立體圖形的體積

1.認(rèn)識長方體、正方體、圓柱圓錐的特征，弄清長方體和正方體的關(guān)系，圓柱與

圓錐的異同；

課程目標(biāo)2.掌握長方體、正方體的棱長和公式、圓錐及圓柱的體積計(jì)算方法。

3.運(yùn)用長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積的計(jì)算公式解決數(shù)學(xué)問題，并能解

決生活中的一些實(shí)際問題。

課程重點(diǎn)掌握長方體、圓柱、正方體、圓錐的體積的意義，及長方體、正方體、圓柱、

圓錐的體積的計(jì)算方法，并能解決生活中的一些實(shí)際問題。

課程難點(diǎn)長方體、正方體、圓柱、圓錐組合體的體積。

教學(xué)方法要求學(xué)生在熟記正方體和長方體的棱長和公式、正方體、長方體、圓柱、圓錐

速議體積公式的基礎(chǔ)上，再通過練習(xí)實(shí)際問題進(jìn)行鞏固公式及公式的變形。.

—知識梳理

1.長方體、正方體的特征。

長方體的特征：

(1)長方體有6個(gè)面。每組相對的面完全相同。

(2)長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等。按長度可分為三組，每一組有4條棱。

(3)長方體有8個(gè)頂點(diǎn)。每個(gè)頂點(diǎn)連接三條棱。三條棱分別叫做長方體的長，寬，高。

(4)長方體相鄰的兩條棱互相垂直。

正方體的特征：

(1)正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)連接三條棱。

(2)正方體有12條棱，每條棱長度相等。

1

(3)正方體有6個(gè)面，每個(gè)面面積相等。

2.長方體、正方體有關(guān)棱長計(jì)算公式：

長方體的棱長總和=(長+寬+高)X4=KX4+寬X4+高X4L=(a+b+h)X4

正方體的棱長總和=棱長X12L=aX12

正方體的棱長=棱長總和+12a=L+12

3.長方體或正方體的表面積和體積

表面積體積

S表=2ab+2ah+2hh

V=ahh或V=長乂寬乂高

長方體S表=2x(ab+ah+bh)V=sh

(長X寬+長X高+寬X高)X2

S表=6a1

V=a3或丫=棱長X棱長X棱長

正方體

S表二棱長X棱長X6V=sxh

4圓柱的體積公式

(1)圓柱的形成：圓柱是以長方形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而得到的。圓柱也可以由長方形

卷曲而得到。(兩種方式：1.以長方形的長為底面周長，寬為高；2.以長方形的寬為底面

周長，長為高。其中，第一種方式得到的圓柱體體積較大。)

(2)圓柱的高是兩個(gè)底面之間的距離，一個(gè)圓柱有無數(shù)條高，他們的數(shù)值是相等

的。

a)圓柱的體積=底面積X高

b)如果用V表示圓柱的體積，S表示圓柱的底面積，h表示圓柱的高，則：

圓柱體積的字母公式為：Vg,4i=sh=nr2h

5圓錐的體積公式

等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積等于圓錐體積的3倍，圓錐的體積等于圓柱體積

的所以圓錐的體積公式為：

3

圓錐的體積=—X底面積X高

3

用字母表示為：V^=,S底h

3

2

=-nr2h(利用半徑)

3

=1n(g)h(利用直徑)

=-n—h(利用底面周長)

3J

6,圓柱與圓錐的關(guān)系：

(1)與圓柱等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

(2)體積和高相等的圓錐與圓柱之間，圓錐的底面積是圓柱的三倍。

(3)體積和底面積相等的圓錐與圓柱之間，圓錐的高是圓柱的三倍。

二方法歸納

1.在工程上，?1mJ”的土、沙、石等均簡稱“1方”。

2.體積單位間的進(jìn)率：1揄3=1000cm31m3=1000dm3

長度單位相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率是10;面積單位相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率是100;體積

單位相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率是1000.

