【高中數(shù)學(xué)競賽真題-強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題03三角函數(shù)真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）

一、單選題

1.（2021?北京?高三強基計劃）已知。為,的外心，與△08C的外接圓分

別交于點。，E.若DE=OA,則NOBC=（）

A.30°B.45°C.60°D.以上答案都不

對

2.（2020?北京?高三強基計劃）設(shè)等邊的邊長為1,過點C作以A3為直徑的圓的

切線交A8的延長線于點。，AD>BD,則△BCD的面積為（）

A6應(yīng)-36口4夜-3g

1616

C.3夜-2?D.前三個答案都不對

16

3.（2020?北京?高三強基計劃）函數(shù)

5/3+25/3cos0+cos20+\/5-2V3cos^+cos2^+4sin29的最大值為（）

A.夜+0B.20+為

C.忘+2百D.前三個答案都不對

4.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱┦沟谩╯inl>l+5cosl成立的最小正整數(shù)〃的值為（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱┰贏BC中，44=90。,43=1,4。=6.點尸滿足

PAPBPC,、

--------1---------1--------=0,則（)

|PA||P8|\PC\

A.ZAPC=120°B.ZAPB=120°

C.\PB\=2\PA\D.\PC\=2\PB\

sinoc

6-（2。2。?北京?高三?？紡娀媱潱┰O(shè)d夕為銳角，且cos（a+小得,則tana的最

大值為（）

A.也B.BC.1D.V2

43

〃2

7.(2020?北京?高三校考強基計劃)lim^arctan7T=()

3兀

D.

T

8.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱﹕inarctan1+arcsin—+arccosI=（）

A.1B.述C.逑D.也

1052

二、多選題

9.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱┰O(shè)A3C的三邊長a,b,c都是整數(shù)，面積是有理

數(shù)，則。的值可以為（）

A.1B.2C.3D.4

10.（2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽）如圖，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該

直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)上述操作（其中/1=/2=/3）,得到

四個小正方形ABC,。，記它們的面積分別為臬,SR,&?，S0,則以下結(jié)論正確的是（）

A.SA+SD=SB+Sc

B.SA，SD=SB，Sc

C.SA+SD..2SB

D.SD+SA<2SC

IL（2020糊北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃）設(shè)ABC的內(nèi)角A&C的對邊分別為若

|^cosC>（a+c）（bsinC-l）=0'則（）

A.B=-

3

B.B=-

4

C.的面積最大值為述

16

D.43C的周長最大值為亞

2

三、填空題

12.（2021?北京?高三強基計劃）在銳角ABC中，tanAtan8+2tan8tanC+3tanCtanA

的最小值是.

13.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）設(shè)則函數(shù)），=sii?xcosx的最大值為

14.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）在二ABC中，角人民C的對邊分別為0、氏c,已知

acosC-bcos2A=crsinAsinB-csinA>則tan4的值為.

15.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）函數(shù)），=^/^N+^/15-3x的值域為.

16.（2021?全國,高三競賽）設(shè),且cos3e+sin3g+i=m（cos，+sinO+l）3,貝！]

實數(shù)〃?的取值范圍是.

TT

17.（2020?浙江?高三競賽）己知。,夕,/￡0,-,則

cosa+2cosP+cosy-cos（a+/）—2cos（>?+7）的最大值為.

18.（2021?全國?高三競賽）函數(shù)y=sinx，+tanx-ta吟）的最小正周期為.

59

19.（2021?全國?高三競賽）已知一ABC滿足2sinA+sinB=2sinC,則——+——的最

sinAsinC

小值是.

AT—s]*__!______5_

20.（2021?全國?高三競賽）在工ABC中，一A,C'3一，則8C+A8的

tan-tan—tan——

222

值為?

21.（2021?浙江?高三競賽）若則函數(shù)8sx+3的最小值為

k44Jsinx+cosx

22.（2022?福建?高二統(tǒng)考競賽）已知a,夕，yw（0,i）,且,則cosa+cos尸+sin2y的

最大值為.

23.（2022?浙江?高二競賽）已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

cosC=F，則角A的取值范圍是_____.

2a

24.（2022?北京?高三?？紡娀媱潱┰?.A8C中，S4比="|（"-6），其外接圓半徑R=2，

且4卜irA-sirB,ulGa-bNinB,則sin」2'+sin,=.

