線性方程組的消元法2.1線性方程組解的情況判定2.2

應用與實踐2.3

目錄第二章線性方程組

2.1

線性方程組的消元法

一、線性方程組的有關概念則分別稱為線性方程組的系數矩陣、未知量矩陣和常數矩陣．設含有個未知數個方程的線性方程組為：

2.1

線性方程組的消元法

線性方程組（1）的矩陣方程：線性方程組的增廣矩陣：例如，線性方程組的系數矩陣為，未知量矩陣為，常數矩陣為，增廣矩陣為．方程組的矩陣形式為

.2.1

線性方程組的消元法非齊次線性方程組：

其中不全為零.（2）（1）齊次線性方程組：1.1

行列式的定義二、線性方程組的消元法【引例1】

用消元法解下列方程組【解】

第二個方程減去第一個方程的2倍，得上式第二個方程兩邊同時乘以，得上式第一個方程減去第二個方程，得上述求解過程可用對增廣矩陣進行初等行變換替代：1.1

行列式的定義

引例1的求解過程可用對增廣矩陣進行初等行變換替代：由最后一個行簡化階梯形矩陣，可得對應的方程組：即得方程組的解

這種利用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法叫高斯消元法．2.1

線性方程組的消元法三種同解變換：

（1）互換兩個方程的位置；（2）用一個非零常數乘以某一個方程；（3）將一個方程的倍加到另一個方程．

高斯消元法步驟：先對增廣矩陣進行初等行變換，使其化為行簡化階梯形矩陣，然后根據行簡化階梯形矩陣，直接寫出方程組的解．2.1

線性方程組的消元法【例1】用高斯消元法解線性方程組【解】對增廣矩陣施以初等行變換．2.1

線性方程組的消元法

由最后一個矩陣，可得原方程組的解為（續(xù)）2.1

線性方程組的消元法【解】對增廣矩陣施以初等行變換【例2

】解線性方程組由最后一個矩陣知，原方程組的同解方程組為改寫成由方程組可知未知量可以自由取值．稱變量為自由未知量．若令，方程組解為其中為任意選取的常數．它給出了方程組的無窮多組解，這種解的形式是用自由變量表示的解稱為方程組的一般解．如果取，則得到原方程組的一組解：

【思考】例2中，是否可以取為自由未知量呢？如能，請給出此方程組的一般解和兩組解．2.1

線性方程組的消元法2.1

線性方程組的消元法【例3

】解下列線性方程組【解】

寫出對應的增廣矩陣經初等行變換可化為2.1

線性方程組的消元法由上矩陣知，原方程組的同解方程組為例3續(xù)第三個方程矛盾，故此方程無解．2.1

線性方程組的消元法【例4】已知總成本是產量的二次函數：．根據統(tǒng)計資料，產量與總成本之間有如下表所示的數據．試求總成本函數中的．某廠某階段產量和總成本統(tǒng)計表【解】將已知數據，代入二次函數模型中，得方程組2.1

線性方程組的消元法對上方程組的增廣矩陣進行初等變換，可得故方程組的解為所以總成本函數為2.1

線性方程組的消元法用高斯消元法解線性方程組的具體步驟為：（2）根據階梯形矩陣，判斷方程組是否有解；（1）寫出增廣矩陣，用初等行變換將化成階梯形矩陣；（3）在有解的情況下，寫出階梯形矩陣的同解方程，并用回代的方法求解．或繼續(xù)將化成行簡化階梯形矩陣后，直接寫出方程組的解．2.2線性方程組解的情況判定

【思考】方程組在什么情況下無解？有唯一解？有無窮多解呢？方程組的解與其矩陣的秩是否有關？【推論1】設是齊次線性方程組（2）的系數矩陣，則（1）齊次線性方程組（2）只有零解的充要條件是：（2）齊次線性方程組（2）有非零解的充要條件是：

【定理1】設分別是線性方程組（1）的系數矩陣和增廣矩陣，則（1）線性方程組(1)有唯一解的充要條件是：（2）線性方程組(1)有無窮多解的充要條件是：（3）線性方程組(1)無解的充要條件是：2.2線性方程組解的情況判定一、非齊次線性方程組解的情況判定

【例1】判定下列線性方程組是否有解？若有解，說明解的個數．（1）（2）【解】（1）因為，，所以方程組無解．2.2線性方程組解的情況判定【解】（2）因，即，故方程組有唯一解．（3）因即故方程組有無窮多解．2.2線性方程組解的情況判定

