專題研究四雙變量與極值點(diǎn)偏移問題編寫：廖云波題型一雙變量問題【例1-1】已知函數(shù)，(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的最小值為，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)且時(shí)，試比較與的大小．題型二極值點(diǎn)偏移【例2-1】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：若，，則．【例2-2】已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)若方程有2個(gè)不等的實(shí)根，證明：.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知函數(shù)．(1)若時(shí)，，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【完成課時(shí)作業(yè)（二十二）】

【課時(shí)作業(yè)（二十二）】1．已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；(3)設(shè)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)且，若求證：.2．已知函數(shù)，.若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.3．已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且.4．已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．5．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：6．已知函數(shù)為常數(shù)，且在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，求的范圍.專題研究四雙變量與極值點(diǎn)偏移問題編寫：廖云波題型一雙變量問題【例1-1】已知函數(shù)，(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令，討論的正負(fù)情況判斷函數(shù)單調(diào)性即可得出；（2）根據(jù)題意可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，不等式化為，求出的范圍即可根據(jù)求出.(1)，令，，當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，所以在處取極小值，在取極大值，有2個(gè)極值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)；(2)由題意可得在有兩個(gè)零點(diǎn)，故且，所以，由得，故，同理，又，所以，結(jié)合知，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以即，所以，則，因?yàn)?，所?歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的最小值為，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)且時(shí)，試比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最小值為，可以求出的值，再根據(jù)題意得，再求函數(shù)的最值即可求解；（2）構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性，結(jié)合條件即可判斷大小.(1)由題可知的最小值為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，沒有最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取到最小值，所以，故，因?yàn)楹愠闪?，故，令，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，令，解得，所以在單調(diào)遞增，故可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.(2)令，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，，所以由得，；當(dāng)時(shí)，，所以由得，．.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．題型二極值點(diǎn)偏移【例2-1】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：若，，則．【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【解析】【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，分與求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）由得到，即證，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，∵，∴，從而證明出成立．(1)由題意知：．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明：∵，即，又，∴要證，只需證，即證①設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，不等式①成立，即成立．【點(diǎn)睛】對(duì)于雙元問題，要轉(zhuǎn)化為單元問題，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值等進(jìn)行求解.【例2-2】已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)若方程有2個(gè)不等的實(shí)根，證明：.【答案】(1)時(shí)無極值點(diǎn)；a＞0時(shí)，極小值點(diǎn)是，無極大值點(diǎn)；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)求f(x)導(dǎo)數(shù)，討論f(x)的單調(diào)性即可求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)構(gòu)造函數(shù)，證明g(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，得到，即，即可轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)f(x)單調(diào)性可得結(jié)論.(1)f(x)的定義域是，求導(dǎo)得，當(dāng)，，函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，得在(0，a)上，，f(x)單調(diào)遞減，在上，，f(x)單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)有極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；(2)由(1)知方程有2個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，f(x)在定義域上不單調(diào)，一定有，在(0，a)上f(x)單調(diào)遞減，在上f(x)單調(diào)遞增，不妨設(shè)，令，∵，∴，由得，∴，∴g(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，∴，即，結(jié)合題設(shè)有，∵，而f(x)在上單調(diào)遞增，∴，即.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：，聯(lián)想到，而，則，故構(gòu)造函數(shù)，證明其在(0，a)上單調(diào)遞減得，即.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知函數(shù)．(1)若時(shí)，，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，求解最值可得范圍；（2）把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性和最值，可以證明結(jié)論.（1）∵，，∴，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，與已知矛盾．當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿足條件；綜上，取值范圍是．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴只需證，∵，∴只需證．設(shè)，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即成立，∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒成立問題的處理方法主要有：（1）分離參數(shù)法：轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；（2）直接法：直接求解函數(shù)最值，必要時(shí)進(jìn)行分類討論.雙變量問題一般利用等量代換轉(zhuǎn)化為單變量問題進(jìn)行求解.【完成課時(shí)作業(yè)（二十二）】

