4.直線方程“對稱性”綜合應(yīng)用

1.點關(guān)于直線對稱........................................................1

2.直線關(guān)于點對稱........................................................2

3.直線關(guān)于直線對稱......................................................4

4.圓上兩點關(guān)于直線對稱.................................................6

5.圓與圓關(guān)于直線對稱....................................................8

6.函數(shù)和曲線關(guān)于直線對稱...............................................10

7.光學(xué)性質(zhì).............................................................12

8.直線綜合.............................................................15

1.點關(guān)于直線對稱

【典例分析】

已知點A(1,-2),B(/?,〃)，關(guān)于直線x+2y-2=0對稱，則小+〃的值是()

A.-2B.3C.5D.7

【答案】C

【分析】先利用線段的中點公式求出線段48的中點坐標(biāo)，再把中點坐標(biāo)代入直線x+2.y-2

=0,結(jié)合斜率關(guān)系列方程組，求得也〃，從而求得的值.

【詳解】(1,-2)和B(m,n)關(guān)于直線x+2y-2=0對稱，

???線段A3的中點。(與竺，音在直線x+2y-2=0上，

...1+加一2+〃?2=0././77+277=7,W——x()=-1,得-〃=4,

2m-\2

+2〃=7

解方程組c/可得〃7=3,〃=2,???加+〃=5.故選：C

[2，〃一〃=4

【變式訓(xùn)練】

1.點(1,1)關(guān)于直線/：x+y+2=o對稱的點的坐標(biāo)為()

A.(-1,-1)B.(-2,-2)C.(0,0)D.(-3,-3)

【答案】D

【分析】設(shè)點般（1」）關(guān)于直線，：x+y+2=。對稱的點N的坐標(biāo)解方程）二=1,

且

X-1

等+等+2=0,即得解.

【詳解】解：設(shè)點關(guān)于直線/:x+y+2=。對稱的點N的坐標(biāo)（乂力

則MN中點的坐標(biāo)為（等，罟）,

利用對稱的性質(zhì)得：%=蕓=1,且等+號+2=0,

解得：x=-3,y=-3,??.點N的坐標(biāo)(-3,-3),故選：D

2?點3,b）關(guān)于直線x+y+l=O的對稱點是（)

A.(一。一1,-b—1)B.(—b—1,—a—1)

C.(—a,~b)D.(-b,-a)

【答案】B

［分析】結(jié)合中點和斜率求得對稱點的坐標(biāo).

n-b/］、.

-------x-1=-1

m=-b-\

【詳解】設(shè)對稱點為（肛〃）,則＜tn-an

m+an+b,八n=-a-\

-------+-------+1=0

22

所以對稱點的坐標(biāo)為（-故選：B.

3.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，若點A與點8（2,1）關(guān)于直線y=x對稱，則sin/AOr等于（）

A.-B.-C.在D.亞

5555

【答案】D

【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】由題意A（L2）,則sinZAOx=,〔J二手故選:D

2.直線關(guān)于點對稱

【典例分析】

直線“x+y+3a-1=0恒過定點M,則直線2x+3y—6=0關(guān)于點用對稱的直線方程為（）

A.2x+3y-12=0B.2x+3y+12=0C.3%-2y-6=0D.2x+3y+6=0

【答案】B

【分析】先求出定點M的坐標(biāo)，再設(shè)出與直線2x+3y-6=0關(guān)于點M對稱的直線方程，利

用點到直線距離公式求出答案.

【詳解】由ox+y+3a—1=0得(x+3)a+(y-l)=0,

x+3=0x=-3

由…。，得,,：.M(-3,1).

y=l

設(shè)直線證+3)-6=0關(guān)于點M對稱的直線方程為2x+3y+C=0(C#-6),

.|-6+3-6|_|-6+3+C|

,解得:C=12或C=-6(舍去),

一百>/4+9

，直線2r+3y—6=0關(guān)于點M對稱的直線方程為2r+3y+12=0.故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1.直線/：y=2x+3關(guān)于點P(2,3)對稱的直線/'的方程是()

A.2x-y-5=0B.2x+y-5=0

C.2x—y+5=0D.2x+y+5=0

【答案】A

【分析】由題可得/和r平行，設(shè)出方程，根據(jù)點P到兩直線距離相等即可求出.

