2022-2023學(xué)年上海市民辦民遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試

卷

1.直線/和平面a相交于點(diǎn)A,用符號(hào)表示為.

2.兩條或的直線可以確定一個(gè)平面.

3.己知/,用是兩條直線,a是平面，若要得到“〃/a”，則需要在條件“mua,〃/m”中

另外添加的一個(gè)條件是.

4.在長(zhǎng)方體力BCD-&B1C1D1的棱所在直線中，與直線4B異面的條數(shù)為.

5.一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,則它的表面積是.

6.一個(gè)正四棱柱ABCD-4再傳1久的底面邊長(zhǎng)為4cm,對(duì)角線&C=y/68cm,則它的體積為

cm3.

7.若一個(gè)球的表面積是4萬，則它的體積是.

8.已知斜線段的長(zhǎng)度是斜線段在這個(gè)平面內(nèi)射影的長(zhǎng)的四倍，則這條斜線和這個(gè)平面所成

的角的大小為.

9.在正方體ABCO-4/165，二面角力一BD一4的大小為“「

10.如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中，正確的序號(hào)是.

①直線AD與直線OE相交;

②直線C”與直線。E平行;

③直線8G與直線OE是異面直線;

④直線CH與直線8G成60。角.

11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A/iCiDi中，點(diǎn)P在

截面4OB上，則線段AP的最小值等于.

12.異面直線a、b成80。角，點(diǎn)P是〃、6外的一個(gè)定點(diǎn)，若過戶點(diǎn)有且僅有2條直線與a、b

所成的角相等且等于。，貝帕的范圍為.

13.“兩條直線沒有公共點(diǎn)”是“兩條直線為異面直線”的條件.（）

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.非充分非必要

14.垂直于同一條直線的兩條直線一定（）

A.平行B.相交C.異面D.以上都有可能

15.若小匕表示兩條直線，a表示平面，下列命題中的真命題為（）

A.若a_La,alb,貝！|b〃aB.若a〃a,alb,則b1a

C.若aJLa,baa,則a1bD.若?！ā?，b//a,則a//b

16.如圖，己知正方體4BC0-A/iCiDi，M,N分別是&C,的

中點(diǎn)，貝l」（）

A.直線41。與直線垂直，直線MN〃平面ABCD

B.直線&D與直線D/平行，直線MN，平面BD2B1

C.直線與直線相交，直線MN〃平面A8CZ）

D.直線與直線異面，直線MN1平面BDaB1

17.如圖，在正方體4BCD-AiBiGO中，

（1）求異面直線4記與0c所成的角的大小;

（2）求證:D1B1AC.

18.已知圓錐的底面半徑為3,沿該圓錐的母線把側(cè)面展開后可得到圓心角為兀的扇形.

(1)求該圓錐的高；

(2)求圓錐的母線與底面所成角的大小.

19.阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家.他的一個(gè)重要

數(shù)學(xué)成就是“圓柱容球”定理：即在帶蓋子的圓柱形容器(容器的厚度忽略不計(jì))里放一個(gè)球,

該球與圓柱形容器的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切，則球的體積是圓柱形容器的容積的|,并且球的

表面積也是圓柱形容器的表面積的|.求該圓柱形容器的容積與它的外接球的體積之比.

20.如圖，P41矩形A8CQ所在的平面，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面PAD；

(2)若尸。與平面ABC。所成的角為a,當(dāng)a為多少度時(shí)，MN1平面PCD?

21.用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設(shè)容

器的高為人米，蓋子邊長(zhǎng)為“米.

(1)求。關(guān)于〃的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)容器的容積為丫立方米，則當(dāng)人為何值時(shí)，M最大？求出丫的最大值.(求解本題時(shí),

不計(jì)容器的厚度)

答案和解析

1.【答案】，na=4

【解析】解：直線/和平面a相交于點(diǎn)A,用符號(hào)表示為Ina=4

故答案為：lC\a=A.

直接把文字語言表示為符號(hào)語言得答案.

本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系的表示法，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】相交

平行

【解析】解：根據(jù)平面公理的推理，得：

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面，

所以，兩條相交或平行的直線可以確定一個(gè)平面.

故答案為：相交、平行.

根據(jù)平面公理的推理，得出經(jīng)過兩條相交直線，或經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

本題考查了平面公理的推論與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

3.【答案】Ita

【解析】解：,.」，山是兩條直線，a是平面，me.a,l//m,

Iua或〃/a.

???若要得到/〃a”，

則需要在條件“mua,l//mv中另外添加的一個(gè)條件是1a.

故答案為：/Ca.

則/,機(jī)是兩條直線，a是平面，mca,l//m,得至”ua或〃/a.由此能求出結(jié)果.

本題考查線面平行的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是基礎(chǔ)題.

