2024年吉林省長春市南關區(qū)多校聯(lián)考中考二模數(shù)學試題一、選擇題（每小題3分，共24分)1.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內常見的無理數(shù)有三類：①類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如（兩個1之間依次增加1個0），（兩個2之間依次增加1個1）等．解：，根據(jù)無理數(shù)定義可知，四個數(shù)中只有是無理數(shù)，故選：A．2.根據(jù)長春市人民政府的信息，2023年末，長春市的常住人口為910.19萬人，將910.19萬用科學記數(shù)法表示應為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．解：910.19即9101900，∴，故選：B．3.下列計算中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項以及完全平方公式逐項計算即可．解：A．，故選項A不符合題意；B．，故選項B不符合題意；C．，故選項C符合題意；D．，故選項D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項以及完全平方公式等知識，熟練掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．4.如果一個多邊形的每個內角都相等，且內角和為，那么這個多邊形的邊數(shù)為（）A.14 B.13 C.15 D.16【答案】A【解析】【分析】本題考查多邊形內角和問題，掌握多邊形內角和公式，會用多邊形內角和公式求邊數(shù)是解題關鍵．解：設該多邊形的邊數(shù)是邊形，由多邊形的內角和公式，，，多邊形的邊數(shù)是邊形．故答案為：A．5.如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小正方體搭成的，將小正方體移走后，新的幾何體的正視圖為（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據(jù)從正面看得到的圖形是正視圖，可判斷將A移走后走后，新的幾何體的正視圖．解：將小正方體移走后，從正面看，最左邊有上下兩個正方形，右邊有一個正方形，故選：A．6.關于的一元二次方程，其根的情況為（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.無實根C.無法判斷 D.有兩個不相等的實數(shù)根【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)判別式來判斷即可，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當時，方程沒有實數(shù)根．解：根據(jù)題意：，，，∴∴關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：D．7.如圖，中，平分交于點，分別以點A和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和點，作直線，交AD于點，則的長為（）A.3 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】本題主要綜合考查了等腰三角形的性質、尺規(guī)作圖線段的垂直平分線、線段的垂直平分線的性質、勾股定理等知識點，熟練運用勾股定理求直角三角形的線段長或建立兩線段之間的關系等成為解題的關鍵．先由等腰三角形性質求出以及，再利用作圖方式確定垂直平分得到，最后利用勾股定理求解即可．解:∵中，平分，∴，，∴，分別以點A和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和點，作直線，可知垂直平分，如圖，連接，∴，∴，在中，，∴，解得：；故選D．8.如圖，取一根長的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來，在中點O的左側距離中點處掛一個重的物體，在中點O的右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)．彈簧秤與中點O的距離L（單位：）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足．以L的數(shù)值為橫坐標，F(xiàn)的數(shù)值為縱坐標建立直角坐標系．則F關于L的函數(shù)圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)求得，即可求解．解：∵，，，∴，∴，函數(shù)為反比例函數(shù)，當時，，即函數(shù)圖象經過點．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用以及函數(shù)圖象，根據(jù)題意求出函數(shù)關系式是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分，共18分)9.若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式的分母不能為0是解題關鍵．根據(jù)分式的分母不能為0即可得．解：根據(jù)題意得：，，故答案為：．10.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后根據(jù)平方差公式進行計算即可求解．解：原式＝．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．11.分式方程的解為______．【答案】【解析】【分析】去分母后化為整式方程求解，后檢驗即可．解：，經檢驗，是原分式方程的解．故答案：．【點睛】本題考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步驟是關鍵．12.如圖，以△ABC的頂點A為圓心，以BC長為半徑作?。辉僖皂旤cC為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點D；連結AD、CD．若∠B=65°，則∠ADC的大小為___度．【答案】65【解析】解：∵以點A為圓心，以BC長為半徑作?。灰皂旤cC為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點D，∴AB=CD，BC=AD．