高中數學總復習知識要點

§1.集合與簡易邏輯

1.集合中元素具有確定性、無序性、互異性.

2.集合的性質：

①任何一個集合是它本身的子集，記為AqA；②空集是任何集合的子集，記為。工A；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果Aq8,同時那么4=8；如果B=C,那么A=

［注］:①Z={整數}(J)Z={全體整數}(X)

②已知集合S中A的補集是一個有限集，貝IJ集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,則0A={0})

跳集的補集是全集；④若集合4=集合5,則CW=0,CkB=0&(&B)=S(注：C山=0).

3.①{(x,j)I盯=0,xCR,yGR}坐標軸上的點集；②{(x,j)|xj<0,xWR,yWR}二、四象限的點

集；③{(X,y)|xj>(),xGR,yCR}一、三象限的點集.

［注］:①對方程組解的集合應是點集.例：r+>,=3解的集合{(2,I》.

［2x-3y=\

②點集與數集的交集是。.(例：A={(x,j)|j=x+l}B={jly=x2+l}則AC〃=0)

4.①〃元素集的子集有2”個.②〃元素集的真子集有2〃一1個.③〃元素集的非空真子集有2〃一2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題O逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①若a+bw5,則〃w2或bw3應是真命題.

解：逆否：。=2且b=3,則〃+b=5,成立，所以此命題為真.

②％W1且y工2,.r+yw3.

解：逆否：x+y=3=^>x=1j=2.

/.x*1且y/2才>x+y。3,故x+yw3是xw1且yw2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.例：若x>5,nx>5或cV2.命題的充要關系可以用集合

的觀點來理解，即“若則xcA是XEB的充分條件”；“若A08,則xwA是的

充分不必要條件"；“若A=B,則XGA是￥￡5的充要條件”，等等.

(3)可從邏輯關系上來理解充要條件：如“〃是q的充分不必要條件是「〃的充分不必要條件”.

§2.國敬

1.函數的三要素：定義域，值域，對應法則.

2.函數的單調區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的一部分.對于具體的函數來說可能有單調區(qū)間，

也可能沒有單調區(qū)間，如果函數在區(qū)間(0,1)上為減函數，在區(qū)間(1,2)上為減函數，就不能說函數

在9,1)口(1,2)上為減函數.

3.反函數定義：只有滿足，函數y=/(x)才有反函數.例：y=x2無反函數.

唯■

函數y=/(X)的反函數記為X=/T(y),習慣上記為y=fTa).在同一坐標系，函數y=/(x)與它的

反函數y=f~'(x)的圖象關于y=x對稱.

［注］：一般地，廣|儀+3)不是￡仁+3)的反函數.y=fT(x+3)的反函數是y=/(x)—3；而

f(x+3)的反函數是y=r'(x)-3.

4.⑴單調函數必有反函數，但并非反函數存在時一定是單調的.因此，所有偶函數不存在反函數.

⑵如果一個函數有反函數且為奇函數，那么它的反函數也為奇函數.

⑶設函數y=/(x)定義域，值域分別為X、Y.如果y=/(x)在X上是增(減)函數，那么反函數y=p\x)

在Y上一定是增(減)函數，即互為反函數的兩個函數增減性相同.

⑷一般地，如果函數y=/(x)有反函數，且/(a)=b，那么r\b)=a.這就是說點(”,匕)在函數)，=/(x)

圖象上，那么點(b,a)在函數y=--(x)的圖象上.

5.指數函數：y=ax(?>0,<3^1),定義域R,值域為(0,0).

⑴①當心1,指數函數：y=。'在定義域上為增函數；

②當OVaVl,指數函數：y=/在定義域上為減函數.

⑵當”>1時，y=a'的。值越大，越靠近y軸；當OVaVl時，則相反.

6.對數函數：如果。(?>0,?^1)的/，次嘉等于N,就是J=N,數/'就叫做以。為底的N的對數，記

作log〃N=。(a>O,a#l，負數和零沒有對數)；其中。叫底數，N叫真數.

⑴對數運算：

log?(A1-N)=logaM+log?N">

log”弋=log“M-log?N

log“=〃log“(土M產

log?A/A7=—log“M

n

川=N

換底公式：log4N=10即川

log〃a

推論：log.b?\oghc?logt.a=1

=>l°gq02.log"?"3…?l°g““1an=l°gya〃

(以上M>0,N>0,a>0,a*l,b>O,bwl,c>0,cw1外,@2??4>0且w1)

注⑴：當a.b<0時，log(?-b)=log(-a)+log(-Z?).

