高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省江門市2024屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因，，則.故選：B2.已知是數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，則，則，因此，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，，所以.故選：C.4.設(shè)、、且，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，且，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，則，但，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，D錯(cuò).故選：A.5.“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的（）條件A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，則，解得：，故的取值范圍為．故“”是的充分不必要條件．故選：A6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（）A.16 B.18 C.20 D.25〖答案〗B〖解析〗依題意，.故選：B.7.若的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10，則m＝（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為；令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，因?yàn)榈恼归_式中常數(shù)項(xiàng)是10，所以，解得，故選：D8.已知函數(shù)的定義城為R，且滿足，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.-3 B.-1 C.1 D.3〖答案〗D〖解析〗依題意，，令替換得，再令替換得.所以是周期為的周期函數(shù).所以.故選：D二、多項(xiàng)選擇題9.已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（）A.與的夾角為鈍角B.向量在方向上的投影為C.D.的最大值為2〖答案〗CD〖解析〗由題意，均為正數(shù)，，A項(xiàng)，∵，∴與夾角不為鈍角，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，∵，∴向量在方向上的投影為，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，∵，，∴，即，C正確；D項(xiàng)，∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為2，D正確；故選：CD.10.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.若p，q為實(shí)數(shù)，則是等比數(shù)列B.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，成等差數(shù)列C.若數(shù)列的公比，則數(shù)列是遞增數(shù)列D.若數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞減數(shù)列〖答案〗BD〖解析〗取，，顯然A不正確；由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知B正確；取，易知，但為遞減數(shù)列，故C不正確；若，則由等差數(shù)列定義知，故數(shù)列是遞減數(shù)列，D正確.故選：BD.11.某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若任意選擇三門課程，則選法總數(shù)為B.若物理和化學(xué)至少選一門，則選法總數(shù)為C.若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法總數(shù)D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，則選法總數(shù)為〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，若任意選擇三門課程，則選法總數(shù)為，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若物理和化學(xué)至少選一門，則選法總數(shù)為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法總數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，只選物理、不選化學(xué)和歷史，選法為；只選化學(xué)、不選物理，選法為；物理化學(xué)同時(shí)選、不選歷史，選法為.所以選法總數(shù)是，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)是減函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗的定義域?yàn)椋?，則，所以為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?所以,，所以,故的值域?yàn)?C正確；設(shè),則,因?yàn)椋?，所?即，所以函數(shù)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選:AC.三、填空題13.已知冪函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗由題意可得，解得.故〖答案〗為：.14.已知正實(shí)數(shù),滿足,則最小值為______．〖答案〗16〖解析〗,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以,的最小值為16.故〖答案〗為:16.15.________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：16.設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占、、，甲、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為和.現(xiàn)從中任取一件，若取到的是次品的概率為，則推測(cè)乙車間的次品率為____________.〖答案〗〖解析〗設(shè)表示“取到的是一件次品”，分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，顯然是樣本空間的一個(gè)劃分，且有，由于，設(shè)，由全概率公式得即，解得，推測(cè)乙車間的次品率為故〖答案〗為：四、解答題17.等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，，解得，；（2），.；綜上，18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．解：（1），則則，又，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（2），則，由可得或，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.19.為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，研究這一社區(qū)居民在20：00～22：00時(shí)間段的休閑方式與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人，得到下面的數(shù)據(jù)表：休閑方式性別看電視看書合計(jì)男105060女101020合計(jì)206080（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“在20：00～22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？（2）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，在該社區(qū)的所有男性中隨機(jī)調(diào)查3人，設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差.P(χ2≥x0)0.150.10.050.0250.010.005x02.0722.7063.8415.0246.6357.879.解：（1）提出假設(shè)H0：在20：00～22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別無關(guān)系，根據(jù)樣本提供的2×2列聯(lián)表得，，當(dāng)H0成立時(shí)，的概率約為0.01，所以我們有99%的把握認(rèn)為居民的休閑方式與性別有關(guān).（2）由題意得，，且，故,20.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E在棱上移動(dòng)．（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，所以，所以.（2）解：當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)與平面所成角為，則.21.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績(jī)（卷面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．（1）用樣本估計(jì)總體，求此次知識(shí)競(jìng)賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（2）可以認(rèn)為這次競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N，2（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為、的近似值），已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差s7.36，如有84%的學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的平均分約為多少？（結(jié)果取整數(shù)）（3）從得分區(qū)間80，90和90，100的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再?gòu)倪@10份樣本中隨機(jī)抽測(cè)3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間80，90的概率．參考數(shù)據(jù)：若X~N，2，則PX0.68，P2X20.95，P3X30.99.