9.2橢圓（精練）（提升版）題組一題組一橢圓定義及應(yīng)用1．（2022高三下·廣東月考）設(shè)P為橢圓上一點，分別是C的左，右焦點．若，則（）A． B． C． D．2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是橢圓C：的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．63．（2022·東北三省模擬）已知橢圓C：上的動點P到右焦點距離的最小值為，則（）A．1 B． C． D．4．（2022·柳州模擬）已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點，則的最大值為．5．（2022·合肥模擬）已知的內(nèi)角．，的對邊分別為，，，若，，則面積的取值范圍為．6．（2022·佛山模擬）若橢圓的焦點在y軸上，則實數(shù)k的取值范圍是.7．（2022·鄭州模擬）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，橢圓上一點P滿足|OP|＝3，則△F1PF2的面積為．8．（2022·貴州模擬）設(shè)P為橢圓和雙曲線的一個公共點，且P在第一象限，F(xiàn)是M的左焦點，則M的離心率為，.9．（2022·株洲模擬）已知、是橢圓的兩個焦點，M為橢圓上一點，若為直角三角形，則．10．（2022·奉賢模擬）已知曲線的焦距是10，曲線上的點到一個焦點的距離是2，則點到另一個焦點的距離為.11．（2021·岳陽模擬）橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓上，如果的中點在y軸上，那么是的倍12．（2022·新高考Ⅰ卷）已知橢圓C：C的上頂點為A，兩個焦點為離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，則△ADE的周長是．題組二題組二橢圓的標準方程1．（2022·安徽合肥）已知橢圓的右焦點為F，橢圓上的兩點P?Q關(guān)于原點對稱，若6，且橢圓C的離心率為，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．2．（2021·四川自貢·高三（文））古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積．已知橢圓C的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，其面積為8π，過點F1的直線l與橢圓C交于點A，B且△F2AB的周長為32，則橢圓C的方程為（）A． B．C． D．3．（2022云南）阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A． B． C． D．4．（2022海南）已知橢圓的兩個焦點分別為，，過的直線與交于，兩點．若，，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．5．（2021·山西太原五中高三（文））已知兩定點、和一動點，若是與的等差中項，則動點的軌跡方程為（）A． B．C． D．6．（2022·陜西模擬）已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為，此時橢圓的方程是．題組三題組三橢圓的離心率1．（2021·蕪湖模擬）已知方程表示橢圓，且該橢圓兩焦點間的距離為4，則離心率（）A． B． C． D．2．（2022·安徽模擬）一個底面半徑為1，高為3的圓柱形容器內(nèi)裝有體積為的液體，當(dāng)容器傾斜且其中液體體積不變時，液面與容器壁的截口曲線是橢圓，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2022·棗莊模擬）已知點分別為橢圓的左、右焦點，點P為直線上一個動點．若的最大值為，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．4（2022·柯橋模擬）已知橢圓，則該橢圓的離心率（）A． B． C． D．5．（2023高三上·江漢開學(xué)考）已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與交于A，B兩點.若，，則的離心率為（）A． B． C． D．6．（2022·岳陽模擬）已知橢圓及圓O：，如圖，過點與橢圓相切的直線l交圓O于點A，若，則橢圓離心率的為（）A． B． C． D．7．（2022·湖南模擬）中心在坐標原點O的橢圓的上頂點為A，左頂點為B，左焦點為F．已知，記該橢圓的離心率為e，則（）A． B． C． D．8（2022·畢節(jié)模擬）已知，是橢圓的左、右焦點，是橢圓的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．（2022·安徽模擬）已知橢圓）的左?右焦點分別為和為C上一點，且的內(nèi)心為，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．10．（2022·遼寧模擬）已知分別為橢圓的左，右焦點，直線與橢圓C的一個交點為M，若，則橢圓的離心率為．11．（2022·海寧模擬）如圖，點F為橢圓的左焦點，直線分別與橢圓C交于A，B兩點，且滿足，O為坐標原點，若，則橢圓C的離心率．題組四題組四直線與橢圓的位置關(guān)系1．（2022·四川成都）已知橢圓，過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，若為銳角，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）．A． B．C． D．2．（2022·全國·專題練習(xí)）直線與橢圓相交兩點，點是橢圓上的動點，則面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．33．（2022·江蘇?。E圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線和曲線的位置關(guān)系為_____.5．（2022·全國·專題練習(xí)）不論為何值，直線與橢圓有公共點，則實數(shù)的范圍是__.6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）橢圓上的點到直線的距離的最大值為______.7．（2022·全國·單元測試）直線與橢圓相交于A、B兩點，橢圓上的點P使△PAB的面積等于12，這樣的點P共有______個.8．（2022·云南）橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.題組五題組五弦長及中點弦1．（2022·福建）已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（

