蘇教版2019版高中數(shù)學必修第一冊

第2章常用邏輯用語知識點清單

目錄

第二章常用邏輯用語

2.1命題、定理、定義

2.2充分條件、必要條件、充要條件

2.3全稱量詞命題與存在量詞命題

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第二章常用邏輯用語

2.1命題、定理、定義2.2充分條件、必要條件、充要條件

一、命題

在數(shù)學中，我們將可判斷真假的陳述句叫作命題.許多命題可表示為“如果P，

那么q”或“若p,則q"的形式，其中p叫作命題的條件，q叫作命題的結(jié)論.

二、充分條件、必要條件與充要條件

1.如果“P=q"，那么稱P是q的充分條件，也稱q是p的必要條件，可以理解為

若p成立，則q一定成立，反過來，若q不成立，則p一定不成立.

2.如果pnq,且q=p,那么稱p是q的充分且必要條件，簡稱為p是q的充要條

件，也稱q的充要條件是p,記作p=q.

數(shù)學中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學結(jié)論成立的一個必要條件，每一條判定定

理都給出了相應(yīng)數(shù)學結(jié)論成立的一個充分條件.

三、充分條件、必要條件、充要條件的判斷

1.判斷充分、必要、充要條件的方法

⑴定義法：直接利用定義進行判斷，注意要會舉反例.

⑵利用集合間的包含關(guān)系進行判斷：滿足條件p和結(jié)論q的元素構(gòu)成的集合分別為A

和B,若p是q的充分條件，貝IJAGB；若p是q的必要條件，貝ljBGA；若p是q的

充要條件，則A=B；若p是q的充分不必要條件，則A呈B；若p是q的必要不充分

條件，則B)A.

⑶利用傳遞性進行判斷：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由Pinp2=-npn可得

p^pn,充要條件也具有傳遞性.

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四、充分條件、必要條件的證明與探求

1.充要條件的證明

⑴證明p是q的充要條件時，既要證明命題“p=q”為真，又要證明“q=p”為真,

前者證明的是充分性，后者證明的是必要性.

⑵證明充要條件也可以利用等價轉(zhuǎn)化法，即把條件和結(jié)論進行等價轉(zhuǎn)化，注意轉(zhuǎn)化過

程中必須保證前后是能互相推出的.

2.探求充分條件、必要條件的步驟

Q）分清"條件”和“結(jié)論”，明確探求的方向；

⑵找到使結(jié)論成立的充要條件（一般用集合的方法）；

⑶將充要條件對應(yīng)的范圍擴大，即得結(jié)論成立的必要不充分條件；將充要條件對應(yīng)的

范圍縮小，即得結(jié)論成立的充分不必要條件.

五、利用充分條件、必要條件求參數(shù)

利用充分條件、必要條件求解參數(shù)問題時，一般結(jié)合充分條件、必要條件轉(zhuǎn)化為

集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組），進

而求解.要注意對解集的端點值進行檢驗.

六、通過充分、必要條件的使用發(fā)展邏輯推理的素養(yǎng)

邏輯用語是數(shù)學語言的重要組成部分，是數(shù)學表達與交流的工具.正確使用充分、

必要條件等邏輯用語表達數(shù)學對象、進行數(shù)學推理，可以提高交流的邏輯性和準確性

在解題中要做到能夠辨析哪些條件是充分不必要的，哪些條件是必要不充分的，

哪些條件是充分必要的，哪些條件是既不充分又不必要的，并能用嚴謹?shù)臄?shù)學語言將

充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，加深對邏輯用語的認識，提升邏輯推理的素養(yǎng).

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2.3全稱量詞命題與存在量詞命題

一、全稱量詞與全稱量詞命題

“所有”“任意”“每一個”等表示全體的詞在邏輯學中稱為全稱量

全稱量詞

詞,通常用符號，x”表示“對任意X”

全稱量詞

含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題.一般形式可表示為VxEM,p(x)

命題

二、存在量詞與存在量詞命題

“存在”“有的”“有一個”等表示部分或個體的詞在邏輯學中稱為存

存在量詞

在量詞,通常用符號"3x"表示“存在X”

存在量詞

含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題.一般形式可表示為“GM,p(x)

命題

三、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

類型符號表示否定的符號表示

全稱量詞命題VxEM,p(x)3xGM,P(x)

存在量詞命題3xGM,p(x)VxGM,P(x)

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

2.命題否定的真假

對一個命題進行否定，就得到了一個新的命題，這兩個命題不能同時為真，也不

能同時為假，即它們的關(guān)系是“一真一假"或“此假彼真”.

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四、全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假判斷

1.要判定全稱量詞命題“VxGM,p(x)成立"是真命題，需要對集合M中每個元素x

驗證p(x)成立,但要判定該命題是假命題，只要能找出集合M中的一"^x=x0,使p(x)

不成立即可.要判定存在量詞命題M,p(x)成立"是真命題，只需在集合M中

找到—t'xuxo,使p(x)成立即可；否則，這一命題就是假命題.

2.命題與命題的否定的真假性相反.當命題的否定的真假不易判斷時，可以通過判斷

原命題的真假來得出命題的否定的真假.

3.常用的正面敘述詞語和它的否定詞語：

原詞語等于(二)小于(<)都是

否定詞語不等于(#)不小于(N)不都是

原詞語至少有一個至多有一個至多有n個

否定詞語一也沒有至少有兩個至少有(n+1)個

五、含有量詞的命題中的參數(shù)問題

1.解決含有量詞的命題中的參數(shù)問題的思路

⑴對于全稱量詞命題“VxEM,a>y(或a<y)"求參的問題，一般為“恒成立”問題,

通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)V的最大值(或最小值)，即a〉ym”(或a<ymin)，?對于存在量詞命題

"3xGM,a>y(或a<y)”求參的問題，一般為“有解”問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的

最小值(或最大值)，即a-n(或a<ymax).

⑵對于