解：（1）由頻率分布直方圖可知，平均分；（2）由（1）可知設(shè)學(xué)校期望的平均分約為m，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以學(xué)校期望的平均分約為73分；（3）由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在和的頻率分別為0.35和0.15，那么按照分層抽樣，抽取10人，其中分?jǐn)?shù)在，應(yīng)抽取人，分?jǐn)?shù)在應(yīng)抽取人，記事件：抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間；事件B:取出的試卷有2份來自區(qū)間80，90，則，，則．所以抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間80，90的概率為.22.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求m的值；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，則.若，則有，時(shí)，；時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是函數(shù)的極值點(diǎn).故.（2）若在上恒成立，則在上恒成立，令，則，令，則.當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增且，故當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，則，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.廣東省江門市2024屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因，，則.故選：B2.已知是數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋瑒t，則，因此，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，，所以.故選：C.4.設(shè)、、且，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，且，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，則，但，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，D錯(cuò).故選：A.5.“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的（）條件A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，則，解得：，故的取值范圍為．故“”是的充分不必要條件．故選：A6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（）A.16 B.18 C.20 D.25〖答案〗B〖解析〗依題意，.故選：B.7.若的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10，則m＝（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為；令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，因?yàn)榈恼归_式中常數(shù)項(xiàng)是10，所以，解得，故選：D8.已知函數(shù)的定義城為R，且滿足，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.-3 B.-1 C.1 D.3〖答案〗D〖解析〗依題意，，令替換得，再令替換得.所以是周期為的周期函數(shù).所以.故選：D二、多項(xiàng)選擇題9.已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（）A.與的夾角為鈍角B.向量在方向上的投影為C.D.的最大值為2〖答案〗CD〖解析〗由題意，均為正數(shù)，，A項(xiàng)，∵，∴與夾角不為鈍角，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，∵，∴向量在方向上的投影為，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，∵，，∴，即，C正確；D項(xiàng)，∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為2，D正確；故選：CD.10.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.若p，q為實(shí)數(shù)，則是等比數(shù)列B.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，成等差數(shù)列C.若數(shù)列的公比，則數(shù)列是遞增數(shù)列D.若數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞減數(shù)列〖答案〗BD〖解析〗取，，顯然A不正確；由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知B正確；取，易知，但為遞減數(shù)列，故C不正確；若，則由等差數(shù)列定義知，故數(shù)列是遞減數(shù)列，D正確.故選：BD.11.某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若任意選擇三門課程，則選法總數(shù)為B.若物理和化學(xué)至少選一門，則選法總數(shù)為C.若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法總數(shù)D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，則選法總數(shù)為〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，若任意選擇三門課程，則選法總數(shù)為，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若物理和化學(xué)至少選一門，則選法總數(shù)為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法總數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，只選物理、不選化學(xué)和歷史，選法為；只選化學(xué)、不選物理，選法為；物理化學(xué)同時(shí)選、不選歷史，選法為.所以選法總數(shù)是，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)是減函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗的定義域?yàn)?，，則，所以為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?所以,，所以,故的值域?yàn)?C正確；設(shè),則,因?yàn)椋?，所?即，所以函數(shù)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選:AC.三、填空題13.已知冪函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗由題意可得，解得.故〖答案〗為：.14.已知正實(shí)數(shù),滿足,則最小值為______．〖答案〗16〖解析〗,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以,的最小值為16.故〖答案〗為:16.15.________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：16.設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占、、，甲、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為和.現(xiàn)從中任取一件，若取到的是次品的概率為，則推測(cè)乙車間的次品率為____________.〖答案〗〖解析〗設(shè)表示“取到的是一件次品”，分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，顯然是樣本空間的一個(gè)劃分，且有，由于，設(shè)，由全概率公式得即，解得，推測(cè)乙車間的次品率為故〖答案〗為：四、解答題17.等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，，解得，；（2），.；綜上，18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．解：（1），則則，又，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（2），則，由可得或，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.19.為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，研究這一社區(qū)居民在20：00～22：00時(shí)間段的休閑方式與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人，得到下面的數(shù)據(jù)表：休閑方式性別看電視看書合計(jì)男105060女101020合計(jì)206080（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“在20：00～22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？（2）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，在該社區(qū)的所有男性中隨機(jī)調(diào)查3人，設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差.P(χ2≥x0)0.150.10.050.0250.010.005x02.0722.7063.8415.0246.6357.879.解：（1）提出假設(shè)H0：在20：00～22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別無關(guān)系，根據(jù)樣本提供的2×2列聯(lián)表得，，當(dāng)H0成立時(shí)，的概率約為0.01，所以我們有99%的把握認(rèn)為居民的休閑方式與性別有關(guān).（2）由題意得，，且，故,20.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E在棱上移動(dòng)．（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，所以，所以.（2）解：當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)與平面所成角為，則.21.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績(jī)（卷面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．（1）用樣本估計(jì)總體，求此次知識(shí)競(jìng)賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（2）