定理，又可得到以下推論：

［理解定理］

(1)若C=90。，則cosC=—,這時(shí)/一+從

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.

(2)余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角.

試試：

(□△ABC中，〃=36，c=2,8=150",求b.

(2)△ABC中，a=2,b=,c=+1>求A.

X典型例題

例1.在△ABC中，已知〃=6，h=y［2,8=45。，求4,C和c.

變式：在aABC中，若AB=出,AC=5,且cosC=2,則BC=

10

例2.在△ABC中，已知三邊長a=3,b=4,c=y/31,求三角形的最大內(nèi)角.

變式：在△ABC中，若+反，求角A.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的

特例；

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知三邊，求三角；

②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

X知識拓展

在AABC中，

若

a*2b2=c2,則角C是直角;

若+

a2+b2<c2,則角C是鈍角;

若

a2b2>c2,則角是銳角.

里+C

冰

自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.已知a=6，c=2,B=150°,則邊b的長為（）.

A.叵B.V34C.—D.V22

22

2.已知三角形的三邊長分別為3、5、7,則最大角為（）.

A.60°B.750C.120°D.150°

3.已知銳角三角形的邊長分別為2、3、X,則x的取值范圍是（）.

A.75<x<V13B.V13<x<5

C.2<x<D.y[5<x<5

4.在4ABC中，I而1=3,1=2,施與衣的夾角為60°,則I而一元1=

5.在Z^ABC中,已知三邊a、b、c滿足

b2+a2-c2=ah,則NC等于.

課后作業(yè)

1.在AABC中，已知a=7,b=8,cosC=史，求最大角的余弦值.

14

2.在AABC中，AB=5,BC=7,AC=8,求而反的值.

§1.1正弦定理和余弦定理（練習(xí)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；

2.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無

解等情形.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1:在解三角形時(shí)

已知三邊求角，用定理；

已知兩邊和夾角，求第三邊，用定理；

已知兩角和一邊，用定理.

復(fù)習(xí)2：在aABC中，已知A=%，a=25&,b=50&,解此三角形.

6

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究：在AABC中，已知下列條件，解三角形.

①A=—,a=25,b=50&；

6

②A=-,a=^^,b=505/2；

63

③A=—,a=50,b=50y/2.

6

思考：解的個(gè)數(shù)情況為何會(huì)發(fā)生變化？

新知：用如下圖示分析解的情況（A為銳角時(shí)）.

己知邊a,b和NA

試試：

1.用圖示分析（A為直角時(shí)）解的情況?

2.用圖示分析（A為鈍角時(shí)）解的情況？

X典型例題

例1.在AABC中，已知a=80,b=100,4=45。，試判斷此三角形的解的情況.

變式：在AABC中,若2,"=4。。，則符合題意的b的值有一個(gè).

例2.在△ABC中，A=60°>b=1,c=29求----"+’----的值.

sinA+sin8+sinC

變式：在AABC中，若〃=55,8=16,且LbsinC=220百，求角C.

2

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.已知三角形兩邊及其夾角（用余弦定理解決）；

2.已知三角形三邊問題（用余弦定理解決）；

3.已知三角形兩角和一邊問題（用正弦定理解決）；

4.已知三角形兩邊和其中一邊的對角問題（既可用正弦定理，也可用余弦定理,

可能有一解、兩解和無解三種情況）.

X知識拓展

在AABC中，已知討論三角形解的情況：①當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，

必須a>b才能有且只有一解；否則無解；

②當(dāng)A為銳角時(shí)，

如果a2b,那么只有一解；

如果a<6,那么可以分下面三種情況來討論：

（1）若a>加inA,則有兩解；

（2）若°=云抽4,則只有一解；

（3）若a<bsinA,貝U無解.

卷學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.已知a、b為aABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且咂2=2,則蟲心的

sin33b

值=（）.

2.已知在AABC中，sinA:sinB:sinC=3：5：7,那么這個(gè)三角形的最大角是

（）.

A.135°B.90°C.120°D.150°

3.如果將直角三角形三邊增加同樣的長度，則新三角形形狀為（）.

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加長度決定

4.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:5:6,則cosB=.

5.已知AABC中，bcosC=ccos8,試判斷AABC的形狀.

卷課后作業(yè)

1.在AABC中，a=xcm9b=2cm,Z.B=45°9如果利用正弦定理解三角形有兩

解，求x的取值范圍.

2-在AABC中，其三邊分別為a、b、C,且滿足飆smc='i’求角c.