25.（2022?北京?高三?？紡娀媱潱┰谔菪蜛BCD中，AO〃8C,M在邊CO上，有

NABM=NCBD=NBCD,則——取值范圍為__________.

BM

26.（2022?北京?高三?？紡娀媱潱┤粢籄BC三邊長為等差數(shù)列，則cosA+cosB+cosC

的取值范圍是.

27.（2021?全國?高三競賽）在ABC中，2cosA+3cos8=6cosC,貝iJcosC的最大值為

四、解答題

28.（2021?全國?高三競賽）求證：對任意的〃eN+，都有

11I17t

arctan-+arctan—++arctan------+arctan----=—.

371+n+w7n+\4

29.（2022?新疆?高二競賽）直角三角形。跖的三個頂點分別在等邊三角形ABC的邊

S

AB,BC,CA±.,且NDEF=90°,NEDF=30°,求不也■的最小值.

30.（2019?河南?高二校聯(lián)考競賽）銳角三角形ABC中，求證：

cos（B-C）cos（C一A）cos（A-3）..8cosAcosBcosC.

【高中數(shù)學(xué)競賽真題.強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題03三角函數(shù)真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）

一、單選題

1.（2021?北京?高三強基計劃）已知。為，4?。的外心，AaAC與aOBC的外接圓分

別交于點。，E.若DE=OA,則NOBC=（）

A.30°B.45°C.60°D.以上答案都不

對

【答案】B

【分析】利用圓周角和圓心角的關(guān)系可求NOBC的大小.

【詳解】如圖，連結(jié)BE.

由于DE=OA=OB=OC,

于是弧80分別與弧OE、弧OC相等，進而可得弧即與弧OE相等、弧。。與弧CE相

等，

進而NE3C=ZOBD=90°--NAOB=90°-NECB,

2

從而“EC=90。，因此BC是△OBC外接圓的直徑，進而NO3C=45。.

2.（2020?北京?高三強基計劃）設(shè)等邊.ABC的邊長為1,過點C作以A3為直徑的圓的

切線交A8的延長線于點。，AD>BD,則△BCD的面積為（）

6應(yīng)-364&-36

--------------oO.---------------

1616

3近-2百

C.D.前三個答案都不對

16

【答案】C

【分析】利用射影定理可求。。=必，故可求△放?的面積.

4

【詳解】如圖，設(shè)題中圓的圓心為。，8與圓。切于點7,連結(jié)CO,m,

則OC=3,OT=L,于是0。=逅，

224

“1m1163血-26

從而S=—BD?OC=-x------x—=-----------.

A8RCCOn2242216

\7

故選：C.

3.（2020?北京?高三強基計劃）函數(shù)

，3+2>/§cose+cos26+J5-2GCOS6+COS2e+4sin29的最大值為（）

A.近+岔B.2&+6

C.&+26D.前三個答案都不對

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求代數(shù)式的最大值.

【詳解】題中代數(shù)式為

6+cos（9+710-（73COS+1）2=瓜。泮I+J10_（4cos，+1）2+與

v3v3

4即xM+卡

2V10+2

等號當(dāng)*嚴(yán)=6nc。，*需時可以取得'因此所求最大值為

2而+2

故選：D.

4.（2020?北京?高三校考強基計劃）使得“sin1＞1+5cosl成立的最小正整數(shù)n的值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先證明成立，再結(jié)合f（x）=x+54r=的單調(diào)性可

估算/_+5、三二的取值范圍，從而可得最小正整數(shù)n的值.

sin1Vsin"1

【詳解】根據(jù)題意，有〃＞」一+5、口4V-1,

sinlVsm_1

記y（x）=x+54^i，則函數(shù)/*）在a，+8）上是單調(diào)遞增函數(shù).

設(shè)g(x)=sinx-x+，x3,則：

O

=cosx-l+-x2=—x2—2sin2—=?f--sin—V—+sin—1,

222122JV22)

當(dāng)xe(o，^時，有?|>sin5，故g'(x)>0,

故g(x)為[o,])上的增函數(shù)，故g(x)>g(0)=0osinx-x+\x3>o.

接下來利用當(dāng)xe(0,9時，sinxx-9以及正弦函數(shù)的單調(diào)性估計sini.

511.1.乃G

—=1—<sin1<sin—<—，

6632

有4vx專卜島上，肥+而（鴻⑹

因此使得不等式成立的最小正整數(shù)n的值為5.