⑵：當MX)時，取“+”，當〃是偶數時且MVO時，AT>0,而MV0,故取“一”.

例如：10g〃x2w210gaXT(2k)g〃X中X>0而log,/2中X6R).

⑵y=/(Q>O,QW1)與y=log〃x互為反函數.

當。>1時，y=log〃x的。值越大，越靠近了軸；當OVaVl時，則相反.

7.奇函數，偶函數：

⑴偶函數：/(-x)=/(x)；設(”,〃)為偶函數上一點，則(-4,6)也是圖象上一點.

偶函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于)，軸對稱，例如：丫=》2+1在［1,_1)上不是偶函數.

②滿足/(-x)=/(X),或y(T)-/(x)=o,若〃x)xo時，今4=1.

./(-X)

⑵奇函數：/(-X)=-/(x);設(“,萬)為奇函數上一點，則也是圖象上一點.

奇函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于原點對稱，例如：丫=》3在",-1)上不是奇函數.

②滿足/(-x)=-/(x)，或/(-x)+/(x)=0,若/(x)xO時，鏟二=-L

/(-X)

8.對稱變換：①y=/(x)-yW->y=fC-x)；?y=fCx)>y=-f(x)

原點對稱

@y=f(x)?y=二/'J)

9.判斷函數單調性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如:

/5)一/*2)=^

再進行討論.'

10.⑴熟悉常用函數圖象：

y=]2x2+2x-\\(|y|關于x軸對稱.)

⑵熟悉分式圖象：

例：y=n+l=2+7=>定義域{x|xw3,xeR},

x-3x-3

值域｛)，|丁=2,丁￡用一值域是工,V前的系數之比.

§3.數列

i.⑴等差、等比數列:

等差數列等比數列

定義a-a=d

n+in9=式#0)

an

遞推公式a,,=an_1+d；a,,=a,?_n+md

aaC

%=%-均；n=l?l"""'

an=a1+(〃-l)d

通項公式an=。闖"T(生,4工0)

A_A(G=±yla_a(a,,_a”0)

12nkn+kkn+k

中項

(七攵cN*,”攵A0)(",Z￡N,〃AZA0)

na]①=1)

=5(4+〃”)

前〃項和sL

n(n-\)

Sni+

n=>\?d

Ci+d=a+a0%,n,p,qeN",

mnpqa-a?=a?%(“〃，〃，qeN+,m+n=〃+q)

重要性質mp

tn+n=p+q)

⑵看數列是不是等差數列有以下四種方法：

①即一22,d為常數）；?2a?=an+\+a,,_\（n>2）：③a”=%〃+）（〃,左為常數）；

2

?Sn=An+Bn（A、B為常數）

⑶看數列是不是等比數列有以下五種方法：

①a”=an_｛q（n>2,q為常數,且工0）

②an=an+l-an-\（n>2,即?！?]?！盻]#0嚴

注①：i.b=而，是"、b、C成等比的既不充分又不必要條件，即〃=而=0b、C等比數列；

ii.b=-Jac（ac>0）-為a、b、c等比數列的充分不必要條件；iii.b=+y[ac-*-^3a-,b、c等比數列

的必要不充分條件；iv.》=±而且acX）~為a、b、c等比數列的充要條件.

注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac>0,則等比中項一定有兩個.

③a“=""（Gq為非零常數”④正數列｛冊｝成等比的充要條件是數列｛log,a“｝（X>1）成等比數列.

⑤S“=Aq"+B(其中A+B=0)

=%(”=1)

⑷數列｛｝的前"項和S?與通項a?的關系:

(?>2)

［注］:①〃“=?1+(〃-11/=加/+(〃|-")(d可為零也可不為零一為等差數列充要條件(即常數列也是等

差數列)~若“不為0,則是等差數列充分條件).

②等差｛冊｝前n項和=9可以為零也可不為零一為等差的充要條

件一若d為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則也是等差數列的充分條件.