§1.2應(yīng)用舉例一①測量距離

學(xué)習(xí)目標(biāo)

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在aABC中，ZC=60°，a+b=26+2,c=20,則NA為.

復(fù)習(xí)2：在AABC中，sinA=sinB+sinC,判斷三角形的形狀.

cosB+cosC

二、新課導(dǎo)學(xué)

派典型例題

例1.如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的

同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離是55m,ZBAC=5I°,

ZACB=75°.求A、B兩點(diǎn)的距離（精確到0.1m）.

B

提問1：AABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？

分析：這是一道關(guān)于測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問

題

題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，

再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對角，

應(yīng)用正弦定理算出AB邊.

新知1：基線

在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的叫基線.

例2.如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間

距離的方法.

A

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)的點(diǎn)之間的距離測量問題.

首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定c、D兩點(diǎn).

根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分

別求出AC和BC,

再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離.

變式：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得NBCA=60°,ZACD=30°,

ZCDB=45°,ZBDA=60°.

練：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北

偏東30°,燈塔B在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三

角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.

2.基線的選?。?/p>

測量過程中，要根據(jù)需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度.

學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(時(shí)量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：

1.水平地面上有一個(gè)球，現(xiàn)用如下方法測量球的大小，用銳角45。的等腰直角三

角板的斜邊緊靠球面，P為切點(diǎn)，一條直角邊AC緊靠地面，并使三角板與地

面垂直，如果測得PA=5cm,則球的半徑等于().

A.5cm

B.5y/2cm/

C.5(>/2+l)cm(]/

D.6cm卜

2.臺風(fēng)中心從A地//_1_以每小時(shí)20千米的速度向東

北方向移動(dòng)，離臺風(fēng)八c中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)

區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為().

A.0.5小時(shí)B.1小時(shí)

C.1.5小時(shí)D.2小時(shí)

3.在AABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2->)sin(A+B),

則AABC的形狀().

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.在AA8C中，已知〃=4,b=6,C=120l則sin4的值是.

5.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60。，

行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15。，這時(shí)船與燈塔的距離為

km.

課后作業(yè)

1.隔河可以看到兩個(gè)目標(biāo)，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距抬km的C、D兩點(diǎn),

并測得NACB=75°，ZBCD=45°，ZADC=30°，ZADB=45°,A、B、

C、D在同一個(gè)平面，求兩目標(biāo)A、B間的距離.

2.某船在海面A處測得燈塔C與A相距106海里，且在北偏東30。方向；測得

燈塔B與A相距15#海里，且在北偏西75。方向.船由月向正北方向航行到D處,

測得燈塔B在南偏西60。方向.這時(shí)燈塔C與D相距多少海里？

§1.2應(yīng)用舉例一②測量高度

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物

體高度測量的問題；

2.測量中的有關(guān)名稱.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在AABC中，*=9=3,則AABC的形狀是怎樣？

cosBa3

復(fù)習(xí)2：在△ABC中，〃、b、c分別為ZA>NB、ZC的對邊，若〃:b:c=l:l：G，

求A:B:C的值.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角…從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角；

坡度一沿余坡向上的方向與水平方向的夾角；

仰角與俯角一視線與水平線的夾角當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，稱為仰角；當(dāng)視線在

水平線之下時(shí)，稱為俯角.

探究：AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測

量建筑物高度AB的方法.

分析：選擇基線HG,使H、G、B三點(diǎn)共線，

要求AB,先求AE

在AACE中，可測得角,關(guān)鍵求AC

在AACZ）中，可測得角,線段,又有a

故可求得AC<

H

X典型例題

例1.如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角々=54。40，，在塔底C

處測得A處的俯角〃=50。匕已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD（精

確到1m）

例2.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測得公路南側(cè)

遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15"的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在東

偏南250的方向上，仰角為8*,求此山的高度CD.

問題1：

欲求出CD,思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？

問題2：

在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條

件，易計(jì)算出哪條邊的長？

變式：某人在山頂觀察到地面上有相距2500米的A、B兩個(gè)目標(biāo)，測得目標(biāo)A

在更偏西57°,俯角是60°,測得目標(biāo)B在南偏東78°,俯角是45°,試求

ill|Hj.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂

得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?

X知識拓展

在湖面上高h(yuǎn)處，測得云之仰角為a,湖中云之影的俯角為尸，則云高為

.sin（a+￡）

/?------------.

sin（（2-/7）

圣一習(xí)評一價(jià)一

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.在△ABC中,下列關(guān)系中一定成立的是（）.