故選：C.

5.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱┰贏BC中，44=90。,48=1,47=百.點/＞滿足

PAPBPC

----+-----+-----=0,則（)

|P4|\PB\\PC\

A.ZAPC=120°B.ZAPB=\2O°

C.\PB\=2\PA\D.\PC\=2\PB\

【答案】ABCD

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得P為ABC的費馬點，如圖，以A民BC為邊作等邊三角形

一ABE,.BCD，可證故可判斷各項的正誤.

【詳解】根據(jù)題意，PA,PB,PC方向上的單位向量之和為零向量,

因止匕NAP8=ZBPC=NCPA=120。，進而P為ABC的費馬點.

如圖，以A8,8C為邊作等邊三角形SBE,BCD,

則N8P￡）=/3Cr）=60。，故B,P,C。四點共圓，

故4PBe=NPDC,故NPBA=ZADB，

PADA1

故△BA。n2，

PBBD2

同理，/XPBCsABECn里=里=L,

PCBC2

因此所有選項均正確.

故選：ABCD.

sinct

6.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱┰O(shè)%〃為銳角，且cos（a+夕）=-^,則tana的最

sinp

大值為（）

A.立B.立C.1D.72

43

【答案】A

【分析】利用基本不等式可求最大值.

sina

【詳解】解法一：由cos（a+0=得cosacos￡sin夕一sinasin2/?=sin?

sin°

所以cos/7sin/?-tanasin24=tana.

_cos/?sin/7_tan/?_1\[2

因為a,4均為銳角，所以ta""-i+siY尸\+2tan21一刀一：廣V

tanp

當(dāng)且僅當(dāng)tan￡=*時取等號，所以tanc的最大值是乎.

sincc

解法：：山cos(a+0=T=得：

sinp

cos(a+J3)sin夕=sina=；［sin(a+2/3)-sina\=sina,

于是sina=gsin(a+2夕)〈g,

等號當(dāng)a=arcsing,夕=；arccosg時取得，

因止匕tana的最大值為tanarcsin」=E.

34

"2

7.(2020?北京?高三校考強基計劃)limVarctan-y=()

A,光3兀

B.兀c.2D.

44T

【答案】A

【分析】利用裂項相消法可求數(shù)列的和，再根據(jù)基本極限可求題設(shè)中數(shù)列的極限.

2(左+1)_(4_])

【詳解】根據(jù)題意，有arctan—=arctan———~-=arctan(&+1)-arctan伏-1),

k1+(%+1)(A一1)

于是limVarctan—=limVarctan(^+1)-arctan(A:-1)J

=lim(arctan(n+l)+arctann-arctan1-arctan0)

3兀

T

故選:A.

8.(2020?北京?高三?？紡娀媱?sinarctan1+arcsin—+arccosj=()

A.1B.遞C.—D.@

1052

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求3個角的和的正弦值.

【詳解】arctanl,arcsin@,arccos亞分別是復(fù)數(shù)l+i,2+i,3+i的輻角，

510

于是題中代數(shù)式為復(fù)數(shù)z=(l+i)(2+i)(3+i)=10i的輻角的正弦值，為1.

故選：A.

二、多選題

9.(2020?北京?高三?？紡娀媱?設(shè)ABC的三邊長mb,c都是整數(shù)，面積是有理

數(shù)，則。的值可以為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】CD

【分析】由特例可得。的值可以取3,4,再利用整數(shù)的性質(zhì)可判斷a的值不可能為1,

2,故可得正確的選項.

【詳解】取三邊為3,4,5的三角形，其面積為6,此時a的值可以取3,4.

當(dāng)a=1時，有|a-b|<c<|。+b|=>c=6,

此時,/3C的面積為!”從-1,注意到4/-l=3(mod4),不為完全平方數(shù)，

4

因此一"C的面積不可能是有理數(shù).

當(dāng)a=2時，不妨設(shè)2WZ>4c,~^\a-b\<c<\a+b^c=b^c=b+\.

情形一若，=3則43c的面積為〃匚.

若后=7=/,其中2，g為互質(zhì)的正整數(shù)，則/,2-])=。2,

于是從-1為完全平方數(shù)，而正整數(shù)的完全平方數(shù)的最小間隔為22=3,因此該情形

不成立.