③非等常數列既可為等比數列，也可為等差數列.(不是非零，即不可能有等比數列)

2.①等差數列依次每上項的和仍成等差數列，其公差為原公差的改倍，即見,52k-5*,53*-52卜“；

②若等差數列的項數為2n(/ieN+),則S偶-5奇=9=區(qū)；

S偶七+|

③若等差數列的項數為2n-1(〃e『)，則S2"-I=(2"T瓦，且S奇-S偶=冊，生=/_

S偶“T

=>彳至吃〃一1得到所求項數.

3.常用公式：①1+2+3…+“=3；②12+22+32+...“2=也刊色刊

26

③戶+23+33…”3/也刊］

2

［注］:熟悉常用通項：9,99,999,…=冊=10"-1；5,55,555,...=>??=1(1OM-1).

4.等比數列的前"項和公式的常見應用題：

⑴生產部門中有增長率的總產量問題.例如，第一年產量為4,年增長率為『，則每年的產量成等比數列,

公比為1+r.其中第〃年產量為a(l+r)”T,且過〃年后總產量為:

a+a(l+r)+?(1+r)2+...+?(l+r)/l-1=―(1十，)L

l-(l+r)

⑵銀行部門中按復利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存”元，利息為r,每月利息按復利計算，則

每月的〃元過"個月后便成為“(1+r)”元.因此，第二年年初可取款：

12

“(1+r嚴+“(1+「嚴+4+?。+…+“(1+「)="(1+，.)［—.

l-(l+r)

⑶分期付款應用題：“為分期付款方式貸款為“元；，"為，”個月將款全部付清；r為年利率.

a(l+r)m=x(l+r)“"+Hl+r\"~2+…A(1+r)+x=>a(l+/)m=迎+，)------=>x=:"—

r(l+r)m-1

5.數列常見的幾種形式：

⑴“，尸Pa“l(fā)+r(P,r為常數)f用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；

①轉化等差，等比：an+x+x=P(an+x)=>an+x=Pan+Px-x=>x=---.

n1

②選代法：an=Pcin_1+r=P(Pan_2+r)+r=…na〃=(a]+-r---r—=(a]+x)P~-x

r—\i-1

2

=P"~'al+P"~-r+---+Pr+r.

6.幾種常見的數列的思想方法：

⑴等差數列的前〃項和為S,,,在dVO時，有最大值.如何確定使S”取最大值時的"值，有兩種方法:

一是求使％?0,4用VO,成立的〃值；二是由S,,利用二次函數的性質求〃的值.

⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前〃項和可依照等比數列前

”項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：l--,3-,...(2n-l)—

242"

⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，

公差是兩個數列公差4,42的最小公倍數.

§4.三角函數

i.三角函數的公式:

(-)基本關系

公式組一公式組二公式組三

sinx.2,2i

sinx?cscx=ltanx=----sinx+cosx=lsin(2A:;r+x)=sinxsin(-x)=-sinx

cosx

COS(2ATT+X)=COSXcos(-x)=cosx

COSX.22

cosx-secx=lcotx=----1+tanx=secxtan(2A;r+x)=tanxtan(-x)=-tanx

sinx

22cot(2Qr+x)=cotxcot(-x)=-cotx

taar-cotr=ll+cotx=csc.r

公式組四公式組五公式組六

sin("+x)=-sinxsin(24一元)=-sin]sin(萬-x)=sinx

cos(4+x)=-cosXcos(2乃一x)=cosxcos(4-x)=—cosX

tan(^+x)=tanxtan(2^-x)=-tanxtan(^-x)=-tanx

cot(4+x)=cotxcot(2乃-x)=-cotxcot(1一x)=-cotX

(-)角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(a+yff)=cosacos-sinasin(3sin2rz=2sinacosa

cos(a_0)=cosacos/?+sinasin(3cos2a-cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

2tana

sin(a+￡)=sinacos(3+cosasin°tan2a=

1-tana

sin(a—/)=sinacosp-cosasin0

,c、tana+tanB,小tana-tanB

tan(a+/?)=--------------tan@一。)=--------------

1-tanatan/?1+tanatan/7

公式組三J、.

cos(-?-a)=sinatan(g乃-a)=cotacosg;r+a)=-sina

,A、

sin(—=cosatan(g1+。)=-cota4+a)=cosa

76-V2.reIV。V64-V2

sin15=cos75=>sin75=cos15=--t-a-n-1-5-°-=cot750=2-V3,tan750=cot150=2+V3.

44

5.正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質（略一一自己看書）:

注意：①y=-sinx與y=sinx的單調性正好相反；y=-cosx與y=cosx的單調性也同樣相反.一般地,

若y=/（x）在3,加上遞增（減，則y=-/。）在加上遞減（增）.