單位換算：高級單位化低級單位X進(jìn)率；

低級單位化高級單位。進(jìn)率。

3.箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

4.計(jì)量容積，一般就用體積單位。計(jì)量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫

升，也可以寫成L和ml。

5.容積單位間及容積單位和體積單位間的進(jìn)率：1L=1000ml1L=1dm31ml=1cm3

三課堂精講

(-)單位換算

例15立方米=()立方分米300立方厘米=()立方分米

25立方分米=()立方厘米600立方分米=()立方米

5立方米=()升40000毫升=()升

【隨堂演練】

【A類】

3

4升=()立方米5立方米=()立方厘米

3立方米45立方分米=()立方米8立方分米=()毫升

2000毫升=()立方米7500立方分米=()升

15.3升=()立方厘米0.3升=()毫升

(二)直接運(yùn)用長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積公式

【隨堂演練】

【A類】

1.求下列幾何體的體積

8cm

5cm

4

5.5cm

（三）直接運(yùn)用長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積公式解決實(shí)際問題

例3、實(shí)驗(yàn)小學(xué)修一條長60米，寬60米的長方形操場.先鋪10厘米厚的三合土，再鋪4厘

米厚的洪渣.需要三合土、煤渣各多少立方米？

例4、某紙盒廠生產(chǎn)一種正方體紙板箱，棱長40厘米，它的體積是多少立方厘米？合多少

立方分米？

例5、有一個(gè)谷堆，形狀近似圓錐，測得底面周長是18.84米，高2.1米，每立方米稻谷

約重550千克，這堆稻谷大約重多少千克？（得數(shù)保留整數(shù)千克）

5

【隨堂演練】

【A類】

1、一個(gè)正方體水箱的容積是125立方分米，把這一滿水箱水全部注入到一長方體水箱

內(nèi)。已知長方體水箱長10分米，寬5分米，這個(gè)水箱內(nèi)的水深多少分米？

2、一個(gè)長方體油箱的容積是20升。這個(gè)油箱的底長25厘米，寬20厘米，油箱的深是多

少厘米？

3、把一根長1.5米的圓柱形鋼材平行于上下底面截成三段后，表面積比原來增加9.6

平方分米，這根鋼材原來的體積是多少？

（四）變化的幾何體

例6、將一個(gè)長3米的長方體木料平均截成3段，表面積一共增加了0.36平方分米，這根

木料的體積是多少立方分米？

6

例7、、把一根長4米的圓柱形鋼材截成兩段，表面積比原來增加15.7平方厘米.這

根鋼材的體積是多少立方厘米？

【隨堂演練】

【B類】

1、一個(gè)大正方體的棱長是小正方體棱長的2倍，已知大正方體的體積比小正方體多21立

方厘米，大小正方體的體積分別是多少？

2、橫截面直徑為2厘米的一根鋼筋，橫截成兩段后，表面積的和為75.36平方厘米，原

來這根鋼筋的體積是多少立方厘米？

3、將一個(gè)圓柱切開后拼成一個(gè)近似的長方體，表面積增加了6平方厘米，已知長方體的

高為3厘米，求圓柱體的體積.

7

（四）組合體的體積

例8、求下圖組合體的體積（單位厘米）

例9求圖中鋼制零件的體積（單位：厘米）

20

【隨堂演練】

【B類】

1,一個(gè)長方體容器的底面是一個(gè)邊長為60厘米的正方形，容器里直立著一個(gè)高1米，底

面邊長15厘米的長方體鐵塊。這時(shí)容器里的水深0.5米。如果把鐵塊取出，容器里的水

深是多少厘米？

8

2、計(jì)算下圖的體積（單位厘米）

50

40

四講練結(jié)合題

一、填空：

1.2.把60升水倒入一個(gè)長為6分米，寬為2.5分米的長方體水箱內(nèi)，正好倒?jié)M，這個(gè)水

箱

深（）分米。

2.一個(gè)正方體的棱長總和是60厘米，它的表面積是（），體積是（）。

3.一個(gè)正方體的底面積25平方分米，它的表面積是（）平方分米，它的體積是

（）立方分米。

4、一個(gè)圓柱體，它的底面半徑是2厘米，高是5厘米，它的體積是（）。

5.用一張邊長是20厘米的正方形鐵皮，圍成一個(gè)圓柱體，這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是

（）O

6.圓柱體的側(cè)面展開可以得到一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的長等于圓柱的

（）,寬等于圓柱的（）

7.直圓柱的底面周長6.28分米，高1分米，它的側(cè)面積是（）平方分米，體積是

（）立方分米。（n取3.14）。

8.一個(gè)圓柱體的底面直徑和高都是0.6米，它的體積是（）立方分米。（n取

3.14）

二、選一選。（選擇正確答案序號填在括號里。）

1.將一個(gè)正方體鋼坯鍛造成長方體，正方體和長方體（）.