情形二若c=b+l,則cosC=四老二3包=32,

4b4b

于是面積為有理數(shù)，等價于sinC為有理數(shù)，即J(44—(—28+3)2=川2/+126—9為完

全平方數(shù)，注意到12〃+120-9=3(mod4),因此的面積不可能是有理數(shù).

綜上所述，”的值不可能為1,2,可能為3,4.

故選：CD.

10.(2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽)如圖，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該

直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)上述操作(其中31=/2=/3),得到

四個小正方形,記它們的面積分別為SA，SB，SC，S",則以下結(jié)論正確的是()

A.$八+S。=Sg+Sc

B.S〃=SR，Sc

C.SA+SD..2SB

D.SD+SA<2SC

【答案】BC

【詳解】設(shè)Nl=N2=N3=a,最大正方形的邊長為1,

2

小正方形AB,。,。的邊長分別為.Va=cosa,b=sinacosa,

c=sinacosa,1=sin2a,

4422

SA+SD=sina+cosa>2sinacosa,

22

SB=Sc=sinacosa,SA+SD>2sB，

所以C正確；

4444

SASD=sinsina,SBSc=sin￡zsina,

所以S八品=SsSc.,所以B正確,

故選：BC.

IL（2020糊北武漢高三統(tǒng)考強基計劃）設(shè)ABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為〃也c.若

｛晨S離a+c〉SsinC-D=0'則（）

A.B=-

3

B.B=-

4

c.45c的面積最大值為地

16

D.的周長最大值為亞

2

【答案】AC

【分析】利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式以及基本不等式化簡即可。

【詳解】由&8SC+”+c）（bsinC-1）=0=sinBcosC+\/3sinJ?sinC—sin（B+C）—sinC=0

化簡得：sinC-2sin（B-方）-1=0

因為0<3<應(yīng)0<。<4

所以2sin（fi--|-l=0^B=-

故A正確

▽山c_1-"8（a+c丫_38

乂由5人肥=/ac'Sin8W-“［；—J=^-

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時取等號

2

三角形的周長L詆=。+"+。=百+"

由余弦定理得+/一〃=（?+c）2-2ac-h2=>/;2=3-3ac

因為a+cW2旅nac4?（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時取等號）

42

所以/乎，〃“=￥，排除D

故選:AC

三、填空題

12.（2021?北京?高三強基計劃）在銳角ABC中，tanAtan3+2tan3tanC+3tanCtanA

的最小值是.

【答案】6+2夜+26+2指

【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.

【詳解】記題中代數(shù)式為M,我們熟知三角形中的三角恒等式：

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,

于是M=tanAtan+2tantanC+3tanCtanA

>_________（1+VI+揚2_________

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA

=（1+夜+回=6+2&+26+2#，

等號當(dāng)tanAtanB=近tanBtanC=V3tanCtan4ntan4:tanB:tanC=0：6：1時取

得，因此所求最小值為6+20+2行+2指

故答案為：6+2?+2下）+2瓜

13.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）設(shè)xe（og）,則函數(shù)ynsi/xcosx的最大值為

【答案】竽

【詳解】y=sin2xcosx=-cos3x+cosx,

令f=COSX￡（0」），所以y=--+f,

r2

y=-3/+1f

故答案為：吟

14.(2022?江蘇南京?高三強基計劃)在...ABC中，角人民C的對邊分別為a、8、c,已知

acosC-bcos2A=asinAsinB-csinA，則tanA的值為.

【答案】1

【詳解】由正弦定理邊化角：

sinAcosC-sinSeos2A=sin2/4sinB-sinCsinA，

sinA(sinC+cosC)=sinB,

sinA(sinC4-cosC)=sinAcosC+sinCeosA,

得sinAsinC=cosAsinC,

山sinCw0,得tanA=1,

故答案為：L

15.(2022?江蘇南京?高三強基計劃)函數(shù)y=77^4+V15-3%的值域為.

【答案】[L2]

Jx-4=sin，[sin0>0「支~

【詳解】令L,由八得。w2k兀，J+兀,

\/5^x-cos0[cos。20L2-

則y=sine+&-cose=2sin(e+(),0e24萬,■^■+2%萬，

所以蚱[1,2].

故答案為：

jr

16.(2021?全國?高三競賽)設(shè)0<d<5，-S-cos3+sin3+1=/M(COS+sin+1)3,則

實數(shù)m的取值范圍是.