【詳解】因為/和/'關(guān)于點尸對稱，則兩直線平行，可設(shè)/'方程為2x-y+b=0(6*3),

|2x2-3+3||2x2-3+fel

點P到兩直線的距離相等，則衣汨廠衣赤’解得一或舍去),

所以直線/'的方程是2x-y-5=0.

2.直線y=2x+l關(guān)于原點對稱的直線方程是()

A.y=2x-lB.

C.y=-2x+lD.y=2x

【答案】A

【解析】由直線y=2x+i上任意兩點，求出其關(guān)于原點對稱的點，再求出斜率，進(jìn)而得出所

求方程.

【詳解】點(0,1),(1,3)在直線y=2x+1上,則(0,T),(-1,-3)在所求直線上

-3-(-1)

所求直線的斜率么==2,則所求直線方程為y=2(x-0)—l=2x—l

-1-0

3.與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(1,-1)對稱的直線方程是()

A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0

【答案】D

【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為(x，y),則其關(guān)于點(1,-1)對稱的點的坐標(biāo)為

(2-x,-2-y),代入已知直線即可求得結(jié)果.

【詳解】解析：

設(shè)對稱的直線方程上的點的坐標(biāo)為（x，y）,則其關(guān)于點（I,T）對稱的點的坐標(biāo)為

（2-x,-2-y）,以（2-x,-2-y）代換原直線方程中的（x,y）得2（2—x）+3（—2—y）—6=0,即

2x+3y+8=0.

3.直線關(guān)于直線對稱

【典例分析】

若兩條平行直線4：x-2y+m=0（m>0）^l2：2x+〃y-6=0之間的距離是2石，則直線4關(guān)

于直線右對稱的直線方程為（）

A.x—2y-13=0B.x-2y+2=0

C.x—2y+4=0D.x—2y—6=0

【答案】A

【分析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出“，再利用兩條平行直線間的距離求出m,再由平行線

間距離即可求解.

［詳解］因為直線4：x-2y+加=0（加>0）與右：2x+ny-6=0,

所以〃=-2x2=4

又兩條平行直線4：x-2y+m=0（m>0）與七2x+〃y-6=0之間的距離是2遙，

所以堂粵=2右，解得m=7。即直線4：x-2y+7=0,/,：x-2y-3=0,

設(shè)宜線4關(guān)于直線4對稱的直線方程為x-2y+c=0,

1-3-71l-3-cl

則」=解得c=-13,故所求直線方程為x-2y-13=0,故選：A

【變式訓(xùn)練】

y——x

1.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）直線.3關(guān)于％=1對稱直線/，直線/的方程是（）

A.岳+y-2=0B.百x+y+2=0

C.x+傷-2=0D.x+后），+2=0

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知直線），=*x與直線x=l交于點A（l,乎），求出原點關(guān)于直線x=l對

稱的對稱點B,利用兩點坐標(biāo)求直線斜率公式和直線的點斜式方程即可得出結(jié)果.

【詳解】如圖，直線y=^x與直線x=l交于點直線y=過原點(0,0),

因為直線y=^x與直線/關(guān)于直線x=l對稱，所以原點關(guān)于直線x=l的對稱方為8(2,0),

且直線/過點A、B,

則直線/的斜率為左A/3,所以直線/的方程為y-0=-蟲(X-2)，

Z1oa3

2.(2022?全國,高三專題練習(xí))直線y=2x+l關(guān)于直線y=x對稱的直線方程為()

A.x-3y+l=0B.x-3y-l=0C.x-2y-l=0D.x-2>j+1=0

【答案】C

【分析】先聯(lián)立方程flj+1得(-再求得直線y=2x+l的點(0,1)關(guān)于宜線y=x對

稱點的坐標(biāo)為(1,0),進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點(-L-1),(1,0),進(jìn)而得直線方程.