②產附目與y=|cosx|的周期是笈.

③y=sin（勿r+e）或y=cos（〃^r+夕）（3工0）的周期7=M.

x

V=tan—的周期為24（7二二二7=2乃，如圖，翻折無效）.

2i?r1

=sinx的對稱軸方程是》=&乃+彳（AeZ）,對稱中心（左乃,0）；y=cosx的對稱軸方程是

k冗

x=kjr（keZ）,對稱中心（〃乃+_!_乃0）；y=tanx的對稱中心（—,0）.

2'2

y-cos2x—原點對稱>y=-cos（-2x）=-cos2x

⑤當tana?tan/=1,a+4=k萬+彳（欠￡Z）；tana?tan尸=-1,a-/?=&乃+,（左￡Z）.

⑥尸8$*與卜=sin（x+工+2%乃］是同一函數.

⑦函數y=tanx在H上為增函數.（x）［只能在某個單調區(qū)間單調遞增.若在整個定義域，y=tanx

為增函數，同樣也是錯誤的］.

⑧定義域關于原點對稱是/（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點

對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：/（-x）=/（x）.奇函數：/（-%）=-/（%））

奇偶性的單調性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函數，y=tan（x+；;r）是非奇非偶.（定義域不關于

原點對稱）

奇函數特有性質：若（）ex的定義域，則/（x）一定有y（o）=o.（Ocx的定義域，則無此性質）

◎y=sinW不是周期函數；丫=卜山乂為周期函數（7=乃）；

y=co^是周期函數（如圖）；y=|cosX為周期函數（7=乃）；'/

留興

v=cos2x+，的周期為"（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：

2

y=f（x）=5=f（x+k）,kGR.

⑩y=acosa+bsin/3=dci?由sin（a+/）+cos0=—有僅|y］a2-\-b2,

§5.平面向量

i.長度相等且方向相同的兩個向量是相等的量.

注意：①若?；閱挝幌蛄?，則,=譏（X）單位向量只表示向量的模為1,并未指明向

量的方向；②若3=5,則（V）

2.①4（㈤=如?②（4+康=耘+癡③加+回=法+笈

④設a=（x”y］）8=（X2，y2）UwRa+b=（xt+x2,yi+y2）a-b=［x^-x2,yx-y2）

布=（&1，為2）a-b=X\X2+y\S2同=Jx；+y；（向量的模，針對向量坐標求模）

⑤平面向量的數量積：33=|4|小。$夕?a-b=ba⑦（位）4=%（6/）=5?（4）

?［a+b］-c=a-c+b-c

注意:①（萬』）二=/跖二）不一定成立;ah=b-c^a=c.

②向量無大?。ā按笥凇薄ⅰ靶∮凇睂ο蛄繜o意義），向量的模有大小.

③長度為。的向量叫零向量，記6,6與任意向量平行，6的方向是任意的，零向量與零向

量相等，且-6=6.

④若有一個三角形48C,則府+就+蘇=0；此結論可推廣到〃邊形.

⑤若麻=/疝（m,neR）,則有〃z=〃.（x）當7等于。時，ma=na=09而/〃，〃不一定相

等.

@a-a=|a|2,|,|=序（針對向量非坐標求模），切-|5|.

⑦當5x6時，由53=0不能推出5x6,這是因為任一與2垂直的非零向量B,都有小3=0.

⑧若b//c,則（X）當g等于。時，不成立.

3.①向量分與非等向量。共線的充要條件是有且只有一個實數2,使得在=法（平行向量或

共線向量）.

當/1>0,￡與3共線同向：當/ivo,7與3共線反向；當彳=0時，則B為6,6與任何向量共

線.注意：若共線，則口=2慟（X）

若，是n的投影，夾角為。，貝（Jcos6-a=c（X）,cos^-a=|c|（J）

②設?=（xj,y］）,b=（冗2,乃）

a//b<=>X）y2—々y=0=a=Ab<=>4?加=±忖?

a.Lbxxx2+%%=0

③設4可，為）夙如乃），。（巧，乃），貝DA、B、C三點共線=府〃就o府士就（4w0）

=（工2一西，、2-〉】）=4（一工1，,3一兇）（丸00）

x

=（X2-X］）?（乃一%）=（%~］）*（,271）

④兩個向量d、B的夾角公式：取2+.；X

&+y；?收+￡

⑤線段的定比分點公式：（2*0和-1）

設PlP=九而2（或好=—明），且PI,P,乃的坐標分別是（花，1）,（羽?。?（蒞,y2），則

M+為

推廣：當2=1時，得線段公尸2的中點公式:2

占+也

三角形重心坐標公式：△ABC的頂點43,力）,夙叼,丫21c（》3，乃），重心坐標G（x,y）：

注意：在aABC中，若O為重心，則蘇+歷+歷=6,這是充要條件.