3播-41'

【答案】

-2-'4

cos3+sin304-1

【詳解】解析:

(cos6+sin。+Ip

(cos9+sin。乂cos2夕一cos夕sing+sin?夕)+1

(cos9+sin6+1)3

令x=cos6+sin8,貝Ijx=0sin(8+?Jw(1,&],且sin8cos0=，

J?

于是I2)2+3x-x32+x-x22-x31,

m=-----------------=-------------=------------=----------=--------------

(x+1)32(x+l)32(x+l)22(x+l)2(x+l)2

顯然，”是（1,&］上的減函數(shù)，所以/（應(yīng)即加€,笑-4,：

_rJ

3a-41、

故答案為:

"1-'4

/

JT

17.（2020?浙江?高三競賽）己知0,-,則

cosa+2cos0+cosy-cos(a+y)—2cos(y?+y)的最大值為.

【答案】36

【詳解】cosa-cos(a+y)=2sin-ysin^cr+<2sin-1-,

同理.cos4一cos(4+y)K2siri'1',

故cosa+2cosp+cos/-cos(a+y)—2cos(4+/)<6sin—+cos/,

ffi]6sin—+cos/=-2sin2—+6sin—+1=-2|sin—?+—，

222[22)2

因為S5(-2fsin---+—<3\/2.

22<22j2

rrTT

當(dāng)且僅當(dāng)y=g,a=4=J時，各等號成立，

24

故答案為：3亞.

18.(2021?全國?高三競賽)函數(shù)y=sin+tantan；)的最小正周期為.

【答案】2n

【詳解】解析：當(dāng)x=2版?次eZ時，y=sinA-fl+tanx-tan1^=0,

,…?f.sinx1-cosxA4?,TT~

當(dāng)xw2女肛AwZ時，y=sinx1+-----------；------=tanx,其中xw匕r+—且XW2Z4+;T，

VcosxsinJC)2

畫出圖象可得函數(shù)周期為24.

故答案為：2%.

59

19.（2021?全國?高三競賽）已知ABC滿足2sinA+sin3=2sinC,則一一+1；的最

sinAsmC

小值是.

【答案】16

【詳解】解析：2sinA+sinB=2sinCsinB=2（sinC-sinA）

=2sin婦Jcos止=4sinJgs比

2222

nsin&X=2sinXntanC=3tan±

2222

5959—山

A—+—=—+~6t

☆f=tan,，則sinAsinC_2t2t2t

?TT9r+l

16/+4

>2,/16z--=16.

止1AlC3,~A+C

當(dāng)Z=一,tan—=—,tan—=一時tan->---0--,-所以A+CV18O。,

222222

59

故------------1------------|=16

sinAsinCmin

故答案為：16

AC=S_____L____________=0

20.（2021?全國?高三競賽）在中，AC3一，貝i]BC+AB的

tan—tan—tan-

222

值為.

【答案】7

【詳解】解析：記，ABC中4、B、C所對的邊分別是“、b、c,

如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為",

ArCrBr

?,tan—=---------tan—=：-----tan——=----------

則2h+c-a,2a+b-c,2a+c-b,

F~~~~2~~T~

故b+c-a+a+b-c=5（a+c-力）,故5（〃+c）=7。，

即a+c=7,

故答案為：7

21.（2021?浙江?高三競賽）若x則函數(shù)尸4加%85%+3的最小值為

\447sinx+cosx

【答案】2垃

卜+任（0,伺,

【詳解】Z=sinx+cosx=5/2sin

2（產(chǎn)川+3=土工山螳在

y=

、上川僅山門岬^二公立時隊等1，；.

t2

故答案為：2VL

22.（2022?福建?高二統(tǒng)考競賽）已知a,p,7?0,乃），且，貝I]cosa+cos夕+sin27的

最大值為.

【答案】—

2

【詳解】由夕，7?0,萬），a+6+2y=萬知，cos^^=cos（'—，=siny>0,

又cosa+cosB=2cos°；P-cos?!,0Wcos。JW\,cos。>0,

所以，cosa+cosP=2coscos―—―W2cosa——=2sin/,

所以cosa+cos尸+sin2/02siny+sin2/,當(dāng)且僅當(dāng)a=4時等號成立,

/（7）=2sin/+sin2/,則/,（/）=2cos/+2cos2/=2（cos/+1）（2cos/-1）,

因此o<"g,r⑺>0；《〈”5時，尸⑺<o,

所以“7）在（。5上遞增，在《《J上遞減，

所以7=?時，/。）取最大值,，

。3g出_冗

因此cosa+cosB+sin2yW2siny+sin2/W，當(dāng)a=0=%，/二牙時等號成立,

所以cosa+cos￡+sin2v的最大值為主叵,

2

故答案為：—.

