第03講充分條件與必要條件【學(xué)習(xí)目標】1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系2.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系3.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系【基礎(chǔ)知識】一、“?”及“?”的含義“?”是推斷符號,p?q即如果p成立,那么q一定成立,“?”表示“等價”,如“p?q”指的是“如果p,那么q”,同時有“如果q,那么p”,或者說“從p推出q”,同時可“從q推出p”.二、充分條件與必要條件1.如果p?q,則p是q的充分條件,同時q是p的必要條件；2.如果p?q,但q?p,則p是q的充分不必要條件；3.如果p?q,且q?p,則p是q的充要條件；4.如果q?p,且p?q,則p是q的必要不充分條件；5.如果p?q,且q?p,則p是q的既不充分也不必要條件．6.充分條件與必要條件的理解充分條件:說條件是充分的,也就是說條件是充足的,條件是足夠的,條件是足以保證的.“有之必成立,無之未必不成立”.必要條件:必要就是必須,必不可少.“有之未必成立,無之必不成立”7.從集合角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為(1)若A?B,則p是q的充分條件；(2)若A?B,則p是q的必要條件；(3)若A＝B,則p是q的充要條件；(4)若AB,則p是q的充分不必要條件；(5)若AB,則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且A?B,則p是q的既不充分也不必要條件．三、判斷充分條件、必要條件的注意點1.明確條件與結(jié)論.2.判斷若p,則q是否成立時注意利用等價命題.3.可以用反例說明由p推不出q,但不能用特例說明由p可以推出q.四、充要條件一定要分清誰是條件誰是結(jié)論,注意下面兩種敘述方式的區(qū)別：1.p是q的充分條件；2.p的充分條件是q.五、充分條件、必要條件的應(yīng)用,一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意：1.把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．2.要注意區(qū)間端點值的檢驗．六、充要條件的證明策略1.要證明一個條件p是否是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個方向進行,即證明兩個命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.2.在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明,證明p與q的解集是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.【基礎(chǔ)知識】考點一：充分條件與必要條件的判斷例1．(2020-2021學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一上學(xué)期第一次段考)“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件考點二：與充分條件必要條件命題真假的判斷例2．(多選)(2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一上學(xué)期期末)下列四個命題中為真命題的是(

)A．“”是“”的既不充分也不必要條件B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件C．關(guān)于的方程有實數(shù)根的充要條件是D．若集合，則是的充分不必要條件考點三：根據(jù)充分條件與必要條件求參數(shù)范圍例3．(2022學(xué)年上海市奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)，，若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是_______.考點四：充分條件與必要條件的推理例4．(2022學(xué)年安徽省A10聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是(

)A．是的必要不充分條件 B．是的充要條件C．是的充分不必要條件 D．是的充要條件【真題演練】1．(2020-2021學(xué)年重慶市青木關(guān)中學(xué)高一上學(xué)期12月月考)“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.(2022學(xué)年安徽省蚌埠第三中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)測試)設(shè)P：，q：，則p是q成立的(

)A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件3.(2022學(xué)年遼寧省撫順市撫順縣高中高一上學(xué)期10月月考)下列說法正確的是(

)A．是的充分不必要條件B．是的充要條件C．若，則是的充分條件D．一個四邊形是矩形的充分條件是它是平行四邊形4.(多選)(2022學(xué)年浙江省寧波市金蘭教育合作組織高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有(

)A． B． C． D．5.(2022學(xué)年湖北省武漢市水果湖高中高一上學(xué)期10月月考)若“或”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)k的值可以是(

)A． B． C．1 D．46.(2022學(xué)年湖北省高一上學(xué)期期末調(diào)考)若命題p是命題“”的充分不必要條件，則p可以是___________.(寫出滿足題意的一個即可)7.(2022學(xué)年江西省豐城市第九中學(xué)高一上學(xué)期第一次月考)給出下列命題：①已知集合，且，則集合的真子集個數(shù)是4；②“”是“”的必要不充分條件；③“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件④設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件其中所有正確命題的序號是__________．8.(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末)已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年湖南省長沙市望城區(qū)金海學(xué)校高一上學(xué)期期中)“”是“”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.使“0＜x＜4”成立的一個必要不充分條件是(

)A．x＞0 B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3 D．x＜03.(2022學(xué)年湖南省益陽市箴言中學(xué)高一上學(xué)期10月月考)設(shè)，則“或”是“”的(