【詳解】解：聯(lián)立方程得即直線y=2x+i與直線y=x的交點為

設(shè)直線y=2x+1的點(0,1)關(guān)于直線尸工對稱點的坐標(biāo)為優(yōu),為),

_%+1

22

所以<解得%=L%=。所以直線y=2x+1關(guān)于直線y=x對稱的直線過點

AZ1=_1

(TT)，(1，°)

所以所求直線方程的斜率為所以所求直線的方程為y=g(x-l),即x-2y-l=。故選：C

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))與直線2x-y+l=0關(guān)于x軸對稱的直線的方程為()

A.x-2y+l=0B.2x+y-1=0C.x+2y+l=0D.2x+y+l=0

【答案】D

【分析】求出給定直線的斜率及與X軸的交點坐標(biāo)，再利用對稱的性質(zhì)計算作答.

【詳解】直線2x-y+l=o的斜率為2=2,與x軸交于點A(-g,O),

直線2x-y+l=O關(guān)于x軸對稱的直線的斜率為_%=—2,并且過點A,

由直線的點斜式方程得：y-0=-2(x+；),即2x+y+l=0,

所以所求直線的方程為：2x+y+l=0.

4.圓上兩點關(guān)于直線對稱

【典例分析】

(2020?全國?高二課時練習(xí))若圓V+y2-6x-2y=0上存在兩點關(guān)于直線公+力-4=0對稱,

則ab的最大值為()

4c4c2r8

A.—B.一C.-D.—

9333

【答案】B

【解析】由題意可知直線融+刀-4=0必過圓心(3,1),從而得3〃+b=4,再利用基本不等式

可求出ah的最大值

【詳解】解：由圓的對稱性可得，直線以+與-4=0必過圓心(3,1),所以為+b=4.

所以4=3a+b..2國，所以她,：，當(dāng)且僅當(dāng)b=2,。=段時取等號，

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))若直線，=履與圓(x+2)?+(y-lf=l的兩個交點關(guān)于直線

2x-y+b=0對稱，則％,b的值分別為()

A.k=--b=5B.A=-,b=-3

2f2

C.k=~-,b=-4D.k=2,h=5

2

【答案】A

【分析】由題意分析得知直線2x-y+8=0經(jīng)過圓心求出b-,由直線y=Ax與直線2x-y+b=o垂

直求出％即可.

【詳解】因為直線丫=丘與圓(x+2)2+(>7)2=1的兩個交點關(guān)于直線2x-y+b=0對稱，

所以直線2工-)，+〃=0經(jīng)過圓心(-2,1),

且宜線y=H與宜線2x-y+b=0垂直,

［曠2)7+1解得:b=5

所以1,故選：A.

2k=-\k=——

2

2.己知A（-2,0）,8（0,2）,M,N是圓/+/+依=。（女是常數(shù)）上兩個不同的點，P是圓

上的動點，如果M,N兩點關(guān)于直線x-y-l=0對稱，則面積的最大值是（）

A.3-近B.3+0C.2>/2D.2+&

【答案】B

【分析】首先根據(jù)圓的對稱性得直線x-〉T=0過圓心，求得圓的方程，再求圓心到直線AB

的距離d,則圓上的點到直線A3的距離的最大值是d+r,即可得面積的最大值.

【詳解】因為M,N是圓f+V+區(qū)=0（笈是常數(shù)）上兩個不同的點，且M,N兩點關(guān)于直

線x-y-l=0對稱，所以圓心（-Q）在直線x-y-l=0上，得-g-l=0,解得：&=一2,

即圓的方程是x2+y2_2x=0O(x_l『+y2=l,直線A8:x—y+2=(),

圓心（1,0）到直線x—y+2=0的距離d所以圓上的點到直線A3的最遠(yuǎn)距離為

1+逑，所以面積的最大值為S=：x|AB|xjl+￥]=3+0.

