第九章熱平衡統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律研究對象：大量粒子組成的體系子系近獨(dú)立：粒子相互作用能<<粒子自身能量粒子間微弱相互作用能使其在足夠長時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)平衡例：理想氣體本章重點(diǎn)：三個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律：麥克斯韋分子速率分布玻爾茲曼粒子按勢能分布能均分定律兩個(gè)基本概念：p,T1第一節(jié)統(tǒng)計(jì)方法的基本概念一、統(tǒng)計(jì)規(guī)律大量偶然事件整體所遵從的規(guī)律不能預(yù)測多次重復(fù)擲骰子拋硬幣伽爾頓板實(shí)驗(yàn)例：要點(diǎn)：

統(tǒng)計(jì)規(guī)律概率分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)平均值漲落2伽爾頓板實(shí)驗(yàn)每個(gè)小球落入哪個(gè)槽是偶然的少量小球按狹槽分布有明顯偶然性大量小球按狹槽分布呈現(xiàn)規(guī)律性擲骰子每擲一次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是偶然的擲少數(shù)次，點(diǎn)數(shù)分布有明顯偶然性擲大量次數(shù)，每點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù)約1/6，呈現(xiàn)規(guī)律拋硬幣每拋一次出現(xiàn)正反面是偶然的拋少數(shù)次，正反數(shù)分布有明顯偶然性拋大量次數(shù)，正反數(shù)約各1/2，呈現(xiàn)規(guī)律性3共同特點(diǎn)：1)群體規(guī)律：只能通過大量偶然事件總體顯示出來，對少數(shù)事件不適用。2)量變—質(zhì)變：整體特征占主導(dǎo)地位3)與宏觀條件相關(guān):如：伽爾頓板中釘?shù)姆植肌?)伴有漲落。4二、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)形式

——概率理論(1)定義：總觀測次數(shù)N出現(xiàn)結(jié)果A次數(shù)

A出現(xiàn)的概率(2)意義：描述事物出現(xiàn)可能性的大小兩類物理定律第一類：約束不可能事件第二類：約束可能性小事件違反能量守恒定律的事件不可能發(fā)生不違反能量守恒定律的事件并不都能發(fā)生例：一壺水在火上會沸騰？會結(jié)冰？5(3)

性質(zhì)1)疊加定理不可能同時(shí)出現(xiàn)的事件——互斥事件出現(xiàn)幾個(gè)互斥事件的總概率等于每個(gè)事件單獨(dú)出現(xiàn)的概率之和出現(xiàn)所有可能的互斥事件的總概率為1歸一化條件：出現(xiàn)例：擲骰子出現(xiàn)1—6：W=162)乘法定理同時(shí)發(fā)生兩個(gè)相容獨(dú)立事件的概率是兩個(gè)事件單獨(dú)發(fā)生時(shí)的概率之積相容統(tǒng)計(jì)獨(dú)立事件：彼此獨(dú)立，可以同時(shí)發(fā)生的事件例：同時(shí)擲兩枚骰子其一出現(xiàn)2：另一出現(xiàn)3：同時(shí)發(fā)生7三、幾個(gè)基本概念1.分布函數(shù)粒子出現(xiàn)在第i

槽內(nèi)的概率為：例：伽爾頓板實(shí)驗(yàn)槽:1,2,3,......粒子數(shù):N1,N2,N3

......1,2,3,4,...該槽內(nèi)小球數(shù)小球總數(shù)(大量)小球在x附近，單位寬度區(qū)間出現(xiàn)的概率概率密度8概率密度是x

的函數(shù)——分布函數(shù)一般情況：分布曲線f(x)Ox曲線下總面積曲線下窄條面積9類比：黑體輻射能量按波長分布（將學(xué)）麥克斯韋分子運(yùn)動速率分布（將學(xué)）……人口數(shù)量按年齡分布考試人數(shù)按分?jǐn)?shù)分布大氣中塵埃按直徑分布星系中恒星按大小分布樹上蘋果按大小分布河床中卵石按尺度分布雹粒按尺度分布顆粒度問題f(x)Ox102.統(tǒng)計(jì)平均值分?jǐn)?shù)平均值分?jǐn)?shù)g出現(xiàn)的概率總?cè)藬?shù)人數(shù)按分?jǐn)?shù)的分布Ng例：圖示100人參加測試的成績分布（滿分50）分?jǐn)?shù)平方平均值11一般情況測量值：出現(xiàn)次數(shù)：總次數(shù)：出現(xiàn)概率：統(tǒng)計(jì)平均值：同理：123.漲落實(shí)際出現(xiàn)的情況與統(tǒng)計(jì)平均值的偏差例伽爾頓板：某槽中小球數(shù)各次不完全相同，在平均值附近起伏。擲骰子：出現(xiàn)4，概率1/6，每擲600次，統(tǒng)計(jì)平均實(shí)際:13定量描述：誤差理論前沿研究：控制論、（噪聲、靈敏度…）非線性、非平衡態(tài)熱力學(xué)（耗散結(jié)構(gòu)）例：均方漲落(標(biāo)準(zhǔn)誤差)144.微觀量和宏觀量對多粒子體系的兩種描述：關(guān)系：宏觀量是大量粒子運(yùn)動的集體表現(xiàn)，是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。以系統(tǒng)整體為研究對象，表征整體特征的物理量。如：宏觀量：微觀量：以系統(tǒng)內(nèi)各子系為研究對象，表征個(gè)別子系特征的物理量。如：15物質(zhì)由分子組成，分子做無規(guī)則的熱運(yùn)動：第二節(jié)理想氣體的壓強(qiáng)和溫度一、氣體分子動理論①實(shí)體物質(zhì)由大量的、不連續(xù)的微?！肿咏M成