9

A、體積相等，表面積不相等B、體積和表面積都不相等.C、表面積相等，體積不相

等.

2.一個(gè)正方體的棱長是6厘米，它的表面積和體積相比是（）。

A、一樣大B、表面積大C、體積大D、不好比較

3、圓柱體的底面半徑和高都擴(kuò)大3倍，它的體積擴(kuò)大的倍數(shù)是（）

A.3B.6C.9D.27

4、做一個(gè)圓柱形的通風(fēng)管，至少需要鐵皮的面積是求圓柱（）o

A、側(cè)面積B^側(cè)面積4—個(gè)底面面積C、表面積

5、圓柱的底面直徑是6分米，高是8分米，與它等底等高的圓錐的體積是（）立方

米。

A、113.04B、226.08C、75.36

6、用一張正方形的紙圍成一個(gè)圓柱形（接口處忽略不算），這個(gè)圓柱的（）相等。

A、底面直徑和高B、底面周長和高C、底面積和側(cè)面積

7、把一根長1米的圓柱形鋼材截成2段后，表面積增加了6.28平方分米，這根鋼材原來的

體積是（）立方分米.

A、31.4B、3.14C、6.28

三圖形與計(jì)算。

（1）求表面積和體積（單位：cm）o

卜-一一

og

z,?

I，-ior~14?

15

10

（2）求體積。（單位：cm）

個(gè)

18

10

四、解決問題

1、一個(gè)圓柱體的無蓋鐵皮水桶，底面直徑3分米，高是4.5分米，做這個(gè)水桶至少需要

鐵皮多少平方分米？（得數(shù)保留整十平方分米）

2、一臺壓路機(jī)的前輪是圓柱體，輪寬2m,直徑1.2m.如果它轉(zhuǎn)動5圈，一共壓路多少平方

米？

3、一個(gè)圓柱形的糧倉，從里面量得底面直徑是3米，裝有2.5米高的小麥.如果每立方

米小麥重0.7噸，這個(gè)糧倉裝有多少噸的小麥？

11

4、一堆圓錐形黃沙，底面周長是25.12m,高是1.5m,每立方米黃沙重1.5噸，這推黃沙

重多少噸？

5、一個(gè)圓柱形橡皮泥，底面積是12cm2,高是5cm.如果把它捏成同樣底面大小的圓

錐，這個(gè)圓錐的高是多少？

五課后自測練習(xí)

一填空

1、一個(gè)圓柱底面半徑是3厘米，高5厘米，側(cè)面積是（）平方厘米，表面積是

（）平方厘米，體積是（）立方厘米，與它等底等高的圓錐的

體積是（）立方厘米。

2、圓錐形的一堆沙，底面積是4.8平方米，高2.5米，這堆沙共（）立方米。

3、將一張長30厘米，寬18厘米的長方形白紙卷成一個(gè)圓柱，這個(gè)圓柱的側(cè)面積是

（）平方厘米。

4、一個(gè)圓柱的底面積是24平方分米，高4分米，如果把它削成一個(gè)最大的圓錐，需要削去

部分的體積是（）立方分米。

5、一個(gè)圓柱的底面半徑擴(kuò)大2倍，高縮小2倍，它的側(cè)面積

（），體積（）。

6、等底等高的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的體積的和是80立方分米，這個(gè)圓柱的體積是

（）立方分米，這個(gè)圓錐的體積是（）立方分米。

7、將一張直角邊分別為4厘米，3厘米的直角三角形紙板以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得

到一個(gè)（），這個(gè)圓錐的體積是（）立方厘米。

12

8、把一個(gè)圓柱沿底面半徑切開，等分后再拼成一個(gè)近似的長方體，這個(gè)長方體長12.56

厘米，高10厘米，這個(gè)圓柱的體積是（）立方厘米。

二、選擇。

1、一個(gè)圓柱體切拼成一個(gè)近似長方體后，（）

A表面積不變，體積不變；B表面積變大，體積不變；0表面積變大，體

積變大。

2、24個(gè)鐵圓錐，可以燃鑄成等底等高的圓柱體的個(gè)數(shù)是（）。

A、12個(gè)B、8個(gè)C、36個(gè)D、72個(gè)

3、圓柱體積是圓錐體的（）

1

A、3倍B,