22I2J

3.如果直線/：y=6-5與圓x?+丁-2x+wy-4=0交于M、N兩點，且M、N關(guān)于直線

2x+y=0對稱，則直線/被圓截得的弦長為（）

A.2B.3C.4D.2下）

【答案】C

【解析】由題意推出圓心在直線上，求出小，求出圓的半徑與弦心距，利用圓心距、半徑、

半弦長滿足勾股定理，求出弦長.

m

【詳解】因M、N關(guān)于宜線2x+y=0對稱，故圓心（1,-彳）在直線2x+y=0|；,：,m=4.

又因為直線2x+y=0與/:y=fcx-5垂直，，-2xK=-l,；.K=；,

—x1—(—2)—5

設(shè)圓心(1,-2),到直線;x-y-5=0的距離為d,:.d=^—j=----」=有,圓的半徑為

r=gj(-2)2+4，+16=3.

.?.|仞7|=2>/,-/=4.故選:C.

5.圓與圓關(guān)于直線對稱

【典例分析】

(2022?全國?高二課時練習(xí))已知圓C1:(x-a)2+(y-4>y=4(小6為常數(shù))與

C2：x2+y2-2x=0.若圓心G與C2關(guān)于直線尤-y=()對稱,則圓G與C2的位置關(guān)系為()

A.內(nèi)含B.相交C.相切D.外離

【答案】B

【分析】根據(jù)條件求出G的圓心,力)，再根據(jù)G，G圓心的距離即可判斷.

【詳解】依題意G(l，0)，所以G(0,l),又「2,4=1，4+4=3,卜-引=1,

|cc|=JF+F=夜€(1,3),所以兩個圓相交；

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))圓(*-以+(尹2)2=2關(guān)于直線/：x+y-2=0對稱的圓的方程

為()

A.(x-4)2+(y-l)2=2B.(x+4)2+(y+l)2=2

C.(X-4)2+(J-+1)2=2D.(x+4)2+(y-l)2=2

【答案】A

【分析】首先求出圓(x-l)2+(y+2)2=2的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心(1,-2)關(guān)于直線

/:x+y-2=0對稱的點的坐標(biāo)為(.力)，即可得到方程組，求出。、b,即可得到圓心坐標(biāo)，

從而求出對稱圓的方程；

【詳解】解：圓(x—lp+(y+2y=2的圓心為(1,一2),半徑廠=0,設(shè)圓心(1,一2)關(guān)于直線

l:x+y-2=0對稱的點的坐標(biāo)為(a,b),

b+2/1、

-x(-l)=-l.=4

則:八c，解得八?,即圓(x-iy+(y+2)2=2關(guān)于直線/：x+y-2=0對稱的

1+。h-2_八\b=\''')

----1-----2=0i

22

圓的圓心為(4,1),半徑「=正，

所以對稱圓的方程為(x-4)2+(y-l)2=2；故選：A

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓匕："-2)2+()，-1)2=4上存在點〃，且點“關(guān)于直線

x+y+l=0的對稱點N在圓G：(X+1)2+()，+1)2=/&>O)上，則r的取值范圍是()

A.[717-2,717+2]B.[2&-2,2應(yīng)+2]

C.[^-2,713+2]D.[石-2,石+2]

【答案】D

【分析】求得圓G關(guān)于直線x+y+i=（）的對稱圓的方程，轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點，結(jié)合兩圓的

位置關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：由題意知，圓G圓心G（2,l）,半徑4=2,圓C?圓心G（T,T），半徑4=r，

2+。b+1]八

----+----+1=0

22

G（2,1）關(guān)于x+y+1=。的對稱點設(shè)為G（。力）（。*2）,則《

b-\

a-2

解得：=:，所以圓G關(guān)于x+y+i=o的對稱圓G：（x+2）2+（y+3）2=4,

由題意知，圓C?與圓G,有公共點，因為|c2c31=J（-2+iy+（-3+l）2=6，

所以|-2|V&Wr+2,解得6-24廠4石+2，故選:D.