⑥平移公式：若點尸（x,y）按向量4=值切平移到P'（x,y）,則卜=x+〃

［爐=y+2

若函數y=/（x）的圖象按向量4=優(yōu),外平移，則平移后的解析式為：六后/u-m

4.⑴正弦定理:設△ABC的三邊為a、b、c,所對的角為A、3、C,則一日一=—匕=—匚=2R.

sinAsinBsinC

-2/?ccosA

⑵余弦定理:a-+c-laccosB

b2+a-2abcosC

⑶三角形面積計算公式：

設△ABC的三邊為a,b,c,其高分別為自，hh,hc,半周長為P,外接圓、內切圓的半徑

為R,r.①SA=—ah1i=—bhb=—ch?②SEr@S^=abc/4R

222

sinC=—ac,sinB=—he,sinA

［注］:到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心.

圖1中的/為SA.BC的內心，S^=Pr

圖2中的/為Sase的一個旁心，SA

=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五個“心”：

重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點（即三角形外接圓圓心）.

內心：三角形三內角的平分線相交于一點（即三角形內切圓圓心）.

垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.

⑸在^ABC中，有下列等式成立tanA+tan8+tanC=tanAtan8tanC

mi、1tanA+tanB-公、2

證明：因為=tan（A+B）=tan（^--C），所以-----------=-tanC,.,?結論!

1-tanAtanB

⑺AABC的判定：

c2=/+〃。△ABC為直角△oNA+ZB=￡

2

/為鈍角△QNA+ZB<-

2

/>“2+02=△4笈。為銳角△=NA+ZB>-

2

附：證明：8。年L得在鈍角△"此中'8SC＜°="“?2＜。,=〃2$＜，2

⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.B+耳2=2（,2+|甲）

§6.不等式

1.⑴平方平均2算術平均2幾何平均2調和平均（。、力為正數）:

工a+b必I~-口2（當a=8時取等）

特別地，〃一學生學（當會時，（等產粵

\a^a2+a3\<\a]+\a2\+\a3\

⑵絕對值不等式:

\a\—\b\<|?-Z?|<\a\+\b\(ab>Ofl^*,取等)

⑶常用不等式的放縮法：①1一一匚=一!—<-L<-1—=」一一1(?>2)

nn+\〃(〃+1)n~〃(九一1)n—\n

②J7+1-G=—j=-1/------V—^=<—3=~.-----=y/n-y/n-l(n>1)

yjn+v^+l2〃yjn+\!n-\

2.常用不等式的解法舉例（x為正數）：

①|》+L=|》|+4|。與‘同號，故取等）22

XXX

§7.直線和圓的方程

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與X軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與

二軸平行或重合時，其傾斜角為0,故直線傾斜角的范圍是0WaV180°（04aV%）.

注：①當a=90°或.叼=與時，直線/垂直于X軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與X軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率,

并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.

2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜截式、一般式。

特別地，當直線經過兩點3,0）,（0/），即直線在X軸，y軸上的截距分別為“，仇“二0,〃片0）時，直線方

程是：-+^=1.

ab

注：若y=-（2x-2是一直線的方程，則這條直線的方程是y=-（2x-2,但若y=-：2x-2（xN0）則不

是這條線的方程.

附：直線系：對于直線的斜截式方程），=丘+力，當左,。均為確定的數值時，它表示一條確定的直線，如

果變化時，對應的直線也會變化.①當。為定植，《變化時，它們表示過定點（0,b）的直線束.②當

々為定值，人變化時，它們表示一組平行直線.

3.⑴兩條直線平行：

/,///20加=&2兩條直線平行的條件是：①。和a是兩條不重合的直線.②在乙和％的斜率都存在的前

提下得到的.因此，應特別注意，漏掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結論的錯誤.

