專題4.7對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)函數(shù)的定義(1)對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+).(2)推斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù)：

①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域為(0,+).

???????例如:y=是對數(shù)函數(shù)，而y=(x+1)，y=都不是對數(shù)函數(shù).2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質對數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1,x>0)的圖象和性質如下表所示：3．底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)圖象的影響(1)底數(shù)a與1的大小關系確定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降”.

當a>1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”;

當0<a<1時,對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.

(2)函數(shù)y=與y=(a>0,且a≠1)的圖象關于x軸對稱.

(3)底數(shù)的大小確定了圖象相對位置的凹凸：

無論是a>1還是0<a<1,在第一象限內,自左向右,圖象對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)慢慢變大.

①上下比較：在直線x=1的右側,a>1時,a越大,圖象越靠近x軸;0<a<1時,a越小,圖象越靠近x軸;

②左右比較：比較圖象與直線y=1的交點,交點的橫坐標越大,對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.4．反函數(shù)比較冪值大小的方法：【題型1對數(shù)（型）函數(shù)的定義域與值域】【方法點撥】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，結合具體條件，進行求解即可.【例1】（2024·廣東·高一階段練習）函數(shù)y＝lgx＋lg(5－3x)的定義域是（

A．[0,53) B．[1,5【解題思路】依據(jù)對數(shù)函數(shù)、根式的性質列不等式求函數(shù)定義域.【解答過程】由題設，{x>0lg所以函數(shù)定義域為[1,5故選：B.【變式1-1】（2024·浙江·高二學業(yè)考試）函數(shù)fx=logA．-∞,0 B．2,+∞ C．【解題思路】依據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【解答過程】解：由題可知x2-2x>0，即x故函數(shù)fx=log故選：D.【變式1-2】（2024·山西運城·高二期末）已知函數(shù)fx=lgx2A．0,+∞ B．0,1 C．lg2,1【解題思路】首先求出x2【解答過程】因為x∈-1,3，所以x故選：D.【變式1-3】（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)y=ln(A．R B．(1,+∞) C．[1,+【解題思路】由y=lnx的值域為R可得y【解答過程】由對數(shù)函數(shù)y=lnx的值域為R，向右平移2個單位得函數(shù)y則y=ln(故選：A.【題型2對數(shù)式的大小比較】【方法點撥】比較對數(shù)值的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性，同底時可干脆利用相應的對數(shù)函數(shù)比較大??；不同底時，可借助中間量進行比較.【例2】（2024·黑龍江·高三開學考試）已知a=log32，b=log52，c=A．a(chǎn)<b<c B．b【解題思路】依據(jù)對數(shù)恒等式，運算法則以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可推斷．【解答過程】因為c=3a-1=13×3log3故選：B．【變式2-1】（2024·陜西·高三階段練習（文））已知a=40.1，b=logA．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)【解題思路】依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性分別求出a，b，c的取值范圍，即可求解.【解答過程】因為a=0=logc=所以a>故選：B.【變式2-2】（2024·河南·高三階段練習（理））若a=0.50.3，b=logA．a(chǎn)>bC．b>a【解題思路】依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質推斷即可.【解答過程】因為0<a=0.50.3<所以b<故選：D.【變式2-3】（2024·貴州·高三階段練習（理））設a=log53，b=log0.30.2，c=A．a(chǎn)<cC．b<c【解題思路】依據(jù)指對數(shù)的性質推斷大小關系即可.【解答過程】由b=所以c<故選：D.【題型3解對數(shù)不等式】【方法點撥】對數(shù)不等式的三種考查類型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的單調性求解.(2)形如m>b的不等式，應將b化成以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b=)，再借助y=x的單調性求解.(3)形如>(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用函數(shù)圖象求解.【例3】（2024·全國·高一課時練習）已知函數(shù)f(x)=log4(xA．