2024年春期高2022級(jí)高二期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試卷分為第1卷（選擇題）和第I1卷（非選擇題）兩部分，共4頁，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卷上相應(yīng)位置.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填涂在試卷上無效.3.非選擇題答案請(qǐng)使用黑色簽字筆填寫在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填寫在試卷上無效.第一卷選擇題（58分）一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（

）A． B．1 C． D．2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．3．直線過圓的圓心，并且與直線垂直，則直線的方程為（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．81 B．162 C．243 D．4865．下列命題中，真命題的是（

）A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8B．若回歸方程為，則變量y與x正相關(guān)C．甲同學(xué)所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為200的一個(gè)樣本，則甲被抽到的概率為D．在線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好6．已知在處有極值，則（

）A．11或4 B．-4或-11 C．11 D．47．的展開式中的系數(shù)為（

）A．55 B． C．65 D．8．已知，，，則（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9．直線，下列圖象中正確的是（

）A．

B．

C．

D．

10．甲罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球．整個(gè)取球過程分兩步，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別用，表示由甲罐取出的球是紅球，白球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出兩球，分別用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“兩球都為紅球”，“兩球?yàn)橐患t一白”的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于P，Q，與C相交于M，N，的中點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為H，則（

）A． B．C．的最大值為16 D．當(dāng)最小時(shí)，直線的斜率不存在第二卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12．近年來，“劇本殺”門店遍地開花．放假伊始，7名同學(xué)相約前往某“劇本殺”門店體驗(yàn)沉浸式角色扮演型劇本游戲，目前店中僅有可供4人組局的劇本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知這7名同學(xué)中有4名男生，3名女生，現(xiàn)決定讓店主從他們7人中選出4人參加游戲，其余3人觀看，要求選出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同時(shí)為女生．則店主共有種選擇方式．13．若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上一點(diǎn)，且，H是線段上靠近的三等分點(diǎn)，且，則C的離心率為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ?；有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再從該袋子中等可能摸出一個(gè)球，稱為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗(yàn)概率）.(1)求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；(2)在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對(duì)選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整.①求選到的袋子為甲袋的概率，②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請(qǐng)通過計(jì)算，說明選擇哪個(gè)方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.17．如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)為線段，的中點(diǎn)．(1)證明：EF⊥平面；(2)若直線EA與平面ABC所成的角大小為，求點(diǎn)C到平面的距離．18．已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意.19．已知一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，該動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程．(2)已知點(diǎn)在曲線上，斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．記直線和直線的斜率分別為，，從下面①、②、③中選取兩個(gè)作為已知條件，證明另外一個(gè)成立．①；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．1．C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】故選：C.2．A【解析】根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D不正確，故選：A3．D【分析】求圓心坐標(biāo)，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得.【詳解】由可知圓心為，又因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，由點(diǎn)斜式得直線，化簡(jiǎn)得直線的方程是．故選：D．4．B【分析】根據(jù)給定條件，利用列式計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以.故選：B5．A【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，結(jié)合新樣本數(shù)據(jù)的方差公式運(yùn)算；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)相關(guān)性的概念，由x的系數(shù)分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)隨機(jī)抽樣可知每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等，分析運(yùn)算；對(duì)于選項(xiàng)D，相關(guān)指數(shù)越接近于1，擬合效果越好.【詳解】①若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A項(xiàng)為真命題；②由，可知，則變量y與x負(fù)相關(guān)，B項(xiàng)為假命題；③根據(jù)隨機(jī)抽樣可知每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等，與抽樣方法無關(guān)，某校高三共有5003人，抽取容量為200的一個(gè)樣本，則甲被抽到的概率為，故C項(xiàng)為假命題；④在線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)越接近于1，則模型的擬合效果越好，故D項(xiàng)為假命題.故選：A.6．C【分析】先求解導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)極值的概念求解參數(shù)的值即可.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)在處有極值0且或時(shí)恒成立，此時(shí)函數(shù)無極值點(diǎn).故選：C.7．D【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】含的項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為．故選：8．B【分析】由，考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，，考慮構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，所以，所以，即，又，所以，故，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于將被比較的數(shù)化為結(jié)構(gòu)相似的形式，考慮構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.9．