第五講一次函數(shù)

［教學(xué)內(nèi)容］

《佳一動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維》春季版，九年級(jí)第五講“一次函數(shù)”.

［教學(xué)目標(biāo)］

知識(shí)技能

1.初步認(rèn)識(shí)平面直角坐標(biāo)系，

2.理解并掌握一次函數(shù)的基本概念、圖象性質(zhì)，會(huì)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，并能

夠畫出一次函數(shù)的圖象；

3.掌握一次函數(shù)圖象平移的變化規(guī)律；

4.理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系，體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系；

5.能夠利用一次函數(shù)的圖象求一元一次方程（組）的解及一元一次不等式（組）的解集，并能用

一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.

數(shù)學(xué)思考

1.通過(guò)用一次函數(shù)表述數(shù)量關(guān)系得過(guò)程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)；

2.在研究點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念；

3.獨(dú)立思考，體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

問(wèn)題解決

1.經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，掌握分

析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法.

2.在與他人合作和交流的過(guò)程中，能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論.

情感態(tài)度

1.通過(guò)解決現(xiàn)實(shí)情境中問(wèn)題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)的眼光看世界.

2.通過(guò)小組活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和能力.

［教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)］

重點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及應(yīng)用

難點(diǎn)：一次函數(shù)的圖象平移規(guī)律以及一次函數(shù)與一元一次方程（組）和不等式（組）的關(guān)系

［教學(xué)準(zhǔn)備］

動(dòng)畫多媒體語(yǔ)言課件

第一課時(shí)

教學(xué)路徑

導(dǎo)入

師：前面幾次課我們主要復(fù)習(xí)了中考中的第一大塊內(nèi)容一一實(shí)數(shù)與方程，從這節(jié)課

開始那我們就開始復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)的第二大塊內(nèi)容一一函數(shù)，同學(xué)們想一下，我們都

學(xué)習(xí)過(guò)了哪幾種函數(shù)？

生：我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù).

師：很好，初中階段我們主要學(xué)習(xí)了這三種簡(jiǎn)單的函數(shù)模型，在復(fù)習(xí)的時(shí)候同學(xué)們

要注意進(jìn)行類比復(fù)習(xí)，首先那這節(jié)課我們就一起來(lái)復(fù)習(xí)一下一次函數(shù).

啟動(dòng)性問(wèn)題

下象棋是同學(xué)們喜愛的事，同學(xué)們可否知道，象棋里充滿著數(shù)學(xué)問(wèn)題.“馬能否

跳回原位”就是其中的一個(gè)問(wèn)題：

象棋盤上有一只馬（如圖1和圖2所示），它跳七步能回到原來(lái)的位置上嗎？你

不論你怎么跳，都回不到原位，是嗎？這是怎么回事呢？利用坐標(biāo)方法可以幫

助你解決這個(gè)問(wèn)題.

解析：

我們可在棋盤上建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)這只馬所在的位置P的坐標(biāo)為（孫yo）,

那么根據(jù)象棋規(guī)則“馬走日字”，馬跳一步后的位置的坐標(biāo)應(yīng)為（次+幻,泗+6）,這

里的Xi和yi的取值只有以卜可能性：xi取±1、yi取±2；xi取±2、yi取±1,所以xi+yi

的值只可能是1、T、3、-3.（下一步）

同樣，跳第二步后，馬位置的坐標(biāo)應(yīng)為（%o+xi+x2,yo+yi+y2）,這里的xi和yi的

取值只有以下可能性：X2取±1、丁2取±2；12取±2、'2取±1,所以的值只可能

是1、-1、3、-3.（下一步）

跳七步后，馬位置的坐標(biāo)為（X0+X1+X2+X3+/4+X5+X6+X7,》（）+丁1+*+y3+*+*+”+/）；

（下一步）

如果這時(shí)馬又回到原來(lái)的位置（xo,yo）,那么有

X,+々+七+X4+*5+Xb+Xl=0，

冗0+X+%+&+工4+%5+*6+工7=工()，即《

Jo+X+%+%+”+/+%+%=即、乂+H+%+以+為+%+必=°，

兩式相力口，有（Xl+jl）+（*2+了2）+（尤3+丫3）+（X4+V4）+（m+/）+（胚+”）+（X7+V7）=0;

（下一步）

因?yàn)閄l+yi,X2+）>2,X3+53,X4+y4,X5+”，尤6+卜6,xi+yi,這七個(gè)數(shù)只能取1、T、

3、-3,但是不論怎樣取法，由于奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加和為奇數(shù)，所以這樣取出的七個(gè)數(shù)

的和等于o是不可能的，所以馬跳七步不可能回到原來(lái)的位置.

考點(diǎn)23平面直角坐標(biāo)系

師：大家一起先來(lái)回顧平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí).