A.a>bsinAB.a=/?sin4

C.a<bsinAD.a>bsinA

2.在△ABC中，AB=3,BC=V13,AC=4,則邊AC上的高為（）.

A.—B.氈C.-D.3^3

222

3.D、C、B在地面同一直線上，DC=100米，從D、C兩地測得A的仰角分別

為30。和45。，則A點(diǎn)離地面的高AB等于（）米.

A.100B.506

C.50(73-1)D.50(6+1)

4.在地面上C點(diǎn)，測得一塔塔頂A和塔基B的仰角分別是60。和30。，已知塔基B

高出地面20〃1,則塔身48的高為m.

5.在AABC中，匕=2近，a=2,且三角形有兩解，則A的取值范圍

是.

課后作業(yè)

1.為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的

仰角為30°,測得塔基B的俯角為45°,則塔AB的高度為多少m?

2.在平地上有A、B兩點(diǎn)，A在山的正東，B在山的東南，且在A的南25°西

300米的地方，在A側(cè)山頂?shù)难鼋鞘?0°,求山高.

§1.2應(yīng)用舉例一③測量角度

學(xué)習(xí)目標(biāo)

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問

題.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1:在△4BC中，已知c=2,C=~,S.-absinC=y/3,求a,b.

32

復(fù)習(xí)2：設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A=60。，c=3,求色

的值.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例1.如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海

島B,然后從B出發(fā)，沿北偏東32。的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下

次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離?（角

度精確到01°,距離精確到O.Olnmile）

首先由三角形的內(nèi)角和定理求出角ZABC,

然后用余弦定理算出AC邊，

再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角NCAB.

例2.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45。相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南

偏東75。的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小

時(shí)的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追

趕上該走私船？

X動(dòng)手試試

練1.甲、乙兩船同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，甲船以每小時(shí)10(G+l)km的速度向正東航

行，乙船以每小時(shí)20km的速度沿南60°東的方向航行，1小時(shí)后甲、乙兩船分

別到達(dá)A、C兩點(diǎn)，求A、C兩點(diǎn)的距離，以及在A點(diǎn)觀察C點(diǎn)的方向角.

練2.某漁輪在A處測得在北45°的C處有一魚群，離漁輪9海里，并發(fā)現(xiàn)魚

群正沿南75°東的方向以每小時(shí)10海里的速度游去，漁輪立即以每小時(shí)14海

里的速度沿著直線方向追捕；問漁輪應(yīng)沿什么方向，需幾小時(shí)才能追上魚群？

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解

之.；

2.已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)

先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解.

X知識拓展

已知△ABC的三邊長均為有理數(shù)，A=3。，B=20,則cos5,是有理數(shù)，還是無理

數(shù)？

因?yàn)镃=;r-5。，由余弦定理知

cosC=《￡《為有理數(shù)，

lab

所以cos50=-cos（^--50）=-cosC為有理數(shù).

學(xué)習(xí)評價(jià)

X自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.從A處望B處的仰角為a,從B處望A處的俯角為則a,夕的關(guān)系為（）.

A.a>pB.a—P

C.a+/?=90°D,a+

2.已知兩線段a=2,b=2近,若以a、b為邊作三角形，則邊〃所對的角A的取

值范圍是().

A.B.(0,芻

o36

c.(0,§D.(0,g

3.關(guān)于x的方程sinAx?+2sinBx+sinC=0有相等實(shí)根，且A、B、C是△的三個(gè)

內(nèi)角，則三角形的三邊“、6c滿足().

A.b=acB.a=bc

C.c=abD.b*2=ac

4.AABC中，已知a:b:c=(6+l)：(G-1)：回,則此三角形中最大角的度數(shù)

為.

5.在三角形中，已知:A,a,b給出下列說法：

(1)若A290°,且aWb,則此三角形不存在

(2)若A290°,則此三角形最多有一解

(3)若A<90°,且240小，則此三角形為直角三角形，且B=90°

(4)當(dāng)A<90°,a<b時(shí)三角形一定存在

(5)當(dāng)A<90°,且bsinA<a<b時(shí)，三角形有兩解

其中正確說法的序號是.

課后作業(yè)

1.我艦在敵島A南偏西50。相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10。的

方向以10海里/小時(shí)的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2

小時(shí)追上敵艦？

2.

