第4講隨機(jī)事務(wù)與概率1.[2024吉林長春東北師大附中模擬]下列敘述正確的是（D）A.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率確定越來越接近一個(gè)確定數(shù)值B.若隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的概率為P（A），則0＜P（A）＜1C.若事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P（A＋B）＝P（B）D.若事務(wù)A與事務(wù)B對立，則P（A）＋P（B）＝1解析隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事務(wù)發(fā)生的頻率會(huì)漸漸穩(wěn)定于事務(wù)發(fā)生的概率，并不愿定越來越接近這個(gè)確定數(shù)值，故A不正確；必定事務(wù)發(fā)生的概率為1，不行能事務(wù)發(fā)生的概率為0，所以0≤P（A）≤1，故B不正確；若事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則它們不行能同時(shí)發(fā)生，即B發(fā)生則A確定不發(fā)生，所以B?A，則A＋B＝A，則有P（A＋B）＝P（A），不愿定與P（B）相等，故C不正確；若事務(wù)A與事務(wù)B對立，則A∪B為必定事務(wù)，且事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1，故D正確.故選D.2.[2024廣東佛山模擬]從1～9這9個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取一個(gè)，則這個(gè)數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字大于5的概率為（B）A.13 B.49 C.59 解析從1～9這9個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，共有9種選法，其中這個(gè)數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字大于5的是3，4，6，7，故這個(gè)數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字大于5的概率為49，故選3.[2024四川成都模擬]我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如40＝3＋37.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（B）A.245 B.115 C.145 解析不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有C102＝45（種）狀況，其中和等于30的有7和23，11和19，13和17這3種狀況，所以所求概率是345＝14.[2024四川遂寧模擬]拋擲一顆質(zhì)地勻整的骰子，定義如下隨機(jī)事務(wù)：Ci＝“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“點(diǎn)數(shù)不大于2”；D2＝“點(diǎn)數(shù)大于2”；D3＝“點(diǎn)數(shù)大于4”.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（D）A.C1與C2互斥 B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝?C.D3?D2 D.C2，C3為對立事務(wù)解析由題意知C1與C2不行能同時(shí)發(fā)生，它們互斥，A正確；由題意知，樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，D1＝{1，2}，D2＝{3，4，5，6}，因此B正確；D3＝{5，6}?D2，C正確；C2與C3不行能同時(shí)發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，互斥不對立，D錯(cuò)誤.故選D.5.[2024湖北宜昌宜都市一中模擬]從裝有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥但不對立的兩個(gè)隨機(jī)事務(wù)是（C）A.至少有1個(gè)白球，都是白球B.至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球C.恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球D.至少有1個(gè)白球，都是紅球解析對于A，“都是白球”這個(gè)事務(wù)發(fā)生時(shí)，事務(wù)“至少有1個(gè)白球”也發(fā)生了，因此不互斥，A不正確；對于B，任取2球一紅一白時(shí)，事務(wù)“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”同時(shí)發(fā)生，因此不互斥，B不正確；對于C，“恰有1個(gè)白球”，“恰有2個(gè)白球”這兩個(gè)事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，但當(dāng)任取2個(gè)球都是紅球時(shí)，它們都不發(fā)生，因此它們互斥且不對立，C正確；對于D，“至少有1個(gè)白球”與“都是紅球”不行能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)會(huì)發(fā)生，因此它們是對立事務(wù)，D不正確.故選C.6.