回顧：（一行一行出現(xiàn)）

L平面直角坐標(biāo)系四個(gè)象限：（出現(xiàn)坐標(biāo)系）

4

點(diǎn)P(x,y）在第一象限ox>0,y>Q；（出現(xiàn)（+,+））3

點(diǎn)P（x,y）在第二象限ox<0,y>0；（出現(xiàn)"，+））

點(diǎn)P(x,y）在第三象限ox<0,y<0；(出現(xiàn)(-,-))TO

點(diǎn)P(x,y）在第四象限ox>0,>,<0.（出現(xiàn)（+,-））-2

(-?-)

坐標(biāo)軸上：點(diǎn)P（x,y）在x軸上oy=0,x為任意數(shù)；（閃爍x軸或者變紅色）-3-

-4

點(diǎn)P（x,y）在y軸上ox=0,y為任意數(shù);（閃爍y軸或者變紅色）-5-

原點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,0）.（閃爍原點(diǎn)）

注意：（1）x軸、y軸上的點(diǎn)不屬于任何象限.

（2）坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一--對(duì)應(yīng)的.

（下一步）

2.平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征（出現(xiàn)坐標(biāo)系）

平行于x軸：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)為不相等的實(shí)數(shù)；（出現(xiàn)平行于x軸的直線）

平行于y軸：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為不相等的實(shí)數(shù).（出現(xiàn)平行于y軸的直線）

6

5

4

3

234567*^

-1o

3.各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征（出現(xiàn)坐標(biāo)系）

第一、三象限角平分線上的點(diǎn)：橫、縱坐標(biāo)相等；（出現(xiàn)產(chǎn)x直線）

第二、四象限角平分線上的點(diǎn)：橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).（出現(xiàn)y=-x直線）

4?點(diǎn)與坐標(biāo)軸的距離與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系（出現(xiàn)坐標(biāo)系）

（1）點(diǎn)P（a,。）與原點(diǎn)、坐標(biāo)軸的距離（出現(xiàn)點(diǎn)P）

到x軸的距離：等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即彷|；（出現(xiàn)垂直于x的線段和|加）

到y(tǒng)軸的距離：等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，即以|；（出現(xiàn)垂直于y的線段和。）

到原點(diǎn)的距離：等于點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根，即廿.（出現(xiàn)

P0線段和+廿）

（2）坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離

在X軸上兩點(diǎn)Pl（XI,0）,P2（X2,0）間的距離P1P2I=IX2-X\;（出現(xiàn)P1P2線段和

P1P2I=IX2-Xl|）

在y軸上兩點(diǎn)Q（0,yi）,。2（0,*）間的距離iQQl=l?-yiI；（出現(xiàn)QQ線段和

。1。2=|y2-yi|）

在x軸上的點(diǎn)尸|（孫0）與丁軸上的點(diǎn)。（0,6）之間的距離|尸10||=+.（出現(xiàn)

PiQi線段和|PIQI|=舊+y；）

師：下面我們就一起來(lái)看幾道例題.

初步性問(wèn)題

探究類型之一求平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

例1在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的機(jī)器人接受指令（aX）,0°<A<180°）后的

行動(dòng)結(jié)果為：在原地沿正前方直線行走“，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)A.若機(jī)器人的位置在原點(diǎn),

正前方為y軸的負(fù)半軸，則它完成一次指令［2,60°］后位置的坐標(biāo)為（）

A.（-1,-73）B.（-1,~y/3）

C.（-6,-］.）D.（-V3,1）

解析：

模擬機(jī)器人（用點(diǎn)3表示）的運(yùn)動(dòng)情況如圖所示；（下一步）動(dòng)畫顯示點(diǎn)8的運(yùn)

動(dòng)過(guò)程：從原點(diǎn)處向下移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，然后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,圖中標(biāo)上60°；

（下一步）

求點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離（或線段的長(zhǎng)度■解直角三角形（F

一步）

易知。8=2,過(guò)點(diǎn)B作），軸的垂線BC（在圖中作出），

0C=-OB=1,BC=y/OB2-OC2=V22-l2=百；（下一步）

2

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-75,-1).

答案：c

師：首先大家根據(jù)題目已知條件畫出圖形，，如何求點(diǎn)的坐標(biāo)呢？

生：（預(yù)設(shè)）轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)度或點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離.

師：如何求線段的長(zhǎng)度或點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離？

生：（預(yù)設(shè)）解直角三角形.

師：在坐標(biāo)系中求幾何圖形的點(diǎn)的坐標(biāo)，通常轉(zhuǎn)化為利用幾何圖形的性質(zhì)，求該點(diǎn)

到兩坐標(biāo)軸的距離，常用到三角形，四邊形，勾股定理等知識(shí).

類似性問(wèn)題

1.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形MNPO的頂點(diǎn)P坐標(biāo)是（3,4）,則頂點(diǎn)

M,N的坐標(biāo)分別是（）

A.M（5,0）,N（8,4）B.M（4,0）,N（8,4）

P.-----N

C.M(5,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)

解析:

過(guò)點(diǎn)P作PELOM于點(diǎn)E（在圖中作出），則OE=3,PE=4,根據(jù)勾股定理得

OP=S]OE2+PE2=5；（下一步）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知OM=PN=OP=5,所以點(diǎn)M的

坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8,4）.

初步性問(wèn)題

探究類型之二坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的特征

例2已知點(diǎn)P（4,0-1）在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，則a的取值范圍在數(shù)軸

上可表示為（）

D.