【課時(shí)作業(yè)（二十二）】1．已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；(3)設(shè)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)且，若求證：.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)證明見解析.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出答案；（2）先得到導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而討論的零點(diǎn)分布，然后求出答案；（3）根據(jù)題意可以得到存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根，然后通過根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，則有，進(jìn)而可以得到，然后探討函數(shù)的最值，最后證明問題.(1)若，則，所以，又，所以，即f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率為2，所以切線方程為.(2)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，設(shè)，其.①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，即，此時(shí)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù).②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，設(shè)兩根為.當(dāng)時(shí)，，即，即f（x）的增區(qū)間為，.當(dāng)時(shí)，，即，即f（x）的減區(qū)間為.綜上：當(dāng)時(shí)，f（x）的單增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，f（x）的增區(qū)間為減區(qū)間為().(3)由（2），因?yàn)閒（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根，所以，則，所以，所以.令，則，∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，而，即，∴.【點(diǎn)睛】本題第（3）是典型的雙變量問題，可以作為范題，本題的要領(lǐng)在于通過根與系數(shù)的關(guān)系將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，平常注意歸納總結(jié).2．已知函數(shù)，.若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析．【解析】【分析】(1)在內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，等價(jià)于在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.研究的單調(diào)性和零點(diǎn)情況即可求出a的范圍；(2)設(shè)，由(1)知且，則，將a=代入要證的不等式，可將不等式化為，令，則不等式化為，問題轉(zhuǎn)化為在(0，1)恒成立即可．(1)函數(shù)定義域?yàn)?，在?nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，等價(jià)于在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、．設(shè)，由，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有，即，解得．易證，證明如下：令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，故，得證．∴，又，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)、，此時(shí)：00↓極小值↑極大值↓故在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)時(shí)，a的范圍為；(2)方法1：由(1)可知是的兩個(gè)零點(diǎn)，不防設(shè)，由且，得．∵．令，則，記，，則，令，．又，則，即，∴在上單調(diào)遞增，故，即成立．∴不等式成立．方法2：欲證，由，，則只需證：．不妨設(shè)，則且，則，∴，令，則，記，，由，即在上單調(diào)遞增，故，即成立.故．【點(diǎn)睛】本題第一問關(guān)鍵是找到x=1和x=，判斷，，從而根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷在和上各有一個(gè)零點(diǎn)；第二問的關(guān)鍵是利用是的兩個(gè)零點(diǎn)用替換a，再利用換元將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量進(jìn)行證明．3．已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）分類討論并利用導(dǎo)數(shù)去判定函數(shù)的單調(diào)性即可解決；（2）構(gòu)造新函數(shù)并利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系去證明轉(zhuǎn)化后的不等式即可解決.(1)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)；因?yàn)?，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在區(qū)間存在唯一的零點(diǎn).所以，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).不妨設(shè).要證，只需證明，因?yàn)樵?，e）單調(diào)遞增且，所以只需證明，又，只需證明設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以成立.故有.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．4．已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)在遞增，在遞減(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，直接利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造，由在為增函數(shù)，得到在恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求解.(1)的導(dǎo)數(shù)為，可得的圖象在處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減．(2)因?yàn)椋?，由，即有恒成立，設(shè)，所以在為增函數(shù)，即有對(duì)恒成立，可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)，可得，在遞減，在遞增，即有在處取得極小值，且為最小值可得，解得則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.5．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)后，分子為含參的二次三項(xiàng)式，結(jié)合，我們可以從和結(jié)合開口方向和兩根的大小來討論；（2），為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，我們可以通過結(jié)合韋達(dá)定理，找到，的關(guān)系，帶入到要證明的不等式中，然后通過整理，化簡成一個(gè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再通過換元，構(gòu)造函數(shù)，通過求解函數(shù)的值域完成證明.(1)，設(shè)．，，①當(dāng)時(shí)，，，則，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，，且，令，得，或，令，得，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．(2)證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，不妨設(shè)，則，要證：，只要證，只需要證，即證，設(shè)，，設(shè)函數(shù)，，，，，在上單調(diào)遞減，則，又，則，則，從而．【點(diǎn)睛】(1)含參的二次三項(xiàng)式再進(jìn)行分類討論的時(shí)候，如果二次項(xiàng)含參數(shù)，在討論有根無根的情況下要兼顧到開口方向以及兩根大小的比較；(2)如果函數(shù)在求導(dǎo)完以后，是一個(gè)分子上含有二次三項(xiàng)式，不含