§1.2應(yīng)用舉例一④解三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)…

1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題;

2.掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用；

3.能證明三角形中的簡單的恒等式.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在AABC中

(1)若4=1,8=百,8=120。，則4等于.

(2)若”=36，b=2,C=150°,貝ljc=

復(fù)習(xí)2：

在A48c中，a=36，b=2,C=150°,則高BD=,三角形面積

—?

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究：在AABC中，邊BC上的高分別記為h.，那么它如何用已知邊和角表示?

h?=bsinC=csinB

根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=lah,

2

代入可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=-absinC,

2

或5=,

同理S=.

新知：三角形的面積等于三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦之積的一半.

X典型例題

例1.在AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確至UO.lcmD：

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5"；

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm；

(3)已知三邊的長分另lj為a=41.4cm,b=27.3cm,

c=38.7cm.

變式：在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)

過測量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面

積是多少？（精確到0.1cm2）

例2.在AABC中，求證：

(])a1+b2_sin2A+sin2B

c2sin2c

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

小結(jié)：證明三角形中恒等式方法：應(yīng)用正弦定理或余弦定理，“邊”化“角”

或“角”化“邊”.

派動(dòng)手試試

練1.在△ABC中，已知a=28cm,c=33cm,B=45°,則AABC的面積

是.

練2.在AABC中，求證:

c(acosB-bcosA)=a2-b1.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.三角形面積公式:

S=—absinC=

2

2.證明三角形中的簡單的恒等式方法：應(yīng)用正弦定理或余弦定理，“邊”化“角”

或“角”化“邊”.

X知識拓展

三角形面積S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）,

這里p=g（a+，+c）,這就是著名的海倫公式.

學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.在AA5C中，a=2,b=^3,C=60,則5切8（?=（）?

A.2GB.3C.73D.-

2.三角形兩邊之差為2,夾角的正弦值為3,面積為2,那么這個(gè)三角形的兩邊

52

長分別是（）.

A.3和5B.4和6C.6和8D.5和7

3.在AABC中，若2cosB.sin4=sinC,則AABC一定是（）三角形.

A.等腰B.直角C.等邊D.等腰直角

4.AA8C三邊長分別為3,4,6,它的較大銳角的平分線分三角形的面積比

是.

5.已知三角形的三邊的長分別為a=54cm,b=61cm,c=71cm,則4ABC的面積

是.

課后作業(yè)

2.已知在△ABC中，NB=30',b=6,c=6百，求a及△ABC的面積S.

2.在AABC中，若

sinA+sinB=sinC-(cosA+cosB),試判斷△ABC的形狀.

§1.2應(yīng)用舉例（練習(xí)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量的實(shí)際問題;

2.三角形的面積及有關(guān)恒等式.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題來解決.

復(fù)習(xí)2：基本解題思路是：

①分析此題屬于哪種類型（距離、高度、角度）；

②依題意畫出示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在圖中；

③確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，哪個(gè)定理求解；

④進(jìn)行作答，并注意近似計(jì)算的要求.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例1.某觀測站C在目標(biāo)A的南偏西25。方向，從A出發(fā)有一條南偏東35。走向的

公路，在C處測得與C相距316的公路上有一人正沿著此公路向A走去，走

20to到達(dá)D,此時(shí)測得CD距離為21km,求此人在D處距A還有多遠(yuǎn)？

例2.在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為。，沿BE方向前進(jìn)30m,

至點(diǎn)C處測得頂端A的仰角為2，，再繼續(xù)前進(jìn)106m至D點(diǎn)，測得頂端A的

仰角為4。，求。的大小和建筑物AE的高.

例3.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分NDAB,ZABC=60°,AC=7,AD=6,

SMDC=竽'求AB的長.

X動(dòng)手試試

練1.為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A

的仰角為30°,測得塔基B的俯角為45°,則塔AB的高度為多少m?

練2.兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的

北偏東30°,燈塔B在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.解三角形應(yīng)用題的基本思路，方法;

2.應(yīng)用舉例中測量問題的強(qiáng)化.

X知識拓展

秦九韶“三斜求積”公式：

字習(xí)評價(jià)

X自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.某人向正東方向走xh”后，向右轉(zhuǎn)150。，然后朝新方向走3而，結(jié)果他離出

發(fā)點(diǎn)恰好6碗，則x等于（）.

A.也B.26C.6或26D.3

2.在200米的山上頂，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30。,60、則塔高為

()米.

A2000200右400口40（）6

33…亍'3

3.在AABC中，NA=60。,AC=16,面積為2206，那么8C的長度為（).