72,4【解題思路】依據(jù)f（3）=0，可得方程f(3)=log4(3-【解答過程】由題意得，f(3)=log4所以fx=log因為f(2x-即log4(2x-7)故不等式f(2x-故選：A.【變式3-1】（2024·云南楚雄·高二期末）已知函數(shù)fx的圖象與gx=log14xA．0,+∞ B．0,1 C．0,1【解題思路】由fx與gx關于x軸對稱得到fx【解答過程】已知函數(shù)fx的圖象與gx=所以fx又fx=log所以0<3x<2x故選：B.【變式3-2】（2024·四川自貢·高一期末）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間0,+∞上為增函數(shù)，則不等式flogA．-∞,1 B．1,+∞ C．【解題思路】由奇函數(shù)知f(0)=0，再結合單調性及flog1【解答過程】由題意知：f(0)=0，又fx在區(qū)間0,+∞上為增函數(shù)，當x當x<0時，f(x)<0，由flog故選：C.【變式3-3】（2024·全國·高三專題練習）定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0]上單調遞增，且A．0,1100 B．1100,+【解題思路】利用函數(shù)為奇函數(shù)，將不等式轉化為f(【解答過程】因為函數(shù)f(所以f(-x)=-所以不等式f(lgx即f(又因為f(x)所以f(所以lgx解得x>100故選：D.【題型4對數(shù)函數(shù)的圖象及應用】【方法點撥】①對數(shù)函數(shù)圖象的識別：對于所給函數(shù)解析式，探討函數(shù)的單調性、特殊值等，利用解除法，得出正確的函數(shù)圖象.②對數(shù)函數(shù)圖象的應用：對于與對數(shù)函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)有關的函數(shù)的作圖問題，一般宜用變換作圖法作圖，這樣有利于從整體上把握函數(shù)的性質，從而利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小、解不等式、求最值等.【例4】（2024·廣東·高三階段練習）函數(shù)y=lg(x+1)A． B．C． D．【解題思路】由函數(shù)y=lgx的圖象與x軸的交點是(1,0)結合函數(shù)的平移變換得函數(shù)y=lg【解答過程】由于函數(shù)y=lg(x+1)的圖象可由函數(shù)y=lg故函數(shù)y=lg(x+1)的圖象與x軸的交點是(0,0)，即函數(shù)y故選：A.【變式4-1】（2024·浙江·高一期中）函數(shù)y=lg|A． B．C． D．【解題思路】求解函數(shù)的零點，依據(jù)解除法推斷即可【解答過程】求lg|x+1|=0可得x+1=1或x+1=故選：A.【變式4-2】（2024·全國·高一課時練習）如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y=logax，y=logbx，y=logcx，A．b>a>1>c>d B．a(chǎn)>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a(chǎn)>b>1>d>c【解題思路】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象性質即可求解.【解答過程】由圖可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．過點0，1作平行于x軸的直線，則直線與四條曲線交點的橫坐標從左到右依次為c，d，a，b，明顯b>a>1>故選：C．【變式4-3】（2024·全國·高一課時練習）已知函數(shù)fx=logax-b（a>0且A．a(chǎn)>0，b<-1C．0<a<1，b<-【解題思路】依據(jù)函數(shù)圖象及對數(shù)函數(shù)的性質可求解.【解答過程】因為函數(shù)fx=又因為函數(shù)圖象與x軸的交點在正半軸，所以x=1+b又因為函數(shù)圖象與y軸有交點，所以b<0，所以-故選：D.【題型5對數(shù)型復合函數(shù)性質的應用】【方法點撥】借助對數(shù)函數(shù)的圖象和性質來探討對數(shù)型復合函數(shù)的性質，再結合具體問題，進行求解即可.【例5】（2024·陜西·高三階段練習（文））已知函數(shù)fx=logax+2(1)當a=2時，求f(2)是否存在實數(shù)a，使得fx在-1,3【解題思路】（1）先求出函數(shù)的定義域，再利用換元法求解函數(shù)的單調區(qū)間，（2）令t=-x2-x+2，則由-1≤x≤【解答過程】（1）由題意可得x+2>0,1-x>0,解得-2<x當a=2時，f令t=-x2-對稱軸為x=則函數(shù)t=-x2-因為y=所以fx在-2,-（2）fx令t=因為-1所以t=-x+當0<a<1時，fx在-則loga1116=2，即當a>1時，fx在-1,則loga94=2，即綜上，a的值為114或3【變式5-1】（2024·甘肅·高三階段練習（文））已知函數(shù)fx(1)求該函數(shù)的定義域；(2)求該函數(shù)的單調區(qū)間及值域.【解題思路】（1）令3-（2）依據(jù)復合函數(shù)單調性的推斷方法可確定fx的單調區(qū)間；利用二次函數(shù)最值的求法可求得μ【解答過程】（1）由3-2x-x2>0（2）令μ=-x2-2x又fμ=log∴fx的單調遞增區(qū)間為-1,1∵μ≤-∴fx的值域為【變式5-2】（2024·海南·高一期末）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)設函數(shù)gx=log4m+2x+4，若不等式【解題思路】（1）首先確定fx的定義域，將其整理為f（2）依據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性可將恒成立不等式轉化為x2+mx+1≥【解答過程】(1)由x+1>03-x>0得：-1<xfx令tx=-x-12又y=由復合函數(shù)單調性可知：fx的單調遞增區(qū)間為-1,1，單調遞減區(qū