又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）．∴∠ADC=∠B=65°．故答案為：65．13.如圖，在中，，連接，交于點，則的長為_____________．【答案】3【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，在平行四邊形中找出相似三角形是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質可證，再根據(jù)對應邊成比例求解即可．解：在中，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴故答案為：314.已知拋物線．若拋物線過點，且對于拋物線上任意一點都有，若是這條拋物線上的兩點，則的最小值_____________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，根據(jù)題意可得為拋物線的頂點，可求出a的值，再求出函數(shù)解析式，A、B是拋物線上的點，分別用含m的式子表示出n和p，進而求出，然后利用二次函數(shù)的性質求解即可．解：∵拋物線過點，且對于拋物線上任意一點都有，∴是拋物線的頂點，∴拋物線的對稱軸為，∴，∴，∴拋物線解析式為，∵是這條拋物線上的兩點，∴，，∴，∴當時，由最小值，最小值為，故答案為：．三、解答題（本大題10小題，共78分)15.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題的關鍵，注意先化簡再求值．根據(jù)題意先利用分式的運算法則對式子進行化簡后，再代入行求值即可．∵∴原式．16.在一個不透明的布袋里裝有3個標號為1、2、3的小球，它們的材質、形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為，小麗從剩下的2個小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為，這樣確定了點的坐標．（1）請你運用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點所有可能的坐標．（2）求點在函數(shù)圖象上的概率．【答案】（1）有6種可能（2）【解析】【分析】此題考查了用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）畫出樹狀圖，即可求解；（2）共有6種等可能的結果，求出點在函數(shù)圖象上的結果有2種，再由概率公式求解即可．【小問1】解：畫樹狀圖如下：∴點的坐標有6種可能，分別是．【小問2】把分別代入，可得出：只有，兩點在函數(shù)上，∴點在函數(shù)圖象上的概率為：17.人們對網購的熱衷促進了快遞行業(yè)的發(fā)展，某快遞站點為提高投遞效率，給快遞員配備了電動車，結果平均每人每天比原來多投遞60件．若快遞站點的快遞員人數(shù)不變，站點投遞快件的能力由每天400件提高到640件．求現(xiàn)在平均每人每天投遞快件多少件？【答案】160件【解析】【分析】設現(xiàn)在平均每人每天投遞快件件，根據(jù)快遞站點的快遞員人數(shù)不變，建立方程進而求解．解：設現(xiàn)在平均每人每天投遞快件件，根據(jù)題意得：，解得：，經檢驗：是原分式方程的解，答：現(xiàn)在平均每人每天投遞快件160件．【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，理解題意，根據(jù)題中所說“快遞員人數(shù)不變”建立方程，是解題的關鍵．注意，分式方程求解之后，需要檢驗．18.如圖，在菱形中，，，是邊上一動點，過點分別作于點于點，連接．（1）求證：四邊形為矩形．（2）求的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質，矩形的性質與判定，勾股定理等等，（1）首先根據(jù)菱形的性質得到，然后結合，即可證明出四邊形為矩形；（2）連接，作于點H，由菱形的性質得，則，由，求得，再由四邊形是矩形，則，由，得，則的最小值為，于是得到問題的答案．【小問1】∵四邊形是菱形∴∵于點F，于點G，，∴四邊形是矩形；【小問2】如圖，連接，作于點H，∵四邊形是菱形，，，，，，，解得，∵四邊形為矩形，，，∴的最小值為．19.某校興趣小組通過調查，形成了如下調查報告（不完整）．調查目的1．了解本校初中生最喜愛的球類運動項目2．給學校提出更合理地配置體育運動器材和場地的建議調查方式隨機抽樣調查調查對象部分初中生調查內容你最喜愛的一個球類運動項目(必選)A．籃球B．乒乓球C．足球D．排球E．羽毛球調查結果被抽查學生最喜愛的球類運動項目調查結果條形統(tǒng)計圖被抽查學生最喜愛的球類運動項目調查結果條扇統(tǒng)計圖結合調查信息，回答下列問題∶（1）本次調查共抽查了多少名學生？（2）補全條形統(tǒng)計圖．（3）估計該校1000名初中生中最喜愛籃球項目的人數(shù)．【答案】（1）100（2）見解析（3）400【解析】【分析】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．（1）根據(jù)乒乓球的人數(shù)和所占的百分比即可得出答案；（2）求出喜愛籃球和羽毛球的人數(shù)，然后補全統(tǒng)計圖即可（3）用1000乘樣本中最喜愛籃球項目的人數(shù)所占比例即可【小問1】解：，答：本次調查共抽查了100名學生．【小問2】被抽查的100人中最喜愛羽毛球的人數(shù)為（名），被抽查的100人中最喜愛籃球的人數(shù)為：（名），補全圖形如圖所示：【小問3】（名），答：估計該校900名初中生中最喜愛籃球項目的人數(shù)為400名．20.如圖是由小正方形組成的的網格，每個小正方形的頂點叫做格點，都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．

（1）在圖（1）中，在射線上畫點，使（2）在圖（2）中，在射線上畫點，使；（3）在圖（3）中，畫的平分線．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）作出的垂直平分線交于點C即為所求；根據(jù)垂直平分線的性質得到，進而得到；（2）連接交于點D即為所求；根據(jù)同角的余角相等即可證明；（3）取格點E，連接即為所求；過點E作，首先利用勾股定理求出，然后利用等面積法得到，然后利用角平分線的判定定理求解即可．【小問1】如圖所示，點C即為所求；