A.25B.51C.496D.49

4.從200米高的山頂A處測得地面上某兩個(gè)景點(diǎn)B、C的俯角分別是30°和45°,

且NBAC=45°,則這兩個(gè)景點(diǎn)B、C之間的距離.

5.一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°相距20里處，隨后貨

輪按北偏西30°的方向航行，半小時(shí)后，又測得燈塔在貨輪的北偏東45。，則貨

輪的速度.

課后作業(yè)

1.3.5米長的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤足1.2米地面上，另一端在沿堤

上2.8米的地方，求堤對地面的傾斜角.

2.已知a,b,c為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，向量m=(百,-1),n

二(cosA,sinA).若且acosB+bcosA=csinC,求角B.

第一章解三角形（復(fù)習(xí)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問

題.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：正弦定理和余弦定理

（1）用正弦定理：

①知兩角及一邊解三角形；

②知兩邊及其中一邊所對的角解三角形（要討論解的個(gè)數(shù)）.

（2）用余弦定理：

①知三邊求三角；

②知道兩邊及這兩邊的夾角解三角形.

復(fù)習(xí)2：應(yīng)用舉例

①距離問題，②高度問題，

③角度問題，④計(jì)算問題.

練：有一長為2公里的斜坡，它的傾斜角為30°,現(xiàn)要將傾斜角改為45°,且

高度不變.則斜坡長變?yōu)?

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例1.在AA8c中tan（A+B）=1,且最長邊為1,tan4>tanB,tanB=；,求角C的

大小及4ABC最短邊的長.

例2.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘

漁船遇險(xiǎn)等待營救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30。，

相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救

援（角度精確到「）？

2c-b

例3.在△ABC中，設(shè)也■=求A的值.

tan8b

X動(dòng)手試試

練1.如圖，某海輪以60nmile/h的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏

東60°,向北航行40min后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東30°,海輪改為北

偏東60°的航向再行駛80min到達(dá)C點(diǎn)，求P、C間的距離.

練2.在△回（：中，b=10,A=30°,問a取何值時(shí)，此三角形有一個(gè)解？兩個(gè)

解？無解？

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.應(yīng)用正、余弦定理解三角形；

2.利用正、余弦定理解決實(shí)際問題（測量距離、高度、角度等）；

3.在現(xiàn)實(shí)生活中靈活運(yùn)用正、余弦定理解決問題.（邊角轉(zhuǎn)化）.

X知識拓展

設(shè)在AABC中，已知三邊a,h,c,那么用已知邊表示外接圓半徑R的公式是

dp（p-a）（p-b）（p-c）

學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.已知AABC中，AB=6,NA=30°,NB=120。，貝nABC的面積為（）.

A.9B.18C.9D.186

2.在AABC中，若，=/+從+必，則NC=（）.

A.60°B.90°C.150°D.120°

3.在AABC中，a=80,*=100,A=30°,則B的解的個(gè)數(shù)是（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.不確定的

4.在△ABC中，a=3V2,b=2-73,cosC=；,則S^ABC=

5.在AABC中，a、b、c分別為NA、5B、5c的對邊,若=從+c?-2fecsinA,

貝ljA=.

課后作業(yè)

1.已知4、B、C為AA8C的三內(nèi)角，且其對邊分別為“、b、c,若

cosBcosC-sin5sinC=—.

2

(1)求A;

(2)若a=2g,b+c=4,求AABC的面積.

222

2.在AABC中，a,b,c分別為角A、B、C的對邊，a-c=b-^-,a=3,AABC

的面積為6,

(1)求角A的正弦值；(2)求邊b、c.

§2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(1)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；

2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)；

3.對于比較簡單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的個(gè)通項(xiàng)公式.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材P28~P30，找出疑惑之處)

復(fù)習(xí)1:函數(shù)',當(dāng)X依次取1,2,3,…時(shí)，其函數(shù)值有什么特點(diǎn)？

復(fù)習(xí)2：函數(shù)y=7x+9,當(dāng)x依次取1,2,3,…時(shí)一，其函數(shù)值有什么特點(diǎn)？

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)：數(shù)列的概念

1.數(shù)列的定義：的一列數(shù)叫做數(shù)列.

2,數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

反思：

⑴如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們是相同的數(shù)列？

⑵同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)嗎？

3.數(shù)列的一般形式：49嗎,…4,…，或簡記為應(yīng)｝,其中凡是數(shù)列的第一項(xiàng).