）A． B．C． D．2．（2021·全國·課時練習(xí)）已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·永州市第一中學(xué)）已知橢圓的一個頂點為，直線與橢圓交于兩點，若的左焦點為的重心，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4．（2022·廣東）斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，且過的左焦點，線段的中點為，的右焦點為，則的周長為______.5．（2022·上海市）已知直線交橢圓于兩點，且線段的中點為，則直線的斜率為______.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓()與直線交于A、B兩點，，且中點的坐標為，則此橢圓的方程為________．7．（2022·江蘇）若橢圓的弦AB被點平分，則AB所在的直線方程為______．8．（2022·河北）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，若是線段的中點，則橢圓的方程為__．9．（2021·黑龍江）已知橢圓，過點作直線交橢圓于，兩點，且點是的中點，則直線的方程是___________.10．（2022·湖南邵陽）橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點，以這一點為中點的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______．9.2橢圓（精練）（提升版）題組一題組一橢圓定義及應(yīng)用1．（2022高三下·廣東月考）設(shè)P為橢圓上一點，分別是C的左，右焦點．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】橢圓的長半軸長為3，由橢圓的定義可知，由，可得．故答案為：C2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是橢圓C：的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由橢圓的定義可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，

則由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，

當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時，等號成立.故答案為：C

3．（2022·東北三省模擬）已知橢圓C：上的動點P到右焦點距離的最小值為，則（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點到右焦點距離最小值為，即，又，所以，由，所以；故答案為：A4．（2022·柳州模擬）已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點，則的最大值為．【答案】9【解析】根據(jù)題意可得：a=4，b=，c=3，

則點B為橢圓的左焦點，取橢圓的右焦點F(3，0)，

∴|PB|+|PF|=8，即|PB|=8-|PF|，

∵，即點A在橢圓內(nèi)，

|PA|+|PB|=|PA|-|PF|+8<|AF|+8=9，

當(dāng)且僅當(dāng)點P在AF的延長線上時，等號成立.

故答案為：95．（2022·合肥模擬）已知的內(nèi)角．，的對邊分別為，，，若，，則面積的取值范圍為．【答案】【解析】，，由余弦定理得，所以，即，又，所以在以為焦點，長軸長為6的橢圓上（不在直線上），如圖以為軸，線段中垂線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)橢圓方程為，則，所以，當(dāng)是橢圓短軸頂點時，到的距離最大為，所以的最大值為，可無限接近于0，無最小值，的取值范圍是，故答案為：．6．（2022·佛山模擬）若橢圓的焦點在y軸上，則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】（1，2）【解析】因為橢圓的焦點在y軸上，所以，解得，即實數(shù)k的取值范圍為（1，2）.故答案為：（1，2）7．（2022·鄭州模擬）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，橢圓上一點P滿足|OP|＝3，則△F1PF2的面積為．【答案】7【解析】由題意得：，解得：，所以，設(shè)出，則，解得：，故故答案為：78．（2022·貴州模擬）設(shè)P為橢圓和雙曲線的一個公共點，且P在第一象限，F(xiàn)是M的左焦點，則M的離心率為，.【答案】；【解析】M的離心率，設(shè)M的右焦點為，因為，且M與N的焦點都在x軸上，所以橢圓M與雙曲線N的焦點相同，所以，，解得.故答案為：；.9．（2022·株洲模擬）已知、是橢圓的兩個焦點，M為橢圓上一點，若為直角三角形，則．【答案】【解析】在橢圓中，，，，則.（1）若為直角，則，該方程組無解，不合乎題意；（2）若為直角，則，解得，；（3）若為直角，同理可求得.綜上所述，.故答案為：.10．（2022·奉賢模擬）已知曲線的焦距是10，曲線上的點到一個焦點的距離是2，則點到另一個焦點的距離為.【答案】或10【解析】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點到一個焦點距離是2，則點到另一個焦點的距離為；若曲線是焦點在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點在y軸，所以，不妨設(shè)點P在雙曲線的上半支，上下焦點分別為，因為實半軸長為4，容易判斷點P到下焦點的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點P到上焦點的距離為2，則它到下焦點的距離.故答案為：或10.11．（2021·岳陽模擬）橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓上，如果的中點在y軸上，那么是的倍【答案】5【解析】由題得，由題得軸，當(dāng)時，，所以,所以,所以是的5倍.故答案為：512．（2022·新高考Ⅰ卷）已知橢圓C：C的上頂點為A，兩個焦點為離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，則△ADE的周長是．【答案】13【解析】橢圓離心率為，則a=2c，，可設(shè)C：，