解析：

點(diǎn)、P（x,y）在第一象限u>x>0,y>0；（下一步）

所以卜解得a>L

a-1>0,

答案：A

師：點(diǎn)在第一象限的符號(hào)特征是什么？

生：（預(yù)設(shè)）橫縱坐標(biāo)都大于0.

師：解此類問(wèn)題的一般方法是根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)系中的符號(hào)特征，建立不等式組或者方

程（組），把點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式組或方程（組）來(lái)解決.

類似性問(wèn)題

2.若點(diǎn)P（a,?-2）在第四象限，則a的取值范圍是（）

A.-2<a<0B.0<a<2

C.a>2D.a<0

解析：

點(diǎn)P（x,y）在第四象限ox>0,y<0；（下一步）

所以解得0<a<2.

4一2<0,

初步性問(wèn)題

探究類型之三坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

例3一只跳蚤在第一象限及x軸、），軸上跳動(dòng)，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)跳動(dòng)到（0,

1）,然后接著按圖中箭頭所示方向跳動(dòng)［即（0,0）->（0,1）-*（1,1）-（1,0）

—且每秒跳動(dòng)一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)是（）

解析：

記跳蚤運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（〃，?）需要的時(shí)間為加，其中〃與1且〃為正整數(shù):

跳蚤跳到點(diǎn)（1,1）的位置，力=1X2_秒；（下一步）

跳蚤跳到點(diǎn)（2,2）的位置，1X2+2X2=2X3―秒；（下一步）

跳蚤跳到點(diǎn)（3,3）的位置，△=_2X3-2X3=3義4—秒;（下一步）

跳蚤跳到點(diǎn)（4,4）的位置，M=—3X1+2X4=4X5—秒；（下一步）

跳蚤跳到點(diǎn)（5,5）的位置，4X5+2X5=5X6秒；（下一步）

再向下跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，即第35秒時(shí)跳蚤到達(dá)點(diǎn)_1（5,0）.

答案：B

師：如何求第35秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)？

生：（預(yù)設(shè)）通過(guò)觀察尋找跳蚤運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所在位置坐標(biāo)的規(guī)律.

師：你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？

學(xué)生總結(jié)規(guī)律.

師：平面直角坐標(biāo)系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)要注意觀察橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律.

類似性問(wèn)題

3.在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).且規(guī)定，正方形的

內(nèi)部不包含邊界上的點(diǎn).觀察如圖所示的中心在原點(diǎn)、一邊平行于x軸的正方形：

邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3

的正方形內(nèi)部有9個(gè)整點(diǎn)，…，則邊長(zhǎng)為8的正方形內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.64B.49C.36D.25一-vt后

解析：

觀察圖形可總結(jié)出規(guī)律：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為〃,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，正方形內(nèi)部有/個(gè)整點(diǎn)；（下一步）

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，正方形內(nèi)部有（〃T）2個(gè)整點(diǎn).

邊長(zhǎng)為8的正方形內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（8-1）2=49.

師：復(fù)習(xí)完了平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)，下面我們來(lái)復(fù)習(xí)下變量與函數(shù).

考點(diǎn)24變量與函數(shù)

師：首先同學(xué)們先回顧一下變量與函數(shù)的基本概念.

回顧：（先出現(xiàn)紅色字體，再出現(xiàn)黃色陰影字體）

1.常量與變量：在某一變化過(guò)程中，始終保持不變的量叫做常量，數(shù)值發(fā)生變

化的量叫變量.

2.函數(shù)：一般地，在某個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量，例如lx與y,對(duì)于x的

每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)x是自變量，y是因變量，也稱

y是x的函數(shù).

3.函數(shù)的表示：（1）解析式法；（2）列表法；（3）圖象法.

4.函數(shù)的圖象：一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別

作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的

圖象.

描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟：（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線.

師：接下來(lái)我們來(lái)看幾道相關(guān)例題.

初步性問(wèn)題

探究類型之一函數(shù)的概念

例1下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍為x<l的是（）

a1n,1

A.y=---B.y=]__

1-xx

解析：

求函數(shù)自變量的取值范圍，要滿足以下兩個(gè)條件:

（1）分母不為0；

（2）被開方數(shù)非負(fù).（下一步）

如圖1:表示離出發(fā)點(diǎn)的距離S與時(shí)間/的函數(shù)圖象中，①代表物體勻速運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)

離出發(fā)點(diǎn)，②代表物體停止，③代表物體反向勻速運(yùn)動(dòng)直至回到原出發(fā)

點(diǎn).（出現(xiàn)圖1,下一步）

如圖2：表示速度V與時(shí)間/的函數(shù)圖象中，①表示物體從0開始加速運(yùn)動(dòng)，②

代表物體勻速運(yùn)動(dòng)，③代表物體減速運(yùn)動(dòng)到停止.（出現(xiàn)圖2）

圖1圖2

答案：D

師：如何根據(jù)函數(shù)關(guān)系判斷函數(shù)圖像？

生：（預(yù)設(shè)）觀察圖象時(shí)，首先弄清橫軸和縱軸所表示的意義，分析圖象的變化趨

勢(shì)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的意義進(jìn)行判斷.