2

23.（2022?浙江?高二競賽）已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,月.

cosC二字,則角A的取值范圍是______.

2a

【答案】

【詳解】由余弦定理可得cosC='+--L=空

2ab2a

22

/.a+ab=cf且3a>b>a,

cos8=>0,

lab

/.a2

設(shè)2.=x,2.=y,

aa

2=l+（l+x）>fnxe（T2），

則\+^>x

.,.xe（L2）,y2=l+xe（2,3）,則ye（夜,6）,

cosA.="+—吸=X.=W

2bc2bc

24.（2022?北京?高三?？紡娀媱潱┰赹ABC中，S枷=g"。），其外接圓半徑R=2,

且4卜in；!A-sin28）=（>/5a-/^sin8,則sin^~—+sin—=.

【答案】1

【分析】利用正弦定理的邊角互化結(jié)合三角恒等變換即可求解

【詳解】因為R=2,

所以4(sin?A-sin2B)=(-"卜inB

=>cr-h2=^>j3a-h^b

=a=6b

因為s麗=](〃-》)，

所以bcsinA=c(a-b)=>sinA=-——=G-1,

he

進而有sinB==1-—,

V33

A-B.CY(,A-BA+B

于是sin-----Fsin一=sin+cos

22jV2------2

.2A—B+8.A—BA+8

=sin------FCOS------i-2sin----cos-----

2222

=1--cos(>4-B)-F—cos(/l+B)+sirL4-sinB

=l-sinAsinB+sirtA-sinB

因為0vA—8<兀,()<Cv兀，

所以sin上2+sinC=l.

22

故答案為：1

25.（2022?北京?高三?？紡娀媱潱┰谔菪蜛8CD中，AZ）〃8cM在邊CO上，有

ZABM=NCBD=NBCD,則收取值范圍為___________.

BM

【答案】

【分析】由/4?！?180-/3。=180-248〃，可得A,8,M,。四點共圓，于是得

AMDB

即可得答案.

【詳解】解：如圖所示:

D

C

ZADM=\SO-々CD=180-ZABM，

所以四點共圓，

因為NBAM/BDM是3“所對的圓周角，

所以=

,,AM__sinZABM_sin/A8M_sin/ACB_DB

年~BM一sinZBAM-sin/BDM-sinzfBDC-~BC

又因為ZDBC=NBCD.

所以B￡)=a>.

在△88中，BD+CD>BC,

即2BD>BC,

所以2.罪>1,即有,

所以要€

oC

A]

故答案為:

26.（2022?北京?高三校考強基計劃）若.ABC三邊長為等差數(shù)列，則cosA+cosB+cosC

的取值范圍是.

【答案】（1，|

【分析】通過余弦定理以及等差數(shù)列的性質(zhì)，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的關(guān)系是，通過

公差的范圍得出結(jié)論.

【詳解】不妨設(shè)三邊長為l-d』,l+d,其中O,,d<g.此時:

cosA+cosB+cosC

(1+J)2+1-(1-J)2(l-J)2+l-(l+</)2(1+J)2+(1-J)2-1

=-------------------------------1---------------------------------1-------------------------------

2(1+J)2(1-4)2(1+J)(1-J)

故答案為：（1,|.

27.（2021?全國?高三競賽）在ABC中，2cosA+3cos8=6cosC,則cosC的最大值為

【答案】近二！

6

2

【詳解】令cosA=x,cosB=y,cosC=z,則2x+3y=6z,Bpy=2z--x.

因為cos123A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

于是4Z2+99。，得Z4巫匚,

J96

所以cosC的最大值為巫二1.

6

故答案為：與

四、解答題

28.（2021?全國?高三競賽）求證：對任意的〃cN+，都有

arctan-+arctan—++arctan------------+arctan------=—.

371+鹿+〃~n+\4

【答案】證明見解析.

【詳解】由于tanarctan—1]=一力]—=」，只需證:

(4〃+Ui+ix-L〃+2

n+\

111n

arctan—+arctan—++arctan----------=arctan------.

37l+〃+/r7n+2