分子間相互作用rFOr0斥力引力合力16③分子永不停息地作熱運(yùn)動，其劇烈程度表現(xiàn)為溫度微觀模型：嚴(yán)格遵守三條實(shí)驗(yàn)定律質(zhì)點(diǎn)：不計(jì)大小不計(jì)重量分子分子器壁除相撞外無相互作用自由質(zhì)點(diǎn)：理想氣體分子彈性質(zhì)點(diǎn)：彈性碰撞分子器壁分子分子二、理想氣體微觀模型與統(tǒng)計(jì)假設(shè)1.模型微觀模型：無規(guī)運(yùn)動的彈性質(zhì)點(diǎn)的集合172.統(tǒng)計(jì)性假設(shè)（平衡態(tài)下）(1)分子處于容器內(nèi)任一位置處的概率相同(均勻分布)分子數(shù)密度(2)

分子沿各方向運(yùn)動的概率相同

任一時(shí)刻向各方向運(yùn)動的分子數(shù)相同

分子速率在各個(gè)方向分量的各種平均值相同1819三、理想氣體的壓強(qiáng)公式①提出模型；②統(tǒng)計(jì)平均；③建立宏觀量與微觀量的聯(lián)系；④

闡明宏觀量的微觀實(shí)質(zhì)。從公式推導(dǎo)中領(lǐng)會經(jīng)典氣體分子動理論的典型思想方法:出發(fā)點(diǎn):

氣體壓強(qiáng)是大量分子不斷碰撞容器壁的結(jié)果

壓強(qiáng)等于器壁單位時(shí)間內(nèi)，單位面積上所受的平均沖量

個(gè)別分子服從經(jīng)典力學(xué)定律

大量分子整體服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律20

(1)利用理想氣體分子微觀模型，考慮一個(gè)分子對器壁的一次碰撞而產(chǎn)生的沖量。推導(dǎo)思路：設(shè)分子質(zhì)量為m，一個(gè)分子一次碰撞對dS

的沖量的大小為彈性碰撞：21的分子數(shù)密度該速度區(qū)間所有分子在dt

時(shí)間內(nèi)給予器壁

dS

的總沖量為該速度區(qū)間，在dt時(shí)間內(nèi)，與器壁相撞的分子數(shù)為(2)

該速度區(qū)間所有分子在dt時(shí)間內(nèi)給予器壁的總沖量22為分子平均平動動能式中理想氣體壓強(qiáng)公式23討論：

1)計(jì)入分子間相互碰撞，是否影響上述推導(dǎo)和結(jié)論？

2)如果容器中不是同種分子，結(jié)果如何？

3)以上推導(dǎo)中的哪些地方應(yīng)用了理想氣體模型？哪些地方應(yīng)用了統(tǒng)計(jì)性假設(shè)？提示：1)同種理想氣體分子——完全相同的彈性小球非對心碰撞：導(dǎo)致對dS相撞次數(shù)增加、減少機(jī)會相同，對心碰撞：甲代乙，乙代甲考慮分子間碰撞不會影響結(jié)果。2)道爾頓分壓定律總壓強(qiáng)等于各種氣體單獨(dú)充滿容器時(shí)壓強(qiáng)之和24(3)闡述宏觀量的微觀實(shí)質(zhì)

壓強(qiáng)是單位時(shí)間內(nèi)所有氣體分子施于單位面積容器壁的平均沖量。

壓強(qiáng)公式是一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律,離開“大量”、“平均”，

p失去意義，少數(shù)分子不能產(chǎn)生穩(wěn)定，持續(xù)的壓強(qiáng)。觀測時(shí)間足夠長（宏觀小，微觀大）dS

足夠大（宏觀小，微觀大）分子數(shù)足夠多

壓強(qiáng)公式反映了宏觀量p與微觀量統(tǒng)計(jì)平均值的相互關(guān)系。宏觀量是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值25四、理想氣體溫度公式理想氣體狀態(tài)方程玻爾茲曼常數(shù)26