則|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，

則△AF1F2為正三角形，則直線DE的斜率，

由等腰三角形性質(zhì)可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由

橢圓性質(zhì)得△ADE的周長=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，

設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），直線DE為，

與橢圓方程聯(lián)立，得13x2+8cx-32c2=0，

則，

則，

解得，

即△ADE的周長=4a=13

故答案為：13

題組二橢圓的標準方程題組二橢圓的標準方程1．（2022·安徽合肥）已知橢圓的右焦點為F，橢圓上的兩點P?Q關(guān)于原點對稱，若6，且橢圓C的離心率為，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓的定義及橢圓的對稱性可得由橢圓C的離心率為得，所以故選：A2．（2021·四川自貢·高三（文））古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積．已知橢圓C的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，其面積為8π，過點F1的直線l與橢圓C交于點A，B且△F2AB的周長為32，則橢圓C的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，∴可設(shè)橢圓標準方程為，由題意可得，∴，即，∵△F2AB的周長為32，∴4a＝32，則a＝8，∴，故橢圓方程為．故選：B．3．（2022云南）阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的標準方程為()，焦距為，則：解得故選：D4．（2022海南）已知橢圓的兩個焦點分別為，，過的直線與交于，兩點．若，，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，所以可得，又因為，所以可得，即為短軸的頂點，設(shè)為短軸的上頂點，，，所以，所以直線的方程為：，由題意設(shè)橢圓的方程為：，則，聯(lián)立，整理可得：，即，可得，代入直線的方程可得，所以，因為，所以，整理可得：，解得：，可得，所以橢圓的方程為：，故選：D．5．（2021·山西太原五中高三（文））已知兩定點、和一動點，若是與的等差中項，則動點的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】、，，是與的等差中項，則，即，點在以、為焦點的橢圓上，，，，，因此，橢圓的方程是.故選：B.6．（2022·陜西模擬）已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為，此時橢圓的方程是．【答案】【解析】由已知，所以，則，設(shè)橢圓上的任一點的坐標為，則，若，則當(dāng)時，，由得，滿足題意，此時，橢圓方程為，若，則時，，則，即，但時，，無解．綜上，橢圓方程為．故答案為：．題組三題組三橢圓的離心率1．（2021·蕪湖模擬）已知方程表示橢圓，且該橢圓兩焦點間的距離為4，則離心率（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為方程表示橢圓，所以，，所以，所以，因為焦距為，所以，解得，所以，所以故答案為：B2．（2022·安徽模擬）一個底面半徑為1，高為3的圓柱形容器內(nèi)裝有體積為的液體，當(dāng)容器傾斜且其中液體體積不變時，液面與容器壁的截口曲線是橢圓，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)液面傾斜至如圖所示位置時，設(shè)，.因為圓柱底面積為，故液體體積為，解得，即，，故，所以，，即，所以離心率，即橢圓離心率的取值范圍是.故答案為：3．（2022·棗莊模擬）已知點分別為橢圓的左、右焦點，點P為直線上一個動點．若的最大值為，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點在第一象限且坐標為，如圖，記直線與軸的交點為，設(shè)，則，由于，故，所以，，所以，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，所以，整理得，所以，解得，所以，即橢圓C的離心率為.故答案為：D4（2022·柯橋模擬）已知橢圓，則該橢圓的離心率（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為橢圓的方程為，即，故，又，故.故答案為：C.5．（2023高三上·江漢開學(xué)考）已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與交于A，B兩點.若，，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，.由橢圓的定義可知，所以，所以，.在△ABF1中，.所以在△AF1F2中，，即整理可得：，所以故答案為：C6．（2022·岳陽模擬）已知橢圓及圓O：，如圖，過點與橢圓相切的直線l交圓O于點A，若，則橢圓離心率的為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得是等邊三角形，則直線的傾斜角為，其斜率為，故直線的方程為，代入橢圓方程整理得，其判別式，化簡可得，則，又，所以，故答案為：A.7．