師：如圖，在表示離出發(fā)點(diǎn)的距離s與時(shí)間f的函數(shù)圖象中，每一段分別表示什么？

生：（預(yù)設(shè)）①代表物體勻速運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)，②代表物體停止，③代表物體反向勻

速運(yùn)動(dòng)直至回到原出發(fā)點(diǎn)..

師：這樣我們是否就可以判斷了呢，對(duì)比下面的函數(shù)圖像，每一段各代表什么呢？

生：（預(yù)設(shè)）①表示物體從0開始加速運(yùn)動(dòng)，②代表物體勻速運(yùn)動(dòng)，③代表物體減速

運(yùn)動(dòng)到停止.

類似性問(wèn)題

2.小明從家中出發(fā)，到離家1.2千米的早餐店吃早餐，用了咳I」鐘吃完早餐后，按原

路返回到離家1千米的學(xué)校上課，在下列圖象中，能反映這一過(guò)程的大致圖象是

（）

解析：

在吃飯的一刻鐘時(shí)間內(nèi)距離保持不變，故可排除A、D,由于學(xué)校離家的距離比

第4步

注意：畫一次函數(shù)圖象時(shí)，只要取兩個(gè)點(diǎn)即可.

（下一步）

3.一次函數(shù)圖象及性質(zhì)：（先出現(xiàn)藍(lán)色字體，再兩行兩行出現(xiàn)）

函數(shù)k,取值大致圖象經(jīng)過(guò)的象限函數(shù)性質(zhì)

yJ[

k>0

——、二y隨x增大而增大

/'Ox

y=kx（原0）yi

k<Q

7二、四y隨x增大而減小

O

k>0y一、二、三

才

b>00X

iiyy隨x增大而增大

k>Q/.X一、三、四

0,

b<0/\

y=kx+b（后0）

y

k<07一、二、四

b>0

k<0二、三、四y隨尤增大而減小

b<0

4.待定系數(shù)法：先設(shè)表達(dá)式中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件求出未知系數(shù)，從而寫

出函數(shù)的解析式.

師：接下來(lái)我們來(lái)看幾道相關(guān)例題.

初步性問(wèn)題

探究類型之一一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1已知一次函數(shù)〃-2的圖象如圖所示，則機(jī)，〃的取值范圍是（）

A.m>0,71V2B.m>0,n>2y

\

C.m<0,n<2D.m<0,n>2\.

O\X

解析：r斜率左的符號(hào)決定函數(shù)的增減性

y=kx+b（后0）

截距b的符號(hào)決定函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)在上方還是下方

（下一步）

m<0,m<0,

所以解得4

/?—2>0,n>2.

答案：D

師：如何求一次函數(shù)中字母系數(shù)的取值范圍呢？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)函數(shù)的增減性判斷斜率攵的符號(hào)，截距人的符號(hào)決定函數(shù)圖像與y

軸交點(diǎn)在上方還是下方.

類似性問(wèn)題

1.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則人的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.2

2.已知關(guān)于x的一次函數(shù)產(chǎn)依+4&-2（原0）.若其圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則上；若y隨x

的增大而減小，則k的取值范圍是.

解析:

一次函數(shù)產(chǎn)乙+飲-2（原0）的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則4&-2=0,解得上;；（下一步）

一次函數(shù)）=依+462（原0）,），隨犬的增大而減小，則ZV0.

初步性問(wèn)題

探究類型之二用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式

例2如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,A,B均在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上.

（1）求線段AB所在直線的函數(shù)解析式,并寫出當(dāng)0鄉(xiāng)￡2時(shí)，自變量x的取值范圍；

（2）將線段A8繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段8C,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段BC.若直

線BC的函數(shù)解析式為y=kx+h,則y隨x的增大而______（填“增大”或“減小”）.

解析：

（l）A（l,0）,8（0,2）,設(shè)直線A8的函數(shù)解析式為用待定系數(shù)法求解;

（下一步）

（2）動(dòng)畫展示將線段A3繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段8c的過(guò)程.從圖象

上觀察可得出結(jié)果.

答案：

解：（1）觀察圖象可知A（l,0）,8（0,2）,設(shè)直線A3的函數(shù)解析式為產(chǎn)履+。，

b=C（k=-?

根據(jù)題意得一'解得''

h=2,[b=2.

所以y=-2x+2,當(dāng)0gg2時(shí)，00爛1.（下一步）

（2）增大（直接填在空處）

師：如何求直線的函數(shù)解析式？

生：（預(yù)設(shè)）待定系數(shù)法.

師：待定系數(shù)法的一般步驟是？

生：（預(yù)設(shè)）（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為產(chǎn)氣+從原0）；（2）把已知兩點(diǎn)坐標(biāo)

Pi（m,h）,P2（a2,岳）代入得（3）解方程組求出k,b的值；⑷將求出

b2=a2k+b;

的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式.

師：通過(guò)圖像觀察能否得到函數(shù)的增減性呢？

生：（預(yù)設(shè)）從左往右看，上山就是遞增的，下山就是遞減的.

類似性問(wèn)題

3.已知：一次函數(shù)），=辰+力的圖象經(jīng)過(guò)M（0,2）,N33）兩點(diǎn).