理想氣體溫度T

是分子平均平動動能的量度，是分子熱運(yùn)動劇烈程度的標(biāo)志。

溫度是大量分子熱運(yùn)動的集體表現(xiàn)，是統(tǒng)計(jì)性概念，對個(gè)別分子無溫度可言。

熱力學(xué)認(rèn)為絕對零度只能逼近，不能達(dá)到。27練習(xí)：

1.半徑R的球形容器內(nèi)儲有某種理想氣體，每個(gè)分子質(zhì)量為m，平衡時(shí)分子數(shù)密度為n，推導(dǎo)壓強(qiáng)公式。

一個(gè)分子一次碰撞給器壁的沖量；

該分子連續(xù)兩次碰撞器壁的時(shí)間間隔；

單位時(shí)間內(nèi)該分子與器壁相撞次數(shù)；

單位時(shí)間內(nèi)該分子對器壁的沖量；

單位時(shí)間內(nèi)所有分子對器壁沖量；

單位時(shí)間內(nèi)、單位面積器壁所受平均沖量p=？mR28

mR29一、近獨(dú)立子系微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述子系：體系內(nèi)的粒子經(jīng)典描述量子描述近獨(dú)立：不計(jì)入相互作用勢能但粒子間微弱相互作用可以使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平衡1.基本概念(1)自由度確定一個(gè)物體的空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。第三節(jié)系統(tǒng)微觀狀態(tài)的描述30分子模型的改進(jìn)推導(dǎo)壓強(qiáng)公式：理想氣體分子——質(zhì)點(diǎn)討論能量問題：考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)——質(zhì)點(diǎn)組分子熱運(yùn)動平動轉(zhuǎn)動分子內(nèi)原子間振動總自由度數(shù)=平動自由度+轉(zhuǎn)動自由度+振動自由度31A)質(zhì)點(diǎn)：只有平動，最多三個(gè)自由度運(yùn)動受限制時(shí)自由度減少例.飛機(jī)r=3，輪船r=2，火車r=1B)剛體決定質(zhì)心位置r=3過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸方位剛體相對于軸的方位t=3最多6個(gè)自由度:i=r+t=6定軸剛體:i=t=132C)氣體分子單原子分子—自由質(zhì)點(diǎn)i=r=3質(zhì)心位置r=3雙原子分子—輕彈簧聯(lián)系的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)xyzOCm2m133多原子分子(原子數(shù)n)最多可能自由度i=3n平動r=3轉(zhuǎn)動t=3振動s=3n-6剛性多原子分子r=3t=3s=0i=6(2)粒子的能量=

(位置，動量

)重力場中

=Ek+Ep34由于波粒二象性，需要用相格取代相點(diǎn)的描述。(3)相空間以坐標(biāo)變量的狀態(tài)參量描述系統(tǒng)的空間

——相空間(狀態(tài)空間)。pxxO平衡態(tài)——對應(yīng)相圖中的點(diǎn)平衡過程——對應(yīng)相圖中的線

II在誤差范圍內(nèi)近似認(rèn)為：同一相格里不同粒子的狀態(tài)相同——稱為狀態(tài)簡并。粒子總數(shù):N可能的能級:各能級中粒子數(shù):各能級中不同狀態(tài):35經(jīng)典粒子：用確定的描述其運(yùn)動狀態(tài)彼此可以區(qū)分量子粒子：用全同波函數(shù)描述其運(yùn)動狀態(tài)彼此不可以區(qū)分（例：勢阱中粒子）2.近獨(dú)立全同粒子系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述目標(biāo)：討論粒子按能量的概率分布約束條件粒子數(shù)守恒能量守恒即：N個(gè)粒子在

E

守恒條件下，如何分布在各能級、各狀態(tài)中？361)將N個(gè)可區(qū)分粒子分為能量組的可能方式彼此對應(yīng)總分組方式（相容統(tǒng)計(jì)獨(dú)立事件）37

2)每一能量組將Ni個(gè)可區(qū)分粒子放入gi個(gè)量子態(tài)中去的可能方式例.將2個(gè)可區(qū)分粒子放入3個(gè)不同狀態(tài)中去的可能方式38將2個(gè)可區(qū)分粒子放入3個(gè)不同狀態(tài)的可能方式：3)39二、玻爾茲曼熵公式1.定義維也納中央公園玻爾茲曼墓碑上沒有任何墓志銘，只刻著熵的定義式“寫下這些記號的難道是一位凡人嗎？”——《浮士德》（歌德）物理學(xué)中最重要的公式之一40原始人計(jì)數(shù)規(guī)則畢達(dá)哥拉斯勾股定理阿基米德杠桿原理納皮爾對數(shù)牛頓萬有引力麥克斯韋電磁波方程齊奧爾科夫斯基火箭飛行原理

愛因斯坦質(zhì)能公式德布羅意物質(zhì)波波長玻爾茲曼熵公式尼加拉瓜曾發(fā)行一套10枚特種郵票——改變地球面貌的十大公式：412.物理意