BC【分析】根據(jù)斜率和截距對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】直線，A選項(xiàng)，由圖可知：，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由圖可知：，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由圖可知：，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由圖可知：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10．BCD【分析】在各自新的樣本空間中求出，判斷A，B；利用全概率公式計(jì)算，判斷C，D作答.【詳解】在事件發(fā)生的條件下，乙罐中有5紅2白7個(gè)球，則，A不正確；在事件發(fā)生的條件下，乙罐中有4紅3白7個(gè)球，則，B正確；因，，，則，C正確；因，，則，D正確.故選：BCD11．AD【分析】A選項(xiàng)，先得到兩直線斜率均存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由焦半徑得到，，從而得到；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到和，從而代入計(jì)算出；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D選項(xiàng)，先得到，，表達(dá)出，并結(jié)合基本不等式求出當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故D正確.【詳解】A選項(xiàng)，若一條直線的斜率不存在時(shí)，則另一條直線斜率為0，此時(shí)與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故兩直線斜率均存在且不為0，由題意得，設(shè)直線方程為，聯(lián)立與得，，易知，設(shè)，則，則，，則，A正確；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，由于兩直線均過焦點(diǎn)且垂直，可得，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為16，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故，所以，由于兩直線均過焦點(diǎn)且垂直，可得，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故當(dāng)最小時(shí)，直線的斜率不存在，D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．12．348【分析】根據(jù)題意，按照選出的女生人數(shù)進(jìn)行分類，分別求出每一類的選擇種數(shù)，然后相加即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)選出的女生人數(shù)進(jìn)行分類，第一類：選出1名女生，先從3名女生中選1人，再從四名男生中選3人，然后安排角色，兩名男生扮演A，B角色有種，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先選有，剩下的一個(gè)角色從3名男生中選1人，則種，所以共有種，第二類：選出2名女生，先從3名女生中選2人，再從四名男生中選2人，然后安排角色，兩名男生扮演A，B角色有種，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，選出1名女生先選角色有，剩下的一個(gè)角色從2名男生中選1人，則種，所以共有種，第三類：選出3名女生，從先從3名女生中選3人，再從四名男生中選1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，選出1名女生先選角色有，剩下的一個(gè)角色讓男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有種，由分類計(jì)數(shù)原理可得：店主共有種選擇方式，故答案為：.13．(4，5)【分析】由已知得在上存在變號(hào)零點(diǎn)，參變分離后利用導(dǎo)數(shù)討論新函數(shù)的單調(diào)性后可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則在上存在變號(hào)零點(diǎn)，由得，令，，，在遞減，在遞增，而，，，所以.故答案為：.14．【分析】根據(jù)題意可得，，，再結(jié)合三角形相似可得，代入分析求解即可.【詳解】由題意，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖.因?yàn)?，則，，.因?yàn)?，則，可知，則，即，整理得.由得，解得或（舍去），所以C的離心率為.故答案為：.15．(1)(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解；（2）分組求和方法求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，所以，解得，，所以的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，所以.16．(1)(2)①；②方案二中取到紅球的概率更大.【分析】（1）根據(jù)全概率公式，解決抽簽問題；（2）利用條件概率公式計(jì)算，根據(jù)數(shù)據(jù)下結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為白球”為事件，（1）.所以試驗(yàn)一次結(jié)果為紅球的概率為.（2）①因?yàn)?，是?duì)立事件，，所以，所以選到的袋子為甲袋的概率為.②由①得，所以方案一中取到紅球的概率為：，方案二中取到紅球的概率為：，因?yàn)?，所以方案二中取到紅球的概率更大.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，可得，通過證明平面可得；（2）利用等體積關(guān)系可得.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，∵在中，、分別為、的中點(diǎn)，∴且，又在直三棱柱中，E是的中心，∴且，∴且，∴四邊形BEFM為平行四邊形，∴，∵在中，M為AC的中點(diǎn)，且，∴，且，∵平面，平面，∴，又，∴平面，∴平面；（2）由（1）知，，，因?yàn)橹本€與平面所成的角大小為，，因?yàn)橹?，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，即，解得.18．：（Ⅰ）；（Ⅱ）的單調(diào)增為單調(diào)減區(qū)為.（Ⅲ）見解析【詳解】(1)由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，由于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行．所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＜0.又ex＞0，所以x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0；x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)(3)因?yàn)間(x)＝xf′(x)，所以g(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，由(2)得，h(x)＝1－x－xlnx，求導(dǎo)得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne-2)．所以當(dāng)x∈(0，e-2)時(shí)，h′(x)＞0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e-2，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減．所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h(x)≤h(e-2)＝1＋e-2.又當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，0＜＜1，所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h(x)＜1＋e-2，即g(x)＜1＋e-2.綜上所述結(jié)論成立19．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用兩圓位置關(guān)系得到，從而得到，再利用雙曲線的定義即可得到曲線的方程；（2）依次選擇其中兩個(gè)作為已知條件，聯(lián)立直線與曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得證.【詳解】（1）依題意，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為r，因?yàn)樵搫?dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，此處要特別注意圓在圓的內(nèi)部與圓相切，否則圓無法與圓外切，所以，，所以，由雙曲線定義可知，M的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，所以2a＝4