[新高考卷Ⅰ]某中學(xué)的學(xué)生主動(dòng)參與體育熬煉，其中有96％的學(xué)生寵愛足球或游泳，60％的學(xué)生寵愛足球，82％的學(xué)生寵愛游泳，則該中學(xué)既寵愛足球又寵愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（C）A.62％ B.56％ C.46％ D.42％解析記“該中學(xué)學(xué)生寵愛足球”為事務(wù)A，“該中學(xué)學(xué)生寵愛游泳”為事務(wù)B，則“該中學(xué)學(xué)生寵愛足球或游泳”為事務(wù)A∪B，“該中學(xué)學(xué)生既寵愛足球又寵愛游泳”為事務(wù)A∩B，則P（A）＝0.6，P（B）＝0.82，P（A∪B）＝0.96，所以P（A∩B）＝P（A）＋P（B）－P（A∪B）＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以該中學(xué)既寵愛足球又寵愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46％，故選C.7.[全國卷Ⅰ]設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（A）A.15 B.25 C.12 解析依據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，有C53=10（種）等可能的狀況，其中取到的3點(diǎn)共線有（OAC）和（OBD）2種等可能的狀況，所以在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為2108.[2024廣西聯(lián)考]現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，若將這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個(gè)數(shù)，則剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率為（A）A.17 B.314 C.328 解析由已知可得，1＋2＋3＋…＋8＝36，若使刪去兩個(gè)數(shù)后剩余六個(gè)數(shù)的平均數(shù)大于5，則剩余六個(gè)數(shù)的總和大于30，即刪去兩個(gè)數(shù)的總和小于6，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3）四種狀況，所以隨機(jī)刪去兩個(gè)數(shù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率P=49.[多選/2024山東濟(jì)寧模擬]擲一顆質(zhì)地勻整的骰子，事務(wù)A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”.若B表示B的對立事務(wù)，則一次試驗(yàn)中，下列說法正確的是（ABD）A.P（A）＝13 B.P（B）＝C.P（A∪B）＝13 D.P（A∪B）＝解析易知P（A）＝26＝13，P（B）＝46＝23，故A，B正確，P（A）＝1－13＝23，P（B）=1-23＝13，易知A與B互斥，故P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝23，故D正確，易知B?A，則P（A∪B）＝10.[2024湖北黃岡模擬]事務(wù)A，B是相互獨(dú)立事務(wù)，若P（A）＝m，P（B）＝0.3，PA+B=0.7，則實(shí)數(shù)m解析P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝1－P（A）＋P（B）－P（A）P（B）＝1－P（A）＋P（B）[1－P（A）]＝1－P（A）＋P（B）P（A），即0.7＝1－m＋0.3m，解得m＝3711.[2024廣東佛山模擬]有兩個(gè)人從一座28層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個(gè)人自其次層起先在每一層離開電梯是等可能的，則這兩個(gè)人在不同層離開電梯的概率為2627解析兩人離開電梯的全部可能狀況有27×27＝729（種），兩人在同一層離開電梯的可能狀況有C271＝27（種），則兩人在同一層離開電梯的概率為27729＝127，所以這兩個(gè)人在不同層離開電梯的概率為1－12.[2024河南商丘模擬]某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中共射擊10次，這10次命中的環(huán)數(shù)分別為8，7，9，9，10，6，8，8，7，8.（1）求這名運(yùn)動(dòng)員10次射擊成果的方差.（2）若以這10次命中環(huán)數(shù)的頻率來估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的概率，求該運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)：（i）命中9環(huán)或者10環(huán)的概率；（ii）至少命中7環(huán)的概率.解析（1）平均數(shù)x＝110（8＋7＋9＋9＋10＋6＋8＋8＋7＋8）＝8方差s2＝110[（6－8）2＋2×（7－8）2＋4×（8－8）2＋2×（9－8）2＋（10－8）2]＝（2）設(shè)該運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)，事務(wù)A＝“命中7環(huán)”，事務(wù)B＝“命中8環(huán)”，事務(wù)C＝“命中9環(huán)”，事務(wù)D＝“命中10環(huán)”，用頻率估計(jì)概率，則P（A）＝15，P（B）＝25，PC=15，P（i）設(shè)事務(wù)E＝“命中9環(huán)或者10環(huán)”，則P（E）＝P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝15＋110＝（ii）解法一設(shè)事務(wù)F＝“至少命中7環(huán)”，則P（F）＝P（A∪B∪C∪D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝15＋25＋15＋1解法二設(shè)事務(wù)F＝“至少命中7環(huán)”，事務(wù)G＝“命中不超過6環(huán)”，則P（G）＝110，所以P（F）＝1－P（G）＝1－110＝13.