（1）求上。的值；

（2）若一次函數(shù)>=入+。的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（a,0）,求。的值.

解析：

h=2（k=\

（1）將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入產(chǎn)履+分得"‘解得一’（下一步）

-k+b=3,[b=2-,

（2）由（1）可知y=x+2,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得a+2=0,即。=-2.

第二課時(shí)

教學(xué)路徑

師：下面這節(jié)課我們主要來(lái)復(fù)習(xí)一下一次函數(shù)圖象的平移，一次函數(shù)與一元一次方

程（組）、不等式（組）的關(guān)系及一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題.

考點(diǎn)26一次函數(shù)圖象的平移

師：我們首先來(lái)回憶一下一次函數(shù)），=依+匕的圖象可由正比例函數(shù)y=區(qū)的圖象如何

平移得到？

回顧：

一次函數(shù)圖象的平移：一次函數(shù)產(chǎn)履+。的圖象可由正比例函數(shù)嚴(yán)質(zhì)的圖象平移得

到，b>0,上移。個(gè)單位；b<0,下移㈤個(gè)單位.（下一步）

例如：y=2x+3

y=2x

（下一步）j=2x-3

師：接下來(lái)我們來(lái)看一道例題.

初步性問(wèn)題

探究類型一次函數(shù)圖象的平移

例1已知一次函數(shù)>=依-4,當(dāng)x=2時(shí)，y=-3.

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）將該函數(shù)的圖象向上平移6個(gè)單位，求平移后的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：

（1）將x=2,y=-3代入求出k的值；（下一步）

（2）將一次函數(shù)），=依-4的圖象向上平移6個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解

析式為_y=hc-4+6=y=kx+2.

答案：

解：（1）根據(jù)題意得-3=2公*4,解得Z=L

2

所以一次函數(shù)的解析式為產(chǎn);k4.（下一步）

（2）將一次函數(shù)廠4的圖象向上平移6個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)

的解析式為y=；x+2.

令y=0,得0='x+2,解得x=-4,

2

所以平移后的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,0）.

師：圖像平移求解析式的口訣是？

生：（預(yù)設(shè)）上加下減，左加右減.

師：直線丁=履+力（燈0）在平移過(guò)程中％值不變.平移的規(guī)律是若上下平移，則直接

在常數(shù)。后加上或減去平移的單位數(shù);若向左（或向右）平移機(jī)個(gè)單位，則直線）=依+匕

(Z^O)變?yōu)閥=k(x±m(xù))+b.

類似性問(wèn)題

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=-2x+l向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后所得直線的解

析式為.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=-2x+l向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后所得直線的解

析式為.

解析：

根據(jù)“上加下減，左加右減”的口訣求解.

考點(diǎn)27一次函數(shù)與一次方程(組)與不等式(組)

師：一次函數(shù)與一次方程(組)與不等式(組)之間有什么樣的關(guān)系呢？同學(xué)們思

考一下如何利用一次函數(shù)的圖象來(lái)求一次方程(組)的解及一次不等式(組)的解

集？

回顧：

一元一次不等式一元一次方程

kx+b>0kx+b=a

(y0)(20)

是不等式解集

解

方

程

組

求

兩

條

直

線

的

交

點(diǎn)

y=kjx+bt

y=k2x+bz

（下一步）

L一次函數(shù)與一次方程（組）與不等式（組）（下一步）

（1）一次函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值為方程的根；（下一步）

（2）-次函數(shù)值大于（或小于）0,相應(yīng)的自變量的值為不等式的解集；（下一步）

（3）兩直線的交點(diǎn)是兩個(gè)一次函數(shù)解析式所組成的方程組的解.（下一步）

2.兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積（下一步）

（1）一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)），=0,求出對(duì)應(yīng)的x值；（下一步）

（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)x=0,求出對(duì)應(yīng)的y值；（下一步）

（3）一次函數(shù)與其他函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)：解由兩個(gè)函數(shù)解析式組成的二元方程組,

方程的解即兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；（下一步）

（4）直線產(chǎn)氣+6與x軸交點(diǎn)為（--,0）,與y軸交點(diǎn)為（0,力，且這兩個(gè)交點(diǎn)與坐

k

標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為s=x|b|=二.（下一步）

2k2網(wǎng)

師：下面我們一起來(lái)看兩道例題.

初步性問(wèn)題

探究類型之一利用函數(shù)圖象解解一元一次不等式（組）

例1如圖所示，直線yi=依+〃過(guò)點(diǎn)A（0,2）,且與直線”="比交于點(diǎn)P（1,根）,

則不等式組nix>kx+b>mx-2的解集是

解析：

由P（l,/〃）知依+。成立時(shí)對(duì)應(yīng)的x>l；（下一步）

將直線yi=mx向下平移2個(gè)單位，得到直線>,3=/nr—2,與y軸交于點(diǎn)B,與直

線y交于點(diǎn)C,如圖所示（在原圖上畫出圖形）；（下一步）

過(guò)點(diǎn)P作PELy軸于E,過(guò)點(diǎn)C作CFLy軸于F（在圖中作出，并突出下列兩

PFApAn

個(gè)A型），則借助兩個(gè)“A型相似形"得上=竺=絲，易知PE=1,AO=2,A8=4,

CFACAB

12

所以」一=±,所以b=2,即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2；（下一步）

CF4

kx+b>mx-2成立時(shí)對(duì)應(yīng)的x<2,故不等式組mx>kx+b>mx-2的解集是1<

答案：Kx<2

師：如何求不等式組的解集大家都已經(jīng)掌握了，那我們就看看如何求下面兩個(gè)不等

式，第一個(gè)不等式丘+。的解集是？

生：（預(yù)設(shè)）首先找到兩條直線的交點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)和不等式的關(guān)系知：可以從直

線y=mx在直線y=kx+b上方的部分找到不等式mx>kx+b的解集.