)A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件4.(2022學(xué)年福建省福州市閩侯縣一中學(xué)高一上學(xué)期月考)在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC為直角三角形的(

)條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要5．(多選)(2020-2021學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高一上學(xué)期期中)p是q的必要條件的是(

)A． B．C．p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形 D．，q：關(guān)于x的方程有唯一解6.(多選)設(shè)全集為，在下列選項中，是的充要條件的有(

)A． B．C． D．7.(多選)已知，都是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，則(

)A．是的充分條件 B．是的必要條件C．是的必要不充分條件 D．是的充要條件8.下列命題：①“且”是“”的充要條件；②當時，“”是“方程有解”的充要條件；③“或”是“方程”的充要條件．其中正確的序號為______．9．已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是___________．10.(2022學(xué)年貴州省畢節(jié)市金沙縣高一10月月考)已知集合，，其中，是關(guān)于x的方程的兩個不同的實數(shù)根.(1)是否存在實數(shù)a，使得“”是“”的充要條件？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.(2)若“”是“”的必要不充分條件，求a的取值范圍..第03講充分條件與必要條件【學(xué)習(xí)目標】1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系2.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系3.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系【基礎(chǔ)知識】一、“?”及“?”的含義“?”是推斷符號,p?q即如果p成立,那么q一定成立,“?”表示“等價”,如“p?q”指的是“如果p,那么q”,同時有“如果q,那么p”,或者說“從p推出q”,同時可“從q推出p”.二、充分條件與必要條件1.如果p?q,則p是q的充分條件,同時q是p的必要條件；2.如果p?q,但q?p,則p是q的充分不必要條件；3.如果p?q,且q?p,則p是q的充要條件；4.如果q?p,且p?q,則p是q的必要不充分條件；5.如果p?q,且q?p,則p是q的既不充分也不必要條件．6.充分條件與必要條件的理解充分條件:說條件是充分的,也就是說條件是充足的,條件是足夠的,條件是足以保證的.“有之必成立,無之未必不成立”.必要條件:必要就是必須,必不可少.“有之未必成立,無之必不成立”7.從集合角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為(1)若A?B,則p是q的充分條件；(2)若A?B,則p是q的必要條件；(3)若A＝B,則p是q的充要條件；(4)若AB,則p是q的充分不必要條件；(5)若AB,則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且A?B,則p是q的既不充分也不必要條件．三、判斷充分條件、必要條件的注意點1.明確條件與結(jié)論.2.判斷若p,則q是否成立時注意利用等價命題.3.可以用反例說明由p推不出q,但不能用特例說明由p可以推出q.四、充要條件一定要分清誰是條件誰是結(jié)論,注意下面兩種敘述方式的區(qū)別：1.p是q的充分條件；2.p的充分條件是q.五、充分條件、必要條件的應(yīng)用,一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意：1.把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．2.要注意區(qū)間端點值的檢驗．六、充要條件的證明策略1.要證明一個條件p是否是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個方向進行,即證明兩個命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.2.在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明,證明p與q的解集是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.【基礎(chǔ)知識】考點一：充分條件與必要條件的判斷例1．(2020-2021學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一上學(xué)期第一次段考)“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件答案:B解析：三角形的某兩條邊相等則三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，所以充分性不成立；三角形為等邊三角形則其三邊相等，能得到三角形的任意兩邊也是相等的，所以必要性成立.故選B.考點二：與充分條件必要條件命題真假的判斷例2．(多選)(2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一上學(xué)期期末)下列四個命題中為真命題的是(

)A．“”是“”的既不充分也不必要條件B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件C．關(guān)于的方程有實數(shù)根的充要條件是D．若集合，則是的充分不必要條件答案:AC解析：且，所以A正確；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分不必要條件，故B錯誤；一元二次方程有實根則，反之亦然，故C正確；當集合A=B時，應(yīng)為充要條件，故D不正確.故選AC.考點三：根據(jù)充分條件與必要條件求參數(shù)范圍例3．(2022學(xué)年上海市奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)，，若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是_______.答案:解析：由已知可得，所以，.考點四：充分條件與必要條件的推理例4．(2022學(xué)年安徽省A10聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是(