（2022·湖南模擬）中心在坐標原點O的橢圓的上頂點為A，左頂點為B，左焦點為F．已知，記該橢圓的離心率為e，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)角平分線定理，結(jié)合及離心率有，化簡得．設(shè)又，，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以。故答案為：C.8（2022·畢節(jié)模擬）已知，是橢圓的左、右焦點，是橢圓的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，所以直線的方程為，因為，所以直線的傾斜角為，所以直線的方程為．聯(lián)立，解得，．因為為等腰三角形，，所以，即，整理得：．所以橢圓的離心率為．故答案為：D.9．（2022·安徽模擬）已知橢圓）的左?右焦點分別為和為C上一點，且的內(nèi)心為，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，延長交軸于，則，又，，所以，故，即，又，所以，即.故答案為：D.10．（2022·遼寧模擬）已知分別為橢圓的左，右焦點，直線與橢圓C的一個交點為M，若，則橢圓的離心率為．【答案】【解析】由題可知，為直角三角形，，直線過原點，，故，又，則，在中，，即，又，解得：或（舍去）.故答案為：.11．（2022·海寧模擬）如圖，點F為橢圓的左焦點，直線分別與橢圓C交于A，B兩點，且滿足，O為坐標原點，若，則橢圓C的離心率．【答案】【解析】由題知：令連接，所以，且，從而．故答案為：．題組四題組四直線與橢圓的位置關(guān)系1．（2022·四川成都）已知橢圓，過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，若為銳角，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意設(shè)直線l的方程為，、，聯(lián)立方程得，則∴，，∵為銳角，則，即，，解得，又∵，∴．故選：C2．（2022·全國·專題練習(xí)）直線與橢圓相交兩點，點是橢圓上的動點，則面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】由題意聯(lián)立方程組，解得或，因為兩點在橢圓上關(guān)于原點對稱，不妨取，則,設(shè)過點C與AB平行的直線為，則與AB的距離即為點C到AB的距離，也就是的邊AB上的高，當(dāng)與橢圓相切時，的邊AB上的高最大，面積也最大，聯(lián)立，得：，令判別式，解得，此時與間的距離也即是的邊AB上的高為，所以的最大面積為，故選：B.3．（2022·江蘇?。E圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線和曲線的位置關(guān)系為_____.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過，由知定點在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.5．（2022·全國·專題練習(xí)）不論為何值，直線與橢圓有公共點，則實數(shù)的范圍是__.【答案】【解析】方法一：把直線代入橢圓1，化為．其中．(注意這個坑)，直線與橢圓1有公共點，恒成立，化簡為．上式對于任意實數(shù)都成立，，解得．實數(shù)的范圍是．方法二：因為直線恒過定點所以代入得即因為是橢圓，所以故的取值范圍是．故答案為：．6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）橢圓上的點到直線的距離的最大值為______.【答案】【解析】設(shè)與直線平行的直線與橢圓相切，由得，由得，，解得設(shè)直線與直線的距離為，當(dāng)時，直線為，則，當(dāng)時，直線為，則，因為，所以橢圓1上的點到直線的距離的最大值為.故答案為：7．（2022·全國·單元測試）直線與橢圓相交于A、B兩點，橢圓上的點P使△PAB的面積等于12，這樣的點P共有______個.【答案】2【解析】易知直線過點，則即為直線與橢圓交點，不妨設(shè)，，設(shè)到直線的距離為，則，解得，作與直線平行且與橢圓相切的直線，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程化簡得，由解得，則或，又因為與距離為，與距離為，故這樣的點P共有2個.故答案為：2.8．（2022·云南）橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓經(jīng)過點且長軸長為，所以，所以橢圓方程為，（2）因為直線過點且斜率為1，所以直線的方程為，設(shè)，將代入，得，整理得，所以，所以題組五題組五弦長及中點弦1．（2022·福建）已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B2．（2021·全國·課時練習(xí)）已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線交雙曲線于點、，則，由已知得，兩式作差得，所以，，即直線的斜率為，故直線的斜率為，即.經(jīng)檢驗滿足題意故選：B.3．（2022