【解】

對方程組的增廣矩陣施以初等行變換，將它化為階梯形矩陣．【例2】當為何值時，線性方方程組有解？由上面最后一個矩陣，可知當時，，方程組有解；當時，，方程組無解．2.2線性方程組解的情況判定

【解】對方程組的增廣矩陣施以初等行變換，將它化為階梯形矩陣．有唯一解？無窮多解？無解？【例3】討論當為何值時，線性方程組2.2線性方程組解的情況判定討論階梯形矩陣的秩：（1）當時，，方程組有唯一解；（2）當時，，方程組有無窮多解；（3）當時，，方程組無解．2.2線性方程組解的情況判定二、齊次線性方程組解的情況判定

【例4】試討論方程組是否有非零解？如果有解，求其解．

【解】對齊次方程組的系數矩陣施以初等變換，使其化為階梯形矩陣．由于，即，故方程組有非零解．2.2線性方程組解的情況判定故知原方程組的同解方程組為繼續(xù)對矩陣施以初等變換，可得若取，則原方程組的解為2.3應用與實踐一、交通網絡流量模型

【案例1】如圖所示是某地區(qū)的交通網絡流量圖．設所有道路均為單行道，且道路邊不能停車．圖中的箭頭標識了交通的方向，標識的數為高峰期每小時進出道路網絡的車輛數．設進出道路網絡的車輛相同，總數各為800輛．若進入每個交叉點（交叉路口）的車輛數等于離開該點的車輛數，則交通流量平衡條件得到滿足，交通就不出現堵塞．求各交叉點交通流量為多少時，此交通網絡不出現堵塞．

【分析】交通網絡流的基本假設是網絡中流入與流出的總量相等，并且每個聯結點流入和流出的總量也相等2.3應用與實踐

【解】設每小時進出交叉點（路口）的未知車輛如圖2－１所示，根據對每一個道路交叉點的平衡條件：進入某點的車輛數＝離開此點的車輛數，可建立如下方程．A點：；B點：；C點：；D點：；E點：．故可得一個交通網絡流量模型：2.3應用與實踐求解交通流量模型：下面用初等行變換求此模型的解．2.3應用與實踐其中為自由變量，分別設為，交通網絡流量模型的解為例如，取，則得一組解必須滿足：．2.3應用與實踐二、電路網絡模型

【案例2】在如圖所示的電路網絡中，求各支路上的電流強度．【解】根據基爾霍夫節(jié)點電流定律，回路上的電流：

．電路網絡中的電流和電壓滿足歐姆定律：．用增廣矩陣表示這個電路網絡模型:根據基電壓定律，上回路上的電壓：下回路上的電壓：2.3應用與實踐用初等行變換將上矩陣化為行簡化階梯形矩陣：所以，電路網絡模型的同解方程組是即各支路的電流為2.3應用與實踐

【案例3】

某企業(yè)生產A、B、C三種玩具，每種產品需要甲、乙、丙三種零件的個數分別為2，1，2、1，1，1和3，2，1．現有原料甲7700個（零件），原料乙5200個，原料丙4700個．問A，B，C三種玩具各生產多少，才能使原料得到充分利用？

【解】

設A、B、C三種玩具的產量分別為x、y、z．為使原料得到充分的利用，x，y，z必須滿足方程組（資源分配模型）：增廣矩陣為2.3應用與實踐對增廣矩陣進行初等行變換，可得

所以當A、B、C三種玩具的產量分別為1000，1200，1500個時，才能使原料得到充分的利用．2.3應用與實踐【案例4】

甲、乙、丙是經營領域不同的三家公司，為了規(guī)避市場風險，他們決定交叉持股，約定按比例分紅，持股比例如表2.3所示．某年度三家公司的經營利潤分別為120萬元、100萬元、80萬元，如果公司的總利潤由經營利潤與投資利潤組成，試分別確定這三家公司的總利潤與實際利潤．【解】設甲、乙、丙三家公司的總利潤分別為萬元，則由已知可得：2.3應用與實踐甲公司的總利潤=甲公司的經營利潤+甲公司投資利潤乙公司的總利潤=乙公司的經營利潤+乙公司投資利潤丙公司的總利潤=丙公司的經營利潤+丙公司投資利潤經整理，得到方程組（即資源分配模型）：這個方程組的系數行列式D=0.832≠0，所以方程組有唯一解.解得2.3應用與實踐

這三家公司的總利潤分別為198.8、176.9、172.8萬元。

三家公司的實際利潤為