二次曲面習(xí)題課Chap、4二次曲面(quadricsurfaces)空間解析幾何得兩個(gè)基本問題:一、給定曲面,建立方程;二、給定方程,研究它得圖形及其幾何性質(zhì)。1、柱面(cylinder)定義:一直線L沿一已知曲線C平行移動(dòng)而得得曲面稱為

柱面。

C——準(zhǔn)線(directrix),L——母線(ruling)直柱面:射影柱面依次消去一個(gè)變?cè)溆爸嬷娴脜?shù)方程(parametricequation)(P147ex4)圓錐面直線l1繞另一條與l1相交于O得直線l2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面、

O——頂點(diǎn)(vertex)

兩直線得夾角——半頂角錐面一直線通過定點(diǎn)O,且沿空間中一條定曲線C

移動(dòng)所產(chǎn)生得曲面稱為錐面、

O——頂點(diǎn)

C——準(zhǔn)線(不唯一

)動(dòng)直線——母線(不唯一

)2、錐面(conicalsurface)錐面得參數(shù)方程(P152ex6)3、旋轉(zhuǎn)曲面(surfaceofrevolution)定義:曲線C繞定直線l旋轉(zhuǎn)一周所生成得曲面稱為旋轉(zhuǎn)

曲面。l——旋轉(zhuǎn)軸,C——母線旋轉(zhuǎn)曲面得參數(shù)方程(P158ex3)4、橢球面(ellipsoid)

(1)橢球面得方程

(2)橢球面得性質(zhì)

(1)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對(duì)稱。

（2）并有六個(gè)頂點(diǎn)

(3)形狀(與三個(gè)坐標(biāo)面得交線):

就是一個(gè)橢圓

(ellipse)(2)就是一個(gè)橢圓

(3)就是一個(gè)橢圓

(4)橢球面得參數(shù)方程(廣義球坐標(biāo)系)大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點(diǎn)5、雙曲面(hyperboloid)

I、

單葉雙曲面(hyperboloidofonesheet)

方程:

性質(zhì):(1)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對(duì)稱。

(2)有四個(gè)頂點(diǎn)(3)形狀:

(1)就是一個(gè)橢圓(腰橢圓)

(2)就是雙曲線

(hyperbola)(3)就是雙曲線

(4)就是一個(gè)橢圓

???íì=+=+hzchbyax2222221II、雙葉雙曲面(hyperboloidoftwosheets)

方程:

性質(zhì):

(1)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面都對(duì)稱。

(2)有兩個(gè)頂點(diǎn)

(3)形狀:

(6)就是雙曲線

(7)就是雙曲線

參數(shù)方程(P168ex、7)(1)單葉雙曲面(2)雙葉雙曲面6、拋物面(paraboloid)

I、橢圓拋物面(ellipticparaboloid)

方程:

性質(zhì):

(1)橢圓拋物面對(duì)稱于XOZ與YOZ坐標(biāo)面,對(duì)稱于z軸,無對(duì)稱中心。(2)與對(duì)稱軸交于原點(diǎn)(0,0,0),叫做橢圓拋物面得頂點(diǎn)。

(3)形狀:

(1)就是拋物線

(parabola)

(2)就是拋物線

主拋物線

(3)就是一個(gè)橢圓

容易知道圖形(3)得兩對(duì)頂點(diǎn)分別在主拋物線(1)與(2)上。???íì==+hzhbyhax2222122

(4)就是拋物線

???íì=-=tybtzax)2(22222II、雙曲拋物面(hyperbolicparaboloid)

方程:

性質(zhì):

(1)橢圓拋物面對(duì)稱于XOZ與YOZ坐標(biāo)面,對(duì)稱于z軸,無對(duì)稱中心。

(2)形狀:

（5）就是一對(duì)相交于原點(diǎn)得直線(6)就是拋物線

(7)就是拋物線

主拋物線

(8)就是雙曲線(hyperbola)

???íì==-hzhbyhax2222122(9)就是拋物線７、單葉雙曲面與雙曲拋物面得直母線定義:由一族直線生成得曲面稱為直紋面(ruledsurface)、這族直線稱為曲面得一族直母線。１、單葉雙曲面u族直母線v

族直母線

對(duì)于單葉雙曲面上得每個(gè)點(diǎn),兩族直母線中各有一條直母線經(jīng)過該點(diǎn)２、雙曲拋物面

對(duì)于雙曲拋物面上得每個(gè)點(diǎn),兩族直母線中各有一條直母線經(jīng)過該點(diǎn)直母線:定理單葉雙曲面上異族得任意兩直母線必共面,而雙曲拋物面上異族得任意兩直母線必相交。定理單葉雙曲面或雙曲拋物面上同族得任意兩直母線總就是異面直線,而且雙曲拋物面上同族得全體直母線平行于同一平面。例題例1、

研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式得三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它得圖形、其圖形可能就是得曲面、表示怎樣半徑為得球面、球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡、例2、試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為得圓錐面方程、解:在yoz面上直線L得方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面得方程為兩邊平方例3、

求坐標(biāo)面xoz上得雙曲線分別繞

x軸與

z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成得旋轉(zhuǎn)曲面方程、解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面、所成曲面方程為所成曲面方程為例4、求準(zhǔn)線就是,母線方向?yàn)榈弥娣匠?。?準(zhǔn)線可改寫為所求柱面方程為消去參數(shù)u,v得例5、求半徑為2,對(duì)稱軸為得圓柱面方程。解:在所求圓柱面上任取一點(diǎn),由得例6、求準(zhǔn)線就是,頂點(diǎn)為原點(diǎn)得錐面方程。解:準(zhǔn)線方程為所求錐面方程為消去參數(shù)u,v得例7、由橢球面得中心,引三條兩兩互相垂直得射線,分別交曲面于,設(shè),試證:(課本P162,ex4)解:設(shè)得單位向量分別為P1得坐標(biāo)為,代入橢球面方程,得同理可得由于兩兩垂直,知就是正交得矩陣,于就是有所以例8、試求單葉雙曲面上互相垂直得兩直母線交點(diǎn)得軌跡方程。(課本P182,ex8)解:過單葉雙曲面上所求軌跡上一點(diǎn)得兩條直母線分別為L1與L2當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),L1與L2得方向向量分別為當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由垂直,得分別在與得情況下,計(jì)算上式各項(xiàng),再整理得所求軌跡均為例9、

將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為繞z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為消去t

與

,得旋轉(zhuǎn)曲面方程為例10、求空間曲線

:例11、直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,求此旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲面得方程、解:在L

上任取一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)軌跡上任一點(diǎn),則有得旋轉(zhuǎn)曲面方程例12求在xoy

面上得投影曲線方程。例13求所圍得立體在xoy

面上得投影區(qū)域。上半球面與錐面在xoy面上得投影曲線二者交線所圍圓域:例14求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)得曲面與平面得交線在

xoy平面得投影曲線方程、解:旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xoy

面