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛q｝的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用

來表示，那么就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

反思：

⑴所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式？

⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一？

⑶數(shù)列與函數(shù)有關(guān)系嗎？如果有關(guān)，是什么關(guān)系?

5.數(shù)列的分類：

1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分?jǐn)?shù)列和數(shù)列;

2）根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的大小變化情況分為數(shù)列，

數(shù)列，數(shù)列和數(shù)列.

X典型例題

例1寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

⑵1,0,1,0.

變式：寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

⑴1,J2,其

251017

⑵1,—1,1,11;

小結(jié)：要由數(shù)列的若干項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，只需觀察分析數(shù)列中的項(xiàng)的

構(gòu)成規(guī)律，將項(xiàng)表示為項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系.

例2已知數(shù)歹U2,2,2’…的通項(xiàng)公式為“誓,求這個(gè)數(shù)列的第四項(xiàng)和第

五項(xiàng).

變式：已知數(shù)列有，而，后,723,曬，…,則5右是它的第項(xiàng).

小結(jié)：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要將數(shù)列中的項(xiàng)代入通項(xiàng)公式，就可以求出項(xiàng)數(shù)

和項(xiàng).

X動(dòng)手試試

練1.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

(2)1,叵,G，2.

練2.寫出數(shù)列｛/-〃｝的第20項(xiàng)，第n+1項(xiàng).

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.對于比較簡單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式;

2.會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng).

X知識拓展

數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集的特殊函數(shù).

思考：設(shè)/(")=1+2+1+…+―'—(neN*)刃法f(n+1)-/(n)()

233A?-1

C.—^-+—D.—+—

3n4-13n+23n3n+13〃+2

學(xué)習(xí)評價(jià)

x自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.下列說法正確的是（）.

A.數(shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)數(shù)

B.1,2,3,4與4,3,2,1是同一數(shù)列

C.1,1,1,1…不是數(shù)列

D.兩個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)相同，則數(shù)列相同

2.下列四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列｛”（〃+1）｝中的一項(xiàng)（）.

A.380B.392C.321D.232

3.在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：

3,8,15,,35,48.

n(n-l)

4.數(shù)列｛(-1)丁)的第4項(xiàng)是.

5.寫出數(shù)列七1-總右的一個(gè)通項(xiàng)公式

2^2

課后作業(yè)

1.寫出數(shù)列｛2”｝的前5項(xiàng).

2.⑴寫出數(shù)列一的一個(gè)通項(xiàng)公式為-------------.

(2)已知數(shù)列6,布，a,岳，M,…那么3布是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).

§2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(2)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；

2.會(huì)由遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，并掌握求簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

（預(yù)習(xí)教材P3I~P34，找出疑惑之處）

復(fù)習(xí)1:什么是數(shù)列？什么是數(shù)列的通項(xiàng)公式？

復(fù)習(xí)2：數(shù)列如何分類？

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)：數(shù)列的表示方法

問題：觀察鋼管堆放示意圖，尋找每層的鋼管數(shù)%與層數(shù)n

之間有何關(guān)系？

1.通項(xiàng)公式法：

試試：上圖中每層的鋼管數(shù)可與層數(shù)n之間關(guān)系的一個(gè)通項(xiàng)公式

是.

2.圖象法：

數(shù)列的圖形是，因?yàn)闄M坐標(biāo)為—數(shù)，所以這些點(diǎn)都在

y軸的一側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的.從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的

項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢.

3.遞推公式法：

遞推公式：如果已知數(shù)列｛q｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)％與它的前一項(xiàng)

（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)

列的遞推公式.

試試：上圖中相鄰兩層的鋼管數(shù)《，與??+1之間關(guān)系的一個(gè)遞推公式

是.

4.列表法：

試試：上圖中每層的鋼管數(shù)%與層數(shù)n之間關(guān)系的用列表法如何表示？

反思：所有數(shù)列都能有四種表示方法嗎？

X典型例題

4=1

例1設(shè)數(shù)列｛%｝滿足“=]+,（〃>]）寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng).

變式：已知q=2,a.M=2a,,寫出前5項(xiàng)，并猜想通項(xiàng)公式a,,.

小結(jié)：由遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)，只要讓n依次取不同的值代入遞推公式就可求出

數(shù)列的項(xiàng).

例2已知數(shù)列｛”"｝滿足q=0,a?+1=an+2n,那么由（）（?=（）.

A.2003X2004B.2004X2005

C.2007X2006