3.已知圓C/：（x+l）2+（y—1>=1,圓C2與圓。關(guān)于直線x—y—1=0對稱，則圓。2的方程

為（）

A.(x+2)2+(y—1>=1B.(x-2)2+(y+2)2=l

C.(x+2)2+(>'+2)2=lD.(x—2)2+(y—2)2=1

【答案】B

【解析】本題首先可以設(shè)出圓c2的圓心，再根據(jù)圓a的方程得出它的圓心與半徑，然后通過

圓C?與圓G關(guān)于直線x-y-i=o對稱得出圓G的圓心與半徑，最后得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)。2（。/），圓G：（x+i）2+（y-i）2=i,圓心G為（一1，1），半徑為1.易知點G

-"]f'Q_2

（一1,1）關(guān)于直線x-y-l=0對稱的點為C[,貝Ra]，解得所以

a-\b+1.\b=-2

1=0i

I22

C2（2,-2）,所以圓G的圓心為G（2，-2）,半徑為1,所以圓G的方程為（X—2）2+（J+2）2=1.

6.函數(shù)和曲線關(guān)于直線對稱

【典例分析】

設(shè)函數(shù)/(X)的圖象與y=2'+"的圖象關(guān)于直線y=-x對稱，若，根+〃=2020,

/(-2m)+/(-2n)=2,則。=()

A.1011B.1009C.-1009D.-1011

【答案】A

【分析】在函數(shù)y=/(x)的圖象上取點(x,y),則關(guān)于直線y=-x對稱點為(-y,-x),

代入y=2x+a,結(jié)合題目條件可得答案.

【詳解】因為函數(shù))，=/(x)的圖象與y=2x+o的圖象關(guān)于直線)，=-x對稱，

令/(-2m)=〃，/(-2n)=q,則p+q=2；故(-p,2m),(-q,2n)在y=2x+a的圖象

上，

[m=-p+a一,,,

所以2m=2-p+〃,2n=2q+a,即g+〃，兩式相加得〃?+〃=-(p+q)+2m

所以2a=n?+〃+〃+q=2020+2=2022,解得〃=1011,故選：A.

【變式訓(xùn)練】

1.若函數(shù)y=/(%-2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，/(x)對任意的實數(shù)X都有

/(x+4)-/(x)=2/(2),且/(1)=1,則〃2022)+,(2021)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由函數(shù)f(x-2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，得y=f(x)關(guān)于x=0對稱，即為偶函數(shù)，

根據(jù)已知條件賦值可求/(2)=/(-2)=0,可得〃x+4)=/(x)，所以函數(shù)是以4為周期的周

期函數(shù)，計算化簡可得所求和.

【詳解】函數(shù)〃x-2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

由函數(shù)圖象的平移可知函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，

“X)對任意的實數(shù)X都有“x+4)—〃x)=2/(2),令x=-2可得，所以/(2)-2)=2/(2),

.-./(-2)=-/(2)=/(2),.-./(2)=/(-2)=0,.-./(%+4)=/(%),即函數(shù)是以4為周期的周

期函數(shù)，

.-./(2022)=/(4x505+2)=/(2)=0,/(2021)=〃4x505+l)=/■⑴=1,

.-./(2022)+/(2021)=0+l=l.故選：B

2.設(shè)函數(shù)=d"與g（x）=blnx的圖象關(guān)于直線x-y=O對稱，其中“，MR且a>0.則“，

b滿足（）

A.a+b=2B.a=h=iC.ah=\D.-=1

a

【答案】C

【分析】由題意可知函數(shù)〃x）=ec圖象上任意一點A（x,e?）關(guān)于x-y=0對稱點A（e"，x）在

函數(shù)g（x）=Rnx的圖象上，代入利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：設(shè)A（x,e"）是函數(shù)/（力=9圖象上任意一點，