（一般的結論是：對于兩條直線/|』2,它們在.V軸上的縱截距是打力2,則/1〃％o加=42,且仇於%或

a的斜率均不存在，即A|82=BM2是平行的必要不充分條件，且C|XC2）

推論：如果兩條直線/”，2的傾斜角為則/1〃/2<=>Qrl=ar2-

⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設兩條直線分別為。和右，則有/|山20加&2=-1（這里的前提是L，右的斜

率都存在.）或k1=0,且%的斜率不存在或％2=0,且。的斜率不存在；②/20

A182+4,8]=0o

4.直線的交角：

⑴直線。到a的角（方向角）；直線。到G的角，是指直線。繞交點依逆時針方向旋轉到與%重合時所

轉動的角。，它的范圍是（0,乃），當，才90°時tan。=￡^-.

1+和42

⑵兩條相交直線。與右的夾角：兩條相交直線。與％的夾角，是指由。與％相交所成的四個角中最小的

正角。，又稱為。和乙所成的角，它的取值范圍是[o.]

,當8x90°,則有tan。=

1+k[k

/]：A]X+8]y+G=0

5.過兩直線的交點的直線系方程A}x+Bxy+Cx+^A2x+B2y+C2）=（K^為參

+。2=0

數，42》+82>,+。2=0不包括在內）

6.點到直線的距離：

⑴點到直線的距離公式：設點P（XoJo），直線/:Ar+8y+C=0,尸到/的距離為d，則有

,|^-0+By0+C|

a=--/—.

>JA2+B2

⑵兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線。：Ar+By+G=0,/2：4+為+。2=。（。產。2），它們之

|C,-C2I

間的距離為“，則有d

ylA2+B2

7.關于點對稱和關于某直線對稱：

⑴關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

⑵關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.

⑶點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上(方程①)，過兩對稱點的直線方

程與對稱直線方程垂直(方程②)①②可解得所求對稱點.

*注：①曲線、直線關于一直線(y=±X+b)對稱的解法:換x,x換y.例：曲線犬x?)=0關于直線y=x-2

對稱曲線方程是f(y+2X-2)=0.

②曲線C:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線方程是人a-x,2b-j)=0.

二、圓的方程.

1.⑴曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程,(x,y)=O的實數解建立了如

下關系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形).

⑵曲線和方程的關系，實質上是曲線上任一點M(x,y)其坐標與方程/(x,y)=O的一種關系，曲線上任一

點(x,y)是方程/(x,y)=0的解；反過來，滿足方程7(x,y)=O的解所對應的點是曲線上的點.

注：如果曲線C的方程是八xj)=0,那么點尸。(沖，聲)在曲線C上的充要條件是八尸0。

2.圓的標準方程：以點C(“/)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是(x-a)2+(y-份2=戶.

特例：圓心在坐標原點，半徑為，?的圓的方程是：x2+y2=r2.

*注：特殊圓的方程：①與i軸相切的圓方程(x-4)2+(y±b)2=/|廠=跳圓心m,力或(〃,_份|

②與V軸相切的圓方程(x±a)2+(y-b)2=a2[r=時，圓心(a,b)或(-a,如

③與1軸.v軸都相切的圓方程(x±a)2+(y±a)2=a2"=同,圓心(±。,士a)]

3.圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

當爐+爐一尸〉。時，方程表示一個圓，其中圓心中小々，半徑,=近手主.

當。2+E2-4尸=0時，方程表示一個點(一^,~|)；當。2+￡；2-/〈0時，方程無圖形.

Y=Z7_1_??CCS(7

一,.、(。為參數).

{y=b+rsmd

②方程獨2+8肛+02+6+小，+尸=0表示圓的充要條件是；8=0且A=C*O且。?+后2-4尸X).

③已知圓的直徑的方程：已知A(X|,y|)B(X2，y2)n(x-X|)(x-X2)+()'-yi)G'-y2)=0(用向量可證).

4.點和圓的位置關系：給定點〃“。，如)及圓C：(x-a)2+(y-?2=戶.

①M在圓C內0(X()-4)2+(打一份2<72；②加在圓C上=(勺-。)2+(凡-與2=戶

③M在圓C外o(x()—a)-+(y()—份~>廠

5.直線和圓的位置關系：

設圓圓C：{x-d)2+{y-b)2=r2(r>0)；直線/：Ax+By+C=0(A2+B2^0)；

\Aa+Bb+C\

圓心C(a,b)到直線/的距離d=??.

