第21講垂直的判定與性質(zhì)

［玩前必備］

1.直線與平面垂直

圖形條件結(jié)論

L三7bUa(b為a內(nèi)的任意直線)a_La

判定aA-m,m、〃Ua,Q_LQ

b

a//bab-La

J9

bUaaVb

性質(zhì)4

ab

〃_La,h.Laallb

2.兩個(gè)平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條/—A/U?

定理垂線那么這兩個(gè)平面互相垂直L1J/_LaJ

(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

a邛、

如果兩個(gè)平面垂直，那么在b

性質(zhì)aC°=a

一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線

定理

的直線垂直于另一個(gè)平面

￡17/J_a>

［玩轉(zhuǎn)典例］

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，左，底面ABCQ,ABVAD,AC±CD,ZABC

=60。，PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).

證明：(1)CC_LAE；

(2)PO_L平面ABE.

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB_L平面布￡>,AB//DC,PD^AD,E是P2的中

點(diǎn)，尸是。C上的點(diǎn)且=%B,P”為△以。中A。邊上的高.求證：

(1)P//_L平面ABCC；

(2)EF_L平面PAB.

2」創(chuàng)新題型］如圖，直三棱柱ABCAiBiG中,AC=BC=\,ZACB=90°,。是48的中點(diǎn)，F(xiàn)在上.

(1)求證:CQ_L平面AAiBB；

(2)在下列給出三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使45,平面GDF?并證明你的結(jié)論.

①尸為的中點(diǎn)；②AB尸小;③AA產(chǎn)小.

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2如圖，在平行四邊形A8cM中，AB=AC=3,NACM=90。.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到

達(dá)點(diǎn)。的位置，且4BJ_D4.

(1)證明：平面ACCJ■平面ABC；

2

(2)0為線段AO上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且8P=D0=］D4,求三棱錐Q-ABP的體積.

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.在平行六面體A8C￡>-48iGA中，AA^AB,AB1±B|Ci.

求證：(1)48〃平面AiBiC；

⑵平面ABBiA|_L平面A\BC.

2.如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是矩形，以，平面A8CC,E,尸分別是AB,尸。的中

點(diǎn)，且以=AD

求證：(1)AF〃平面PEC；

⑵平面PEC_L平面PCD.

題型三垂直中探索性問題

例3如圖，在三棱臺(tái)ABC-QEF中，CF_L平面。EF,ABLBC.

(1)設(shè)平面ACEC1平面求證：DF//a-,

(2)若EF=CF=2BC,試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G,使得平面G_L平面C￡>E?若存在，請(qǐng)確定G點(diǎn)

的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.如圖，已知三棱柱ABC-A'B'C的側(cè)棱垂直于底面，AB^AC,NR4C=90。，點(diǎn)M,N分別為A'3和

B'C'的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面44'CC；

(2)設(shè),當(dāng)/為何值時(shí)，CN_L平面A'MN,試證明你的結(jié)論.

2.如圖所示，平面ABCQ_L平面8CE,四邊形ABCD為矩形，BC=CE,點(diǎn)F為CE

的中點(diǎn).

（1）證明：AE〃平面BOF；

（2）點(diǎn)M為CC上任意一點(diǎn)，在線段4E上是否存在點(diǎn)P,使得PMLBE?若存在，

確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［玩轉(zhuǎn)練習(xí)］

1.已知直線/和平面a,￡,且/Ua,則是“a邛”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線A8與平面C￡>E垂直的是（）

A.①②B.②④

C.①③D.②③

3.如圖，在斜三棱柱ABC-AiBiG中，NA4c=90。，BCtlAC,則G在底面ABC上的射

影H必在（）

A.直線AB上B.直線BC上

C.直線AC上D./MBC內(nèi)部

4.已知〃?，〃是空間中兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，且機(jī)Ua,”U0.有下列命題：①若a〃尸,

則修〃〃；②若a〃“，則③若aC￡=/，且則a_L￡；④若aC0=l,且ml.n,

則其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

5.（多選）如圖，AC為圓。的直徑，/PC4=45。，%垂直于圓0所在的平面，2為圓周

上不與點(diǎn)4,C重合的點(diǎn)，4SJ_PC于S,ANLPB于-N,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.平面ANS_L平面PBC

B.平面ANSJ_平面以B

C.平面B48_L平面PBC

D.平面ABC_L平面物C

6.（多選）如圖，在三棱錐V-ABC中，VO_L平面ABC,O&CD,VA=VB,AD=BD,則下列結(jié)論中一定成

立的是（）

A.AC=BC

B.ABA.VC

C.VCLVD

D.S/WCD-AB-S&ABCVO

7.（多選）如圖，已知四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD_L平面ABCD,、8_1平

面A8C￡>,且MC=NB=1,E為MC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面BCE_L平面A8N

B.MCLAN

C.平面CMN_L平面AMN

D.平面8OE〃平面AMN

8.如圖，在直角梯形A8CD中，BCLDC,AE1DC,且E為CD的中點(diǎn)，M,N分

別是AD,BE的中點(diǎn)，將△AOE沿4E折起，則下列說法正確的是.（寫出

所有正確說法的序號(hào)）

①不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)）,都有〃平面DEC；

②不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)）,都有MNLAE；

③不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)）,都有MN〃AB；

④在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使ECLAD

9.如圖，在直三棱柱ABC-45G中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=1,NACB=90。，。是AiB\

的中點(diǎn)，尸是8歷上的動(dòng)點(diǎn)，AB\,￡>下交于點(diǎn)E要使A5,平面CQF,則線段的長(zhǎng)為

10.在直三棱柱48。-48|?中，平面a與棱A8,AC,AC”A|8i分別交于點(diǎn)E,F,G,H,且直線AAi

〃平面a.有下列三個(gè)命題：①四邊形EFG