則它關(guān)于直線x-y=0對稱的點A（e'”,x）在函數(shù)g（x）=》nx的圖象上，

所以xu/Hne'"=出猶，l||Jah=\y故選：C.

b

3.若曲線），=e，關(guān)于直線y=x+m（mH0）的對稱曲線是y=ln（x+a）+b,則,的值為（）

A.2B.-1C.1D.不確定

【答案】C

【分析】本題首先可以在曲線y=e，上任取一點尸（f,e,），然后設(shè)出點尸關(guān)于直線'=》+力的

對稱點。，再然后根據(jù)線段中點以及兩條直線相互垂直的性質(zhì)求出。點坐標(biāo)，最后將。力坐

標(biāo)帶入y=ln（x+a）+b中即可得出結(jié)果.

【詳解】在曲線y=e■?上任取一點尸（r,e。，設(shè)點尸關(guān)于直線尸兀+〃?（〃件0）的對稱點為

QCWJ,

則尸。中點黛3,41在直線y=x+，”上，即《士$?=因為直線PQ與直線

娥2222

e+y.f+M

----=---L+m

v-/22

y=垂直，所以）——=-1,聯(lián)立（z，解得％=d-"2,乂=，+相，

…y「e’[

%-f

0（e'+,

因為點。在曲線）=ln（x+a）+b上，所以f+m=ln（e'-機(jī)+〃）+6,對一切teR恒成立,

故。=〃z,b=m,—=1,故選：C.

a

7.光學(xué)性質(zhì)

【典例分析】

已知：A（-2,0）,B（2,0）,C（0,2）,E（-1,O）,F（1,O）,一束光線從尸點出發(fā)射到8c上的。

點經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上（不含端點）.則ED斜率的取值范圍是（）

y

A.（-<?,-2）B.（0,+a?）C.（l，x°）D.（4,+oo）

【答案】D

【分析】先作出產(chǎn)關(guān)于8c的對稱點P,再作P關(guān)于AC的對稱點因為光線從F點出發(fā)

射至UBC上的。點經(jīng)3c反射后，入射光線和反射光線都經(jīng)過F關(guān)于直線8C的對稱點尸點,

又因為再經(jīng)AC反射，反射光線經(jīng)過「關(guān)于宜線AC的對稱點,所以只需連接M4、ME交AC與

點N,連接PN、P4分別交8c為點G、”，則G,”之間即為點。的變動范圍.再求出直線

FG,FH的斜率即可.

【詳解】：犬一2,0）,3（2,0）,C（0,2）,

直線3c方程為x+y-2=0,直線AC方程為x-y+2=0,

如圖，作/關(guān)于8c的對稱點尸，

?.?尸（1,0）,.,.尸（2,1）,再作p關(guān)于4c的對稱點M,則M（—l,4）,

連接M4、ME交AC與點N,則直線例E方程為x=—1,

連接PM24分別交BC為點G、H,則直線PN方程為》=1,直線方程為x-4y+2=0,

64

G(l,l),H.連接GF,，則G,H之間即為點。的變動范圍.

5'5

?..直線FG方程為尤=1,直線"/的斜率為

*=4,

----1

5

???尸。斜率的范圍為（4,+8）.故選：D.

【變式訓(xùn)練】

1.己知直線hx-y+2=0,七x-y-2=0,直線％垂直于《，%,且垂足分別為A,B,若

C（40）,D（4,0）,則|。|+|知+怛4的最小值為（）

A.V10+2>/2B.8+夜C.2X/10+2A/2D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)條件設(shè)出直線b的方程x+y=2m,求出點4,8坐標(biāo)，用a表示出|C4|+|陰+|陽

再借助幾何意義即可計算得解.