U2+B2

①"：「時，/與c相切；附：若兩圓相切，貝[X+}'+QX+E|}+3=°n相減為公切線方程.

%~+)廠+。2%+52丁+尸2=0

②dVr時,/與C相交；附：公共弦方程:設G：x2+y，"+E1y+F|=°

22

C2:x+y+D2x+E2y+F2=0

有兩個交點，則其公共弦方程為(3-Z)2)x+(E1-E2)y+(Fi-F2)=0.(將兩圓方程相減即得)

③時，/與C相離.

附：若兩圓相離，貝(J卜+)'+""+々)'+吊=°=>相減為圓心Oj。，的連線的中垂線方程.

1,,21Fi1Z7,,i17-A

r+y+￡>2v]+七2》+b2=0

由代數特征判斷：方程組S-")-+(y-?-=廠用代入法，得關于x(或y)的一元二次方程，其判

Ax+Bx+C=0

別式為A,貝ij：AnOo/與C相切；A>0o/與C相交；AVOo/與C相離.

22

注：若兩圓為同心圓則x，y2+Qx+E|y+F]=0,x+y+D2x+E2y+F2=0^,不表示直線.

6.圓的切線方程：圓/+尸=戶的斜率為我的切線方程是、,=依土石市廠過圓x2+y2+Dx+Ey+F=()

上一點P(x0,y0)的切線方程為：xox+yoy+D^^-+E^p-+F=0.

①一般方程若點(X。，yo)在圓上，則(x-a)(xo-?)+(y-b)(yo-b)=R2.特別地，過圓x'+yJ/上一點

2

P(x0,j0)的切線方程為xox+yoy=r.

>7o=%(XTo)

②若點(xo,yo)不在圓上，圓心為(a/)則,|履一,先求出k=>切線方程.

VP+I

7.求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知OO的

方程.M+y2+Qx+Ey+尸=0…①又以ABCD為圓的方程為(x—Xa)(x—a)+(y-y*)(x-b)=O…②

方程①與方程②相減即得切點弦BC的方程。

§8.圓錐曲線

一、橢圓方程.

1.橢圓方程的第一定義：

|PFi|+|PF2|=2a>|FH|方程為橢圓,

北仆+丑尸2|=2a<|F1/|無軌跡,

忸山+忸/2|=2。=|尸』2|以匕，/2為端點的線段

(1XD橢圓的標準方程：

i.中心在原點,焦點在x軸上：片+二=1(〃>匕>0).ii.中心在原點,焦點在.V軸上:E+￡=i(a>K>o).

r22

②一般方程：加2+8),2=I(A>0,8>0).③橢圓的標準參數方程：三十二=1的參數方程為

ab

x=acos3jr

(一象限。應是屬于0<6<一).

y=Z?sin。2

(2XD頂點：(±a,())(O,±A)或(O,±a)(±ft,O).②軸：對稱軸：x軸，)?軸；長軸長2。，短軸長給.③焦點：

---------22

(-c,0)(c,0)或(O,-c)(O,c).④焦距：|尸|尸2|=2C，C=J“2-62.⑤準線：*=±?或、=士?.⑥離心率:

e=-(0<e<l).

a

⑦焦半徑：

L設尸(與，必))為橢圓二+鼻=1(。>匕>0)上的一點，尸卜尸)為左、右焦點，則歸尸卜^十外/巴引二〃一"o=>

a"b

由橢圓方程的第二定義可以推出.

Yy

ii.設伐林打)為橢圓尸+27=1(。>/?>0)上的一點，為上、下焦點，則歸/=。+緲0，歸尸2|=。-吼=

由橢圓方程的第二定義可以推出.

22

略證：由橢圓第二定義可知：加尸J=e(x0+—)=6/+^xo(xo<O),|pF2|=e(—-x0)=exo-tz(xo>O)

歸結起來為“左加右減

注意：橢圓參數方程的推導：得N(acos，,bsin6)一方程的軌跡為橢圓.

,2b工

⑧通徑：垂直于X軸且過焦點的弦叫做通徑，橢圓的通徑長為：d=——

a

⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓一f1=1(。>方>0)的離心率是e=￡(。=,方程

a~ba

戈2v2c

二+==/(/是大于0的參數，。>6>0)的離心率也是e=￡我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.

a2b2a

y20