師：第二個(gè)不等式呢？

生：（預(yù)設(shè)）關(guān)鍵是找到兩條直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師：如何求交點(diǎn)坐標(biāo)呢？

生：（預(yù)設(shè)）過(guò)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，借助兩個(gè)A型相似形得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

類似性問(wèn)題

1.已知一次函數(shù)y=^+3的圖象如圖所示，則不等式依+3<0的解集是.

求不等式匕+3<0的解集即為求當(dāng)函數(shù)值產(chǎn)"+3小于0時(shí)自變量x的取值范圍,

表現(xiàn)在圖象上即為直線y=^+3在無(wú)軸下方部分（在圖中變色，如右圖），（下

一步）觀察圖象可知不等式依+3<0的解集為x>1.5.

初步性問(wèn)題

探究類型之二一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的面積

例2如圖所示，直線）=2尤+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8.

（1）求A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)8點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)P,且使0P=2QA,求的面積.

（1）由x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,代入直線產(chǎn)2%+3易求

出A,8點(diǎn)的坐標(biāo)；（下一步）

（2）求出OP的長(zhǎng)度，轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)的坐標(biāo)，注意分P點(diǎn)在原點(diǎn)。兩側(cè)兩種情況

來(lái)計(jì)算△A8P的面積，（畫出兩種情況下的直線BP）（下一步）SzxA8P=SziOBP±SAOBA.

（顏色標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積）

答案：

解：（1）令y=0,得0=2x+3,解得x=-2,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-士，0）.

22

令x=0,得y=3,故點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,3）.（下一步）

（2）由（1）可知。4=一，08=3,所以O(shè)P=2OA=3.（下一步）

2

1139

SAOBA=-OA-OB=-X-X3=—,

2224

iIo

SAOBP=-OP-OB=-X3X3=-,（下一步）

222

QQQ

若點(diǎn)P在原點(diǎn)。的左側(cè)，如圖所不，SMBP=S&OBP~SAOBA=—,（b

244

一步）

9927

若點(diǎn)P在原點(diǎn)O的右側(cè)，如圖所不，SAA8P=SAOBP+SAOBA=—+—=—.（F

244

師：如何求直線和坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的特征，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

為0.

師：第二問(wèn)，根據(jù)題目條件首先應(yīng)該畫出圖形，如何求△A8P的面積？

生：（預(yù)設(shè)）利用面積的割補(bǔ)法求三角形的面積，當(dāng)點(diǎn)尸在原點(diǎn)。的左側(cè)時(shí)，

的面積等于兩個(gè)面積的差，當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，AABP的面積等于兩個(gè)面積

的和.

師：還有別的方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）直接用面積公式，求出三角形的底和高.

類似性問(wèn)題

2.已知梯形A3CO的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1,0）,B（5,0）,C（2,2）,D

（0,2）,直線y=^+2將梯形分成面積相等的兩部分，則々的值為（）

22八4八2

AA.——Bn.——C.——D.——

3977

y=kx-r23個(gè)

解析：\DC

畫出圖形如圖所示（給出圖形），設(shè)直線y=^+2______

AO￡'Bx

與x軸交于點(diǎn)E,易知A8=6,CD=2,0D=2,

S梯修（AB+CD）?00=8；（下一步）

2

由“直線），=心+2將梯形分成面積相等的兩部分”可知S“DE=gS|wABCD=4,

所以LAEX2=4,得AE=4,故OE=3,即E（3,0）；（下一步）

一2

2

把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y=kx+2,得0=3k+2,解得k=~—.

'3

考點(diǎn)28一次函數(shù)的應(yīng)用

師：復(fù)習(xí)完了一次函數(shù)的基本知識(shí)，那么我們?cè)撊绾卫靡淮魏瘮?shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題

呢？

回顧：

用一次函數(shù)模型解決實(shí)際生活問(wèn)題（下一步）

方法：從給定的信息中抽象出一次函數(shù)關(guān)系，再利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解，

一般需要求出自變量的取值范圍.（下一步）

常見類型：（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）利用一次函數(shù)圖象與性質(zhì)解決某些問(wèn)題，如最大（最?。┲祮?wèn)題等.

師：下面我們就一起來(lái)看一下利用一次函數(shù)模型可以解決哪些實(shí)際問(wèn)題.