【詳解】因直線4垂直于4，3則設(shè)直線4的方程為：x+y=2%（/nwR）,

fx+y=2m,[x+y=2m/、

由｛得點+由<■\得點伙m+而Cz（-4,0x）,0（4,0）,

[x-y=-2[x-y=2

于是得|C4|+MM+忸￡>|=J（相+3尸+（祖+1）2+2V2+7（w-3）2+（/n-l）2,

而+3尸+（m+1）z+J（利-3尸+（加—1尸衣示動點用（見附到定點￡（-3,-1）與尸（3,1）的距離

的和，

顯然,動點”（加,加）在直線y=龍上，點項-3,-1）與尸（3,1）在直線y=x兩側(cè)，因此，

\ME\+\MF\^EF\=2y/\0,

當(dāng)且僅當(dāng)點M是直線y=x與線段EF：y=gx（-3VxV3）的交點，即原點時取“=”,此時，〃=0,

從而得,(〃?+3)2+(m+1)2+7(??-3)24-(MJ-1)2取最小值2M,

所以，當(dāng)直線/3方程為：x+y=O時，|C4|+|陰+|因取最小值2而+2忘.

2.平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個頂點為，。(0,0)A(8,0),8(8,6),C(0,6),光線從。4邊上

一點4(4,0)沿與x軸成。角的方向發(fā)射到A8邊上的[點，被AB反射到8C上的舄點，再被

BC反射到OC上的6點，最后被0c反射到x軸上的巴”,0)點，若小(4,8),則tan。的取值

范圍是()

【分析】根據(jù)光線反射的性質(zhì)，利用解三角形可得?坐標(biāo)，再由fe(4,8)求解即可.

【詳解】由題意，M=4tan，，則Bq=6_4tan，，BE=6_4tand=￡_4,

tan0tan0

6<12tan6；6)

C^=[8-(—--4)]tan6=12tane-6,OP.="-=J3_一12,Rp/^(—12,0),

tan6tan0tan6tan夕

1233

：.t=---12e(4,8),解得二<tan6<，.故選：A

tan。54

3.已知兩點A(-4,8),B(2,4),點C在直線y="l上，則|AC|+忸C|的最小值為()

A.2>/13B.9C.V74D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件求出B關(guān)于宜線y=x+l的對稱點坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式計算作

答.

【詳解】依題意，若3(2,4)關(guān)于直線y=x+l的對稱點*(見〃)，

/1-4_[

>77-2-[m=3,

???;c，解得,，???3(3,3),連接A&交直線y=x+l于點C,連接BC,

"+4m+2,〃=3

-------=--------+11

22

如圖,

則有IACI+18C1=1AC|+13'C以AB，HAC\+\B'C'\=\AC\+\BC\,當(dāng)且僅當(dāng)點C與C'重合

時取等號，

22

/.(|AC|+|BC|)mil,=|AB'|=V(^-3)+(8-3)=774,故|AC|+忸C|的最小值為，？.故選：C

8.直線綜合

【典例分析】

在：ABC中，8=30°,BC=6,AB=2,。是邊8c上的點，8,C關(guān)于直線的對稱點

分別為B'C,則△BB'C'面積的最大值為（）

【答案】A

【分析】由題意可得為宜角三角形，則以C為原點，CA為x軸，C8為y軸建立直角

坐標(biāo)系，根據(jù)直線方程以及點到直線的距離表示出二角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性即可求得最值得選項.

【詳解】解：在qABC中B=30,BC=543=2,可得，AfiC為直角三角形，且C=90,

則以C為原點，C4為x軸，C8為｝，軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

則A（l,0）,C（0,0）,設(shè)￡>（0,2）（0<2<^）,則直線

B'

X

AD：y=-X（x-l）,即Zr+y-/l=0.設(shè)與交于點區(qū)則=又因為直線

1+22

BE:y-y/3=-r^,即+=0.

A

I，「|7.3.-.A.|明力

此時C到直線BE的距離為/z=-1=L，所以BF=，。到BB的距高為h=4=L

1+A2i+r1+%

則-*W端因小串爐，

時，5,>0?當(dāng)％￡,石)

所以當(dāng)時,S<0.

所以當(dāng)彳=3時，5而=@，故選：A.