4【答案】4

【解析】解:由圖形結(jié)合正方體的性質(zhì)，與直線AB異面的直線有42,BiG，

CC1，DD14條;

故答案為:4.

根據(jù)正方體的性質(zhì)以及異面直線的定義，分析正方體中各棱的位置關(guān)系.得到答案.

本題考查了正方體中異面直線的判斷；關(guān)鍵是空間想象能力的考查.

5.【答案】V3

【解析】解：由題意，正四面體的四個(gè)面均為正三角形邊長(zhǎng)為1,

每個(gè)面的面積為S=11x1x年=今

224

則它的表面積為4xf=6.

故答案為：V3

根據(jù)正四面體的性質(zhì)，正四面體的四個(gè)面均為正三角形，計(jì)算每個(gè)面的面積求和即可.

本題考查了三棱錐表面積的計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】144

【解析】解：如圖，正四棱柱4BCD-4當(dāng)?shù)木玫牡酌孢呴L(zhǎng)為4aw,

則AC=4A/2,對(duì)角線4C=V68,則GC=V68-32=6,

故正四棱柱ABCD-AiBiGA的體積為4x4X6=144(cm3),

故答案為：144.

求出正四棱柱的高，根據(jù)體積公式即可求得答案.

本題考查空間幾何體的體積的求法，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】^兀

【解析】解：設(shè)球的半徑為R,

???球的表面積是4兀，???4TT/?2=4/r,

解得R=1,

???球的體積V=^71XI3=^71.

故答案為：gzr.

由球的表面積是4兀，求出球半徑為1,由此能求出球的體積.

本題考查球的體積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的表面積、體積的計(jì)算公式的

合理運(yùn)用.

8.【答案】J

【解析】解：設(shè)斜線和平面所成角為a(O〈a<》則cosa=*=亭:.a弋

故答案為：a

由cosa=容可直接得到結(jié)果.

本題考查了線面角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】arctanV2

【解析】解：連接AC,ACCiBD=0,連接40,貝吐為。4為

二面角4-BD-Ai的平面角

設(shè)正方體力BCD-4/iGDi的棱長(zhǎng)為a,

A0—a>

???tan/4104=r=-=V2；

Ta

所以乙41。4=arctanV2.

故答案為：arctan>/2.

連接AC,ACnBD=0,連接為。，貝吐4。4為二面角力一8。一4的平面角;

本題考查面面角與線面角，解題的關(guān)鍵是確定線面角與面面角，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】③④

【解析】解：如圖所示，原正方體為:

在這個(gè)正方體中：

①直線AF與直線。E異面直線，因此不正確;

②直線C/7與直線異面直線，因此不正確；

③直線BG與直線DE是異面直線，因此正確；

④連接BE,EG,貝ABEG為等邊三角形，:BE與BG成60°角，因此CH與BG成60。角，

因此正確；

以上四個(gè)命題中，正確的是③④.

故答案為：③④.

將正方體的展開圖還原為正方體后，即可得到所求正確結(jié)論.

本題考查了正方體的性質(zhì)、空間角、空間線面位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔

題.

11.【答案】y

【解析】解：如圖，連接AC】交截面42B于P,由CCi_L底面，可得CCi1

BD,

又4c1BD,可得BO1平面4CG，則AG1BD.

同理可得4G14$,得到4cli平面&DB,此時(shí)線段AP最小.

由棱長(zhǎng)為1，可得等邊三角形為DB的邊長(zhǎng)為魚.

S

A41DB=2*V2X-=—,VVA1ADB=匕-ADS，

A|x|xlxlxl=|x^x/lP,解得AP=4.

故答案為：y

由己知可得4cl，平面&DB,可得「為AC1與截面4DB的垂足時(shí)線段AP最小，然后利用等積法

求解.

本題考查點(diǎn)、線、面間的距離的求法，利用「等積法求距離，是中檔題.

12.【答案】（40°,50°）

【解析】解：先將異面直線a,〃平移到點(diǎn)P,貝ij4BPE=80°,乙EPD=C、：D

1。。。,

而NBPE的角平分線與a和b的所成角為40。，D

NEPC的角平分線與a和6的所成角為50。，'

當(dāng)。滿足40。＜0＜50。時(shí)，直線與“，人所成的角相等且等于。有且只有2條，

當(dāng)0=40。時(shí)只有1條，當(dāng)。＜40。時(shí)不存在，當(dāng)0=50。時(shí)有3條，當(dāng)50。＜。＜90。時(shí)有4條，

當(dāng)。=90。時(shí)有1條.

故答案為：（40。,50。）.

先將異面直線m6平移到點(diǎn)P,求出NBPE的角平分線和4EP。的角平分線與。和6的所成角，再

由運(yùn)動(dòng)思想分析得答案.

