返回高等數(shù)學(xué)GAODENGSHUXUE典型例題分析第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課課堂練習(xí)內(nèi)容概括第八章無窮級數(shù)習(xí)題課1.了解無窮級數(shù)斂散概念及性質(zhì),會利用比較法、比值法判別正項級數(shù)斂散性,會用萊布尼茲判別法判別交錯級數(shù)的收斂性,了解絕對收斂與條件收斂概念.2.理解冪級數(shù)及收斂半經(jīng)的概念,掌握簡單的冪級數(shù)收斂半徑及收斂區(qū)間的求法.3.會用公式及性質(zhì)將函數(shù)展開成冪級數(shù),了解冪級數(shù)的展開應(yīng)用.一、要求與重點

重點：無窮級數(shù)斂散概念,正項級數(shù)審斂法,冪級數(shù)概念與收斂半徑求法，將函數(shù)展開成冪級數(shù).第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

函數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)定義與性質(zhì)無窮級數(shù)二、內(nèi)容結(jié)構(gòu)冪級數(shù)正項級數(shù)交錯級數(shù)任意級數(shù)冪級數(shù)展開冪級數(shù)應(yīng)用收斂域與運算第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

數(shù)項級數(shù)必要條件正項級數(shù)比值判別法比較判別法斂散性質(zhì)定義級數(shù)發(fā)散交錯級數(shù)任意項級數(shù)萊氏判別法判別級數(shù)類型絕對收斂判別數(shù)項級數(shù)斂散性的過程第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

三、內(nèi)容概括1.數(shù)項級數(shù)

定義

若數(shù)列u1,u2,···,un,···，按其給定次序用加號將其連接起來所得和式簡記為.稱其為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，稱其第n項un為通項或一般項.稱為級數(shù)的部分和.若存在，則稱級數(shù)的收斂，否則發(fā)散.第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

性質(zhì)1:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.

性質(zhì)3:在級數(shù)中加上、減去、更改有限項不影響級數(shù)的斂散性.

性質(zhì)4:收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和.定理級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

數(shù)項級數(shù)審斂法正項級數(shù)任意項級數(shù)5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項級數(shù)4.絕對收斂第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

4.充要條件

定義

若級數(shù)的一般項，則稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)及其審斂法定理第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

正項級數(shù)比較審斂法

定理

設(shè)兩個正項級數(shù)與如果滿足條件則(1)若收斂，則收斂.(2)若發(fā)散，則發(fā)散.

定理

設(shè)兩個正項級數(shù)與，若極限則與同斂散.常用的比較級數(shù)級數(shù)斂散性表達式p-級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)等比級數(shù)級數(shù)名稱第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

收斂發(fā)散發(fā)散收斂第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)定理設(shè)正項級數(shù)，如果則時級數(shù)收斂;時級數(shù)發(fā)散;時失效.根值審斂法(柯西判別法)定理

設(shè)正項級數(shù)，如果則時級數(shù)收斂;時級數(shù)發(fā)散;時失效.定義

正負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).即3.交錯級數(shù)及其審斂法第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

萊布尼茨定理

如果交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂，且其和，其余項的絕對值

定義正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).4.任意項級數(shù)及其審斂法第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

定理

若收斂，則收斂.定義

若收斂，則稱為絕對收斂;若發(fā)散,而收斂,則稱為條件收斂.5.函數(shù)項級數(shù)

定義

設(shè)是定義在上的函數(shù),則稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

定義

如果，數(shù)項級數(shù)收斂，則稱為級數(shù)的收斂點，否則稱為發(fā)散點.函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為收斂域.

收斂域上級數(shù)的和是x的函數(shù)稱為和函數(shù).

定義形如或的級數(shù)稱為冪級數(shù).其中為冪級數(shù)系數(shù).6.冪級數(shù)第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

冪級數(shù)的收斂性

定理(Abel定理)如果級數(shù)在處收斂,則它在滿足不等式的一切x處絕對收斂;如果級數(shù)在處發(fā)散,則它在滿足不等式的一切x處發(fā)散.

定理如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

當時,冪級數(shù)絕對收斂;當時,冪級數(shù)發(fā)散;

當時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

定義

正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

定理

如果冪級數(shù)的所有系數(shù)且極限則（1）當時（2）當時（3）當時

收斂區(qū)間的求法：先求收斂半徑，再判別時級數(shù)的斂散性，得出收斂區(qū)間.a.代數(shù)運算性質(zhì):（其中

）6.冪級數(shù)的運算第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

（1）（2）b.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

（1）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù),在端點收斂,則在端點單側(cè)連續(xù).

（2）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積,且對可逐項積分.

（2）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且對可逐項求導(dǎo).7.冪級數(shù)展開式

定義如果在點處任意階可導(dǎo)，則冪級數(shù)稱為在點的泰勒級數(shù).

第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

稱為在點的麥克勞林級數(shù).

定理函數(shù)在點的泰勒級數(shù)，收斂于的充要條件為第十二章無窮級數(shù)習(xí)題課

定理如果函數(shù)在能展開成的冪級數(shù)則其系數(shù)且展開式是唯一的.