)A．是的必要不充分條件 B．是的充要條件C．是的充分不必要條件 D．是的充要條件答案:BD解析：由題意得，，，，，，所以，，，所以是的充要條件，是的充要條件，是的充要條件，故選BD.【真題演練】1．(2020-2021學(xué)年重慶市青木關(guān)中學(xué)高一上學(xué)期12月月考)“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案:B解析：因為，故可得或，若，則不一定有，故充分性不滿足；若，則一定有，故必要性成立，綜上所述：“”是“”的必要不充分條件.故選.2.(2022學(xué)年安徽省蚌埠第三中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)測試)設(shè)P：，q：，則p是q成立的(

)A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件答案:B解析：由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分條件.故選B.3.(2022學(xué)年遼寧省撫順市撫順縣高中高一上學(xué)期10月月考)下列說法正確的是(

)A．是的充分不必要條件B．是的充要條件C．若，則是的充分條件D．一個四邊形是矩形的充分條件是它是平行四邊形答案:B解析：A.

由，所以是的必要不充分條件，故A錯誤；B.

時，則，反過來也成立，所以是的充要條件，故B正確；C.

，則p是q的必要條件，故C錯誤；D.

矩形是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形，所以一個四邊形是矩形的必要條件是它是平行四邊形，故D錯誤.故選B4.(多選)(2022學(xué)年浙江省寧波市金蘭教育合作組織高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有(

)A． B． C． D．答案:CD解析：由得，即，故能使成立的充分不必要條件有CD.故選CD.5.(2022學(xué)年湖北省武漢市水果湖高中高一上學(xué)期10月月考)若“或”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)k的值可以是(

)A． B． C．1 D．4答案:ACD解析：若“或”是“”的必要不充分條件，所以或，所以或.故選ACD6.(2022學(xué)年湖北省高一上學(xué)期期末調(diào)考)若命題p是命題“”的充分不必要條件，則p可以是___________.(寫出滿足題意的一個即可)答案:，(答案不唯一).解析：因為當時，一定成立，而當時，可能，可能，所以是的充分不必要條件，故答案為：(答案不唯一)7.(2022學(xué)年江西省豐城市第九中學(xué)高一上學(xué)期第一次月考)給出下列命題：①已知集合，且，則集合的真子集個數(shù)是4；②“”是“”的必要不充分條件；③“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件④設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件其中所有正確命題的序號是__________．答案:③④解析：①，故真子集個數(shù)為個，錯誤；②由，可得或，故“”是“”的充分不必要條件，錯誤；③由開口向上且對稱軸為，只需即可保證原方程有一個正根和一個負根，故“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件，正確；④當，時，不成立；當時，且，故“”是“”的必要不充分條件，正確.故答案為③④8.(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末)已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．解析：(1)由已知，或，所以或＝；(2)“”是“”的充分不必要條件，則，解得，所以的范圍是． 【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年湖南省長沙市望城區(qū)金海學(xué)校高一上學(xué)期期中)“”是“”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案:A解析：由題，將代入，等式成立，所以“”是“”的充分條件；求解，得到，故“”是“”的不必要條件；故選A2.使“0＜x＜4”成立的一個必要不充分條件是(

)A．x＞0 B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3 D．x＜0答案:A解析：設(shè)p:0＜x＜4，所求的命題為q，則原表述可以改寫為q是p的必要不充分條件，即q推不出p，但p?q.，顯然由:0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，故選A3.(2022學(xué)年湖南省益陽市箴言中學(xué)高一上學(xué)期10月月考)設(shè)，則“或”是“”的(

)A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件答案:B解析：若“或”則“”為真，等價于若“”則“且”為真，顯然該命題為假，“或”推不出“”，反之，若“”，則“或”為真，等價于若“且”則“”為真，顯然成立，“”可推出“或”，“或”是“”的必要非充分條件，故選B4.(2022學(xué)年福建省福州市閩侯縣一中學(xué)高一上學(xué)期月考)在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC為直角三角形的(

)條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要答案:A解析：在△ABC中，若AB2+BC2=AC2，，則，即△ABC為直角三角形，若△ABC為直角三角形，推不出，所以AB2+BC2=AC2不一定成立，綜上，AB2+BC2=AC2是△ABC為直角三角形的充分不必要條件，故選A5．(多選)(2020-2021學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高一上學(xué)期期中)p是q的必要條件的是(

)A． B．C．p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形 D．，q：關(guān)于x的方程有唯一解答案:CD解析：對于A，，，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要條件；對于B，；當時，滿足但q推不出p，故p是q的充分不必要條件；對于C，若“兩條對角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正方形”；反之，若“四邊形是正方形