某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購物金額滿80元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中隨意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有5名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是（D）A.140243 B.40243 C.2081 解析5名顧客從“?！弊帧⒋郝?lián)和燈籠這三類禮品中任取一件，共有35種可能結(jié)果，令事務(wù)A為“5人中恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同”，則事務(wù)A包含的可能結(jié)果有C53×C31×C21×C21＝120（種），所以P（14.[2024湖北武漢市第一中學(xué)模擬]在集合{2，3，4，5，6}的全部非空真子集中任選一個(gè)，其元素之和為偶數(shù)的概率是（B）A.35 B.715 C.12 解析集合{2，3，4，5，6}中有兩個(gè)奇數(shù)3，5，三個(gè)偶數(shù)2，4，6，共5個(gè)元素，則集合{2，3，4，5，6}的非空真子集一共有25－2＝30（個(gè)）.分類探討滿意題意的非空真子集的個(gè)數(shù)：（1）當(dāng)集合中只有1個(gè)元素時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機(jī)選取一個(gè)，此時(shí)滿意題意的非空真子集的個(gè)數(shù)為C31＝（2）當(dāng)集合中有2個(gè)元素時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機(jī)選取兩個(gè)，或者同時(shí)選取3，5，此時(shí)滿意題意的非空真子集的個(gè)數(shù)為C32＋C22＝3＋（3）當(dāng)集合中有3個(gè)元素時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機(jī)選取一個(gè)且同時(shí)選取3，5，或者同時(shí)選取2，4，6，此時(shí)滿意題意的非空真子集的個(gè)數(shù)為C31×C22＋C33＝3×（4）當(dāng)集合中有4個(gè)元素時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機(jī)選取兩個(gè)且同時(shí)選取3，5，此時(shí)滿意題意的非空真子集的個(gè)數(shù)為C32×C22＝3綜上，滿意題意的非空真子集的個(gè)數(shù)共有3＋4＋4＋3＝14（個(gè)），因此所求概率為1430＝715.15.[2024陜西西安市鐵一中模擬]甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為0.8.解析記“該題被甲獨(dú)立解出”為事務(wù)A，“該題被乙獨(dú)立解出”為事務(wù)B，由題知PA=0.7，P（A∪B）＝0.94.因?yàn)槭聞?wù)A，B相互獨(dú)立，所以PAB=PAPB=0.7PB.又P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）16.[2024四川成都模擬]已知2，4，6，8，x這5個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為2，若在－2，0，5，2x-1，x－2中隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，則5為這3個(gè)數(shù)的中位數(shù)的概率是3解析2，4，6，8，x這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為2+4+6+8+x5＝20+x5，則15[(2－20+x5）2＋（4－20+x5）2＋（6－20+x5）2＋（8－20+x5）從－2，0，3，5，9中隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，有C53＝10（種）狀況，其中5為這3個(gè)數(shù)的中位數(shù)有（－2，5，9），（0，5，9），（3，5，9），3種狀況，所以所求概率是17.[2024廣東佛山模擬]在一次猜燈謎活動(dòng)中，共有20個(gè)燈謎，甲、乙兩名同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了12個(gè)，乙同學(xué)猜對了8個(gè).假設(shè)猜對每個(gè)燈謎都是等可能的.（1）任選一個(gè)燈謎，求恰有一個(gè)人猜對的概率；（2）任選一個(gè)燈謎，求兩人同時(shí)猜對或猜錯(cuò)的概率.解析（1）設(shè)事務(wù)A表示“任選一個(gè)燈謎，甲猜對”，事務(wù)B表示“任選一個(gè)燈謎，乙猜對”，由古典概型的概率公式得P（A）＝1220＝35，P（B）＝820則P（A）＝1－35＝25，P（B）＝1－25記事務(wù)C＝“任選一個(gè)燈謎，恰有一個(gè)人猜對”，則P（C）＝（AB）∪（AB），且AB與AB互斥，因?yàn)榧住⒁要?dú)立競猜，所以事務(wù)A和B相互獨(dú)立，從而A與B，A與B，A與B相互獨(dú)立，于是P（C）＝P（AB＋AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝35×35＋25×2（2）事務(wù)C＝“任