)間為由單調性可知：fx(2)∵fx≤gx即-x2+2x+3∴m令hx=-x+1x，則∴hxmax=h1=【變式5-3】（2024·江蘇·高三開學考試）已知函數(shù)f((1)若m=1，求函數(shù)f(2)若函數(shù)f(x)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間-∞【解題思路】（1）由對數(shù)的性質有x2（2）由題設(0,+∞)是y=x2（3）首先依據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質推斷復合函數(shù)的單調區(qū)間，再由已知區(qū)間的單調性有m2≥1【解答過程】（1）由題設，x2-x-1>0所以函數(shù)定義域為(-（2）由函數(shù)f(x)的值域為R，則(0,+所以Δ=m2（3）由t=x2-mx-m所以f(x)在(又f(x)在(-∞【題型6對數(shù)函數(shù)的實際應用】【方法點撥】從實際問題動身，建立對數(shù)（型）函數(shù)模型，借助對數(shù)函數(shù)的圖象和性質進行解題，留意要滿足實際條件.【例6】（2024·全國·高一專題練習）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為V(m/s)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，探討中發(fā)覺V與log3Q100成正比，且當Q＝900時，V（1）求出V關于Q的函數(shù)解析式；（2）計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數(shù)．【解題思路】（1）依據(jù)成正比的性質，結合代入法進行求解即可；（2）利用代入法，結合對數(shù)與指數(shù)式互化公式進行求解即可.【解答過程】解：（1）設V＝k·log3Q100∵當Q＝900時，V＝1，∴1＝k·log3900100∴k＝12，∴V關于Q的函數(shù)解析式為V（2）令V＝1.5，則1.5=12log即一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量為2700個單位．【變式6-1】（2024·全國·高一課時練習）近年來，我國在航天領域取得了巨大成就，得益于我國先進的運載火箭技術．據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的志向狀態(tài)下，可以用公式v=v0lnMm計算火箭的最大速度v（單位：m/s）．其中v0（單位m/s）是噴流相對速度，m參考數(shù)據(jù)：ln230≈5.4(1)當總質比為230時，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；(2)經(jīng)過材料更新和技術改進后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質比變?yōu)樵瓉淼?3，若要使火箭的最大速度增加500m/s，記此時在材料更新和技術改進前的總質比為T，求不小于T【解題思路】（1）運用代入法干脆求解即可；（2）依據(jù)題意列出不等式，結合對數(shù)的運算性質和已知題中所給的參考數(shù)據(jù)進行求解即可.【解答過程】(1)當總質比為230時，v=2000即A型火箭的最大速度為10800m(2)A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，所以A型火箭的噴流相對速度為2000×1.5=3000m由題意得：3000?ln因為1.648<e0.5<1.649即44.496<T<44.523，所以不小于【變式6-2】（2024·全國·高二課時練習）每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數(shù)千公里來到美麗的昆明過冬，科學家經(jīng)過測量發(fā)覺候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v=12log3x100-lgx(1)若x0=5，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位.(2)若雄鳥的飛行速度為1.3km/min，雌鳥的飛行速度為0.8km/min，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍.【解題思路】（1）將x0=5，v=0代入函數(shù)解析式，求出x【解答過程】（1）將x0=5，v=0代入函數(shù)v因為lg5≈0.70，所以log3x答：候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量約為466個單位.（2）設雄鳥每分鐘的耗氧量為x1，雌鳥每分鐘耗氧量為x1.3=1兩式相減可得：12=12log答：此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍.【變式6-3】（2024·全國·高一課時練習）學校激勵學生課余時間主動參加體育熬煉，每天能用于熬煉的課余時間有90分鐘，現(xiàn)須要制定一個課余熬煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當天熬煉時間x（單位：分）的函數(shù)關系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間[0,90]上的增函數(shù)；（2）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（3）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個函數(shù)模型①y=②y=k?1.2(1)請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由，再依據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少須要熬煉多少分鐘.（注：2≈【解題思路】（1）依據(jù)圖像和函數(shù)性質