初步性問(wèn)題

探究類型之一利用一次函數(shù)進(jìn)行方案選擇

例1某通訊公司推出①、②兩種通訊收費(fèi)方式供用戶選擇，其中一種有月租費(fèi)，

另一種無(wú)月租費(fèi)，且兩種收費(fèi)方式的通訊時(shí)間x（分鐘）與收費(fèi)y（元）之間的函數(shù)

關(guān)系如圖所示.伊元）

o\100200300400500分鐘）

（1）有月租費(fèi)的收費(fèi)方式是一（填①或②），月租費(fèi)是____元；

（2）分別求出①、②兩種收費(fèi)方式中y與自變量x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）請(qǐng)你根據(jù)用戶通訊時(shí)間的多少，給出經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的選擇建議.

解析：

（1）當(dāng)x=0,y=30,即表示有月租30元；（F一步）

（2）設(shè)①收費(fèi)方式中函數(shù)解析式為“產(chǎn)立什30,②收費(fèi)方式中函數(shù)解析式為y

元=%?,用待定系數(shù)法求解；（下一步）

（3）y〃=y尤時(shí)，即選擇收費(fèi)方式①、②一樣實(shí)惠，再討論不等關(guān)系.

注：根據(jù)圖像得到實(shí)際問(wèn)題中的有用信息，如下圖，直接列算式計(jì)算：

費(fèi)用方案①方案②

月租費(fèi)（元）300

單價(jià)（元/分鐘）(80-30)4-500=0.11004-500=0.2

設(shè)通話時(shí)間為X分鐘，費(fèi)用為y元，根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)得：

方案①：y=30+0.lx；

方案②：y=0.2x.

答案：

解：（1）①；30（直接填在橫線上）（下一步）

（2）設(shè)①收費(fèi)方式中函數(shù)解析式為y〃=%ix+3O,把（500,80）代入，

得80=500M+30,解得力=-L,所以y『J-x+30.

1010

設(shè)②收費(fèi)方式中函數(shù)解析式為產(chǎn)元=以，把（500,100）代入，

得100=50022,解得女2=（,所以y尤=（x.（下一步）

（3）令尤，BP—x+30=-x,解得x=300.

105

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)用戶通訊時(shí)間小于300分鐘時(shí)，選擇②收費(fèi)方式比較

經(jīng)濟(jì)實(shí)惠；當(dāng)用戶通訊時(shí)間大于300分鐘時(shí)，選擇①收費(fèi)方式比較經(jīng)濟(jì)實(shí)惠；

當(dāng)用戶通訊時(shí)間等于300分鐘時(shí)，選擇兩種收費(fèi)方式一樣.

師：橫軸表示時(shí)間，縱軸表示費(fèi)用，如何求兩種方案下函數(shù)關(guān)系式呢？

生：（預(yù)設(shè)）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

師：還有別的方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)圖像求出兩種方案下每分鐘的花費(fèi)，然后再根據(jù)實(shí)際意義求解析式.

師：如何判斷哪個(gè)方案更優(yōu)惠？

生：（預(yù)設(shè)）關(guān)鍵是找到兩條直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)就是分界點(diǎn).

師：（1）方案比較問(wèn)題，一般都有兩個(gè)一次函數(shù)式，且隨著自變量取值的不同，其

函數(shù)值也不同.利用它們的這種變化過(guò)程，找到界點(diǎn)，便可加以比較.

（2）銷售或調(diào)運(yùn)問(wèn)題，數(shù)據(jù)較多，通過(guò)列表分析，使數(shù)量關(guān)系清晰明朗，易得函數(shù)

表達(dá)式，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題有意義的條件確定自變量的取值范圍，利用一次函數(shù)的性

質(zhì)可求其最值來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題最值問(wèn)題.

類似性問(wèn)題

1.甲、乙兩人沿相同的路線由A地到8地勻速前進(jìn)，A,8兩地間的路程為20千米,

他們前進(jìn)的路程為s（單位：千米），甲出發(fā)后的時(shí)間為r（單位：小時(shí)），甲、乙前

進(jìn)的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象如圖所示.根據(jù)圖象信息，下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲的速度是4千米/時(shí)$/千米t

B.乙的速度是10千米/時(shí)\

C.乙比甲晚出發(fā)1小時(shí)'

D.甲比乙晚到B地3小時(shí)；34）小時(shí)

解析：

觀察圖象可知：乙比甲晚出發(fā)1小時(shí)，早到達(dá)4-2=2（小時(shí)）；（下一步）

甲從A地到8地，共用了4小時(shí)，故速度為20y=5（千米/時(shí)）；乙從A地到8

地，共用了1小時(shí)，故速度為20千米/時(shí).

初步性問(wèn)題

探究類型之二利用一次函數(shù)進(jìn)行資源收費(fèi)

例2今年我省部分地區(qū)遭遇嚴(yán)重干旱，為鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，我市自來(lái)水公司

（2）按上述分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，小聰家三、四月份分別交水費(fèi)29元和19.8元，問(wèn)四月

份比三月份節(jié)約用水多少噸？

解析：

分別表示出當(dāng)0%口0和x>10時(shí)所對(duì)應(yīng)的的函數(shù)解析式；（下一步）

（1）當(dāng)x=7時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的），值即可；（下一步）

（2）當(dāng)y=29時(shí)對(duì)應(yīng)的尤>10,當(dāng)y=19.8時(shí)對(duì)應(yīng)的grWO,分別代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)

解析式求出x的值，然后作差即可.