本題主要考查異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力和推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化、

數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

13.【答案】B

【解析】解：①若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則兩條直線為異面直線或平行直線,

②若兩條直線為異面直線，則兩條直線沒有公共點(diǎn)，

故選：B.

利用空間直線的位置關(guān)系，再結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.

本題考查了空間直線的位置關(guān)系，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】D

【解析】解：分兩種情況：①在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行;

②在空間內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線可以平行、相交或異面.

故選：D.

根據(jù)在同一平面內(nèi)兩直線平行或相交，在空間內(nèi)兩直線平行、相交或異面判斷.

本題主要考查在空間內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系.

15.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查的是線面平行的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握線面平行的判定與性

質(zhì)是關(guān)鍵.

對(duì)4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：選項(xiàng)A中，由ala,al.b,則b〃a或力在平面a內(nèi)，故該命題為假命題；

選項(xiàng)B中，由?！ㄎ欤琣lb,則bJLa或b〃a或b在平面a內(nèi)，故該命題為假命題；

選項(xiàng)C中，由線面垂直的判定定理可知，該命題為真命題；

選項(xiàng)。中，由0/a,b〃a可得到a,b相交或平行或異面，故該命題是假命題，

故選：C.

16.【答案】A

【解析】解：連接4名，如圖：

由正方體可知41?！?_ArD1AB,；?力1。1平面,

■.A^DLD^B,由題意知MN為△DiHB的中位線，MN〃AB,

XvABu平面ABCD,MN，平面ABCD,:.MN//平面4BCD.二4又寸；

由正方體可知與平面BO%相交于點(diǎn)。，QBu平面BCD1，D氏D、B,

???直線與直線D]B是異面直線，二B、C錯(cuò);

vMN//AB,AB不與平面垂直，二MN不與平面8。。1勺垂直，0錯(cuò).

故選：A.

通過證明直線40，平面AB。1，MN是△ABD1的中位線，可判斷A；根據(jù)異面直線的判斷可知&0

與直線。1B是異面直線，可判斷8；根據(jù)異面直線的判斷可知直線與直線是異面直線，可

判斷C;由例N〃4B,可知MN不與平面BDDiBi垂直，可判斷D.

本題考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理與性質(zhì)，考查了邏輯推理核心素養(yǎng)，屬于

中檔題.

17.【答案】解：（1）在正方體4BCD-4B1C1D中，

如圖所示：

由于4B〃CD,

所以異面直線與。。所成的角，即為異面直線為B與AB所成的角，

故乙4B4=45°.

證明：（2）連接3。，

由于801AC,DDi1平面ABCD,

所以皿1AC,

所以4cJ_平面。

故。iBA.AC.

【解析】（1）直接利用正方體的性質(zhì)求出異面直線的夾角；

（2）利用正方體的性質(zhì)和線面的垂直轉(zhuǎn)換為直線的垂直.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：異面直線的夾角，線面垂直的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)

學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：（1）因?yàn)榈酌姘霃絩=3,所以底面周長(zhǎng)/=2nr=6TT,及側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為2=2nr,

因?yàn)閭?cè)面展開圖的圓心角a=兀，所以側(cè)面展開圖的半徑R='=6,及母線長(zhǎng)為R=6,

a

根據(jù)勾股定理可知圓錐的高九=V/?2-r2=3V3；

（2）圓錐與底面所成角記作。G（0得），則cos。=所以。=*

LKZJ

【解析】（1）先利用底面周長(zhǎng)為側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，求出母線長(zhǎng)，然后利用勾股定理求解即可；（2）

求母線與底面夾角的余弦值，計(jì)算出其夾角即可.

本題考查了圓錐的高和線面角的計(jì)算，屬于中檔題.

19.【答案】解：設(shè)圓柱形容器里的球的半徑為r,

則圓柱形容器的底面半徑為r,圓柱形容器的高五=2r,

則圓柱形容器的外接球的半徑R=J（y）2+r2=V2r,

則圓柱形容器的容積為匕=nr2-2r=2nr3,它的外接球的體積為%=［兀（魚^>=竽TTN,

則該圓柱形容器的容積與它的外接球的體積之比為3=黑=釁.

【解析】先閱讀題意，然后結(jié)合空間幾何體的體積的求法求解即可.

本題考查了空間幾何體的體積的求法，屬基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)證明：取的中點(diǎn)E,連接NE、AE,如圖:

1

又「N是PC的中點(diǎn)，NE〃DC,NE=^DC,

11

又?：DC“AB,AM=^AB,.-.AM=^CD,.-.NE=AM,

四邊形AMNE是平行四邊形，

"AEu平面PAD,MN仁平面PAD,MN〃平面PAD.

(2)???PA11平面ABCD,

^PDA即為尸。與平面ABCD所成的角a,

若MNJL平面PCD,

■：MN//AE,

AE_L平面PCD,

PDciFffi