∵垂直平分∴∴；【小問2】如圖所示，點D即為所求；

由網格的特點可得，∴∵∴；【小問3】如圖所示，即為所求；過點E作

∵，，，∵∴∴∴∴∵，∴平分．【點睛】此題考查了格點作圖，垂直平分線的性質，等邊對等角，勾股定理，角平分線的判定，解題的關鍵是掌握以上知識點．21.【綜合與實踐】【實踐任務】研究小組進行跨學科主題學習活動，利用函數(shù)的相關知識研究某種化學試劑的揮發(fā)情況，某研究小組在兩種不同的場景下做對比實驗，并收集該試劑揮發(fā)過程中剩余質量隨時間變化的數(shù)據(jù)．【實驗數(shù)據(jù)】該試劑揮發(fā)過程中剩余質量y(克)隨時間x(分鐘)變化的數(shù)據(jù)，并分別繪制在平面直角坐標系中，如圖所示：任務一：求出函數(shù)表達式（1）經過描點構造函數(shù)模型來模擬兩種場景下隨變化的函數(shù)關系，發(fā)現(xiàn)場景的圖象是拋物線的一部分，場景的圖象是直線的一部分，分別求出場景A、B相應的函數(shù)表達式；任務二：探究該化學試劑揮發(fā)情況（2）查閱文獻可知，該化學試劑發(fā)揮作用的最低質量為3克，在上述實驗中，該化學試劑在哪種場影下發(fā)揮作用的時間更長?任務三：探究化學試劑對人體的影響情況（3）因化學試劑對人體是有一定的影響的，若試劑揮發(fā)過程中剩余質量不大于1克對人體影響最小，則哪個場景影響時間最少?【答案】（1）；（2）在A場景下發(fā)揮作用時間更長；理由見解析；（3）B場景影響時間最少【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的實際應用，理解題意及圖形的意義是解題的關鍵．（1）將點分別代入中，解方程組，即可求得二次函數(shù)解析式；將點分別代入中，解方程組，即可求得一次函數(shù)解析式；（2）觀察A、B兩個場景下點，由這兩點表示的意義即可判斷；（3）與（2）分析相同．解：（1）將分別代入中得，，將分別代入中得，解得：，；（2）因為A場景當剩余質量為3克時，需要20分鐘，而B場景20分鐘時剩余質量為1克，又因為該化學試劑發(fā)揮作用的最低質量為3克，所以在A場景下發(fā)揮作用時間更長．（3）因為A場景當剩余質量為3克時，需要20分鐘，而B場景20分鐘時剩余質量為1克，所以B場景影響時間最少．22.旋轉是幾何圖形運動中一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學知識相結合來解決實際問題，某學校數(shù)學興趣小組在研究三角形旋轉的過程中，進行如下探究：和均為等腰直角三角形，，點為中點，將繞點旋轉，連接、．觀察猜想：（1）如圖1，在旋轉過程中，求證：；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2，當點在內且三點共線時，試探究線段、與之間的數(shù)量關系，并說明理由；解決問題：（3）若中，，在旋轉過程中，當且三點共線時，直接寫出的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)等腰三角形的性質可證，由此即可求解；（2）同（1）證明出，得到，再根據(jù)為等腰直角三角形得到，由此即可求解；（3）根據(jù)題意分點F在線段上和點E在線段上兩種情況討論，然后根據(jù)得到，然后利用勾股定理求解即可．證明：如圖所示，連接，延長交于點G，∴，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵點為中點，∴，平分，∴，∴，∵為等腰直角三角形，，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（2）．如圖所示，連接，同理可得，，∵∴，即又∵∴∴∵為等腰直角三角形∴∴；（3）如圖所示，當點F在線段上時，由（2）得，∴，∴∴∴∵∴∴如圖所示，當點E在線段上時，同理可證∴，∴∵∴∴不合題意，應舍去，綜上所述，．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形性質，等角對等邊，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，運用了分類討論的思想．掌握旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．23.如圖，中，．動點從點出發(fā)，沿線段以每秒5個單位的速度向終點運動，連接，作點關于的對稱點，連結、，設點的運動時間為(秒)．（1）線段的長是___________；（2）連接，則線段的最小值是___________，最大值是___________；（3）當點在邊上時，求的值；（4）當點落在的內部時，求的取值范圍．【答案】（1）5（2）1；5（3）（4）【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）根據(jù)D點運動軌跡是以C為圓心，長為半徑的半圓判斷即可；（3）當時滿足題意，根據(jù)等面積求得，在利用勾股定理即可列出方程，求解即可．（4）分別求出點P落在，落在上的時間，可得結論；【小問1】解：∵，∴，故答案為：5；【小問2】∵作點關于的對稱點，∴，∴D點運動軌跡是以C為圓心，長為半徑的半圓，∴當D在線段上時，的最小，此時；當P與A重合時，的最大，此時點、重合，；故答案為：1，5；【小問3】如圖，當點在邊上時，此時，∵，∴，∴，解得，【小問4】由題意得，，當點D落在上時，，由（3）知，當點D落在上時，如圖1-2中，．過點P作于點T．則，∵，∴，∴，∴∴∴，∴，解得，觀察圖象可知，滿足條件的t的值為：【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了對稱變換，勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題．24.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，點在軸上，拋物線經過點兩點，且與直線交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對稱軸上一點，為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點為頂點的四邊形是以或邊的菱形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，探究是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點P的坐標；若不存在，請