注：根據(jù)圖像得到實(shí)際問(wèn)題中的有用信息，如下圖，直接列算式計(jì)算:

用水量（噸）水費(fèi)（元/噸）

用水量不超過(guò)10噸的部分224-10=2.2

用水量超過(guò)10噸的部分(57-22)4-(20-10)=3.5

設(shè)用水量為九噸，水費(fèi)為y元，根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)得:

當(dāng)0夕00時(shí)，y=2.2x；

當(dāng)x>10時(shí)，y=3.5x-（3.5-2.2）X10=3.5x-l3.

（或y=2.2X10+3.5（尸10）=3.5xT3.）

用水7噸需交的水費(fèi)是:2.2X7=15.4（元），

當(dāng)三月份水費(fèi)為29元時(shí)，用水量為：10+（29-22）+3.5=12（噸）,

當(dāng)四月份水費(fèi)為19.8元時(shí)，用水量為：19.8+2.2=9（噸）.

答案:

解：當(dāng)grglO時(shí)，設(shè)產(chǎn)qx,把（10,22）代入，

得22=10心，解得h=2.2,所以y=2.2x.（下一步）

當(dāng)x>10時(shí)，設(shè)產(chǎn)&2X+4把（10,22）和（20,57）代入,

22=1O&+加解得,3=3.5,

得所以y=3.5x-13.

57—20k-,+b,b=—13,

2.2x(O<x<10)

所以y=,（下一步）

3.5x-13(%>10)

(1)當(dāng)x=7時(shí)，y=2.2X7=15.4,即應(yīng)交水費(fèi)15.4元.（下一步）

(2)當(dāng)y=29時(shí)，x>10,故29=3.5xT3,解得x=12.

當(dāng)y=19.8時(shí),0勺00,故19.8=2.2x,解得x=9.

12-9=3（噸）,即四月份比三月份節(jié)約用水3噸.

師：首先明確橫軸縱軸的意義？

生：（預(yù)設(shè)）橫軸表示用水量，縱軸表示水費(fèi).

師：當(dāng)用水量超過(guò)10噸后，直線上揚(yáng)，說(shuō)明什么？

生：（預(yù)設(shè)）水價(jià)提高.

師：我們?nèi)绾吻笏M(fèi)和用水量之間的函數(shù)關(guān)系式呢？

生：（預(yù)設(shè)）待定系數(shù)法.

師：還有別的方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）求出水的單價(jià)，根據(jù)實(shí)際意義求函數(shù)解析式.

師：解有關(guān)分段函數(shù)問(wèn)題，要善于利用圖象發(fā)現(xiàn)有用的信息，再利用待定系數(shù)法求

解.數(shù)形結(jié)合是解決這類問(wèn)題最重要的數(shù)學(xué)思想.

類似性問(wèn)題

2.今年，號(hào)稱“千湖之省”的湖北正遭受大旱，為提高學(xué)生環(huán)保意識(shí)，節(jié)約用水，

某校數(shù)學(xué)教師編造了一道應(yīng)用題：

為了保護(hù)水資源，某市制定一套節(jié)水的管理措施，其中對(duì)居民生活用水收費(fèi)作如下

規(guī)定：

月用水量（噸）單價(jià)（元/噸）

不大于10噸部分1.5

大于10噸不大于m噸部分（20勺?W50）2

大于m噸部分3

（1）若某用戶六月份用水量為18噸，求其應(yīng)繳納的水費(fèi)；

（2）記該用戶六月份用水量為x噸，繳納水費(fèi)y元，試列出y關(guān)于x的函數(shù)式；

（3）若該用戶六月份用水量為40噸，繳納水費(fèi)y元的取值范圍為70gs90,試求〃?

的取值范圍.

解析：

（1）用水18噸交費(fèi)時(shí)包括兩部分：10噸以內(nèi)和超過(guò)10噸部分；（下一步）

（2）利用水費(fèi)的不同階段的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)列出函數(shù)關(guān)系式即可；（下一步）

（3）用40代替（2）中求得的函數(shù)解析式中的x,利用繳納水費(fèi)y元的取值范

圍為709mo得到有關(guān)機(jī)的不等式組，解得即可，要注意分406W50和

20sM<40兩種情況討論.

答案：

【類似性問(wèn)題】

考點(diǎn)23

1.A

2.B

3.B

考點(diǎn)24

1.D

2.B

考點(diǎn)25

1.D

2.-；k<Q

2

3.解：(1)將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入>=區(qū)+6得1'解得1'

k+b=3,[b=2;

(2)由(1)可知y=x+2,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得a+2=0,即a=-2.

考點(diǎn)26

(1)y=-2x~3

(2)y=~2x-7

考點(diǎn)27

1.x>l.5

2.A

考點(diǎn)28

1.C

2.解：(1)?.T8<m,.?.此時(shí)前面10噸每噸收1.5元，后面8噸每噸收2元,

則應(yīng)繳納的水費(fèi)為10X1.5+(18-10)X2=31(元).