2021屆新高考題型高三數(shù)學(xué)小題過關(guān)專練（2）

一、單項(xiàng)選擇題.

1.已知集合A={1,3,5,7},3==2x+l,xeA},則AC|B=（）

A.{1,3,5,7,9,11,15}B.{1,3,5,7}c.{3,5,9}D.{3,7}

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，先得到{3,7,11,15},再求交集，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳={1,3,5,7},

所以3={My=2x+l,xeA}={3,7/L15},

因此Ac3={3,7}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合交集運(yùn)算，熟記交集的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足z（2+3i）=13,則在復(fù)平面內(nèi)I對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

首先化簡復(fù)數(shù)z和N,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.

1313（2-3z）>

【詳解】z=-----=-（-----------------2—3i

2+3/（2+3z）（2-3z）

，5=2+3i,復(fù)數(shù)5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是（2,3）,在第一象限.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題型.

3.已知向量同=J5,M=l,+-=1,則向量￡與向量B的夾角為（）

兀3712萬

A.—B.—D.—

443

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題中條件，求出75,再由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橄蛄客?0，忖=1，（2+辦（￡-3萬）=1,

所以時(shí)—2a-S—315|=1,即2-3=1,即a?北=—1,

―7a-b-141__3

因此cos<a/>=p[M=U=--口所以<"，.>=1〃?

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的夾角，熟記向量夾角公式，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題

型.

4.在某技能測試中，甲乙兩人的成績（單位：分）記錄在如下的莖葉圖中，其中甲的某次成績不清晰，用字

母。代替.已知甲乙成績的平均數(shù)相等，那么甲乙成績的中位數(shù)分別為（）

甲乙

886188

84a20048

A.2020B.2120C.2021D.2121

【答案】B

【解析】

【分析】

先由題中數(shù)據(jù),根據(jù)題意，求出a=4,將甲乙的成績都從小到大排序，即可得出中位數(shù).

18+18+16+20+24+28+。124+a

【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：甲的平均數(shù)為不

66

18+18+20+20+24+28_128

乙的平均數(shù)為々=

66

124+a128“口，

因?yàn)榧滓页煽兊钠骄鶖?shù)相等，所以一，解得：〃=4,

66

1Q1

所以甲的成績?yōu)椋?6,18,18,24,24,28,其中位數(shù)為與上=21,

2

乙的成績?yōu)椋?8,18,20,20,24,28,其中位數(shù)為竺士包=20.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由莖葉圖計(jì)算中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

5.函數(shù)y=sin2x+?si"'的圖像大致是（）

-2A-1

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)解析式，分別判斷xe0,',xe（-］，02sin2x

y=sin2x+的正負(fù),即可得出結(jié)果.

2A-1

2sin2x

【詳解】當(dāng)xe0,5時(shí)，sin2x>0,2">1，所以y=sin2x+------>0,排除AB選項(xiàng);

2A-1

當(dāng)xe（一^,0）時(shí)，sin2x<0,0<2v<l.所以y=sin2x+笠廣=5皿2片1>0,排除D選項(xiàng).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的識別，根據(jù)排除法，即可得出結(jié)果.

6.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收

錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其

中“天池測雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑

為一尺二寸，盆深一尺八寸.當(dāng)盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時(shí)，平地降雨量是（）

A.9寸B.7寸C.8寸D.3寸

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意求得盆中水的體積，再除以盆口面積即得.

【詳解】由已知天池盆上底面半徑是14寸，下底面半徑上6寸，高為18寸，由積水深9寸知水面半徑為

1（14+6）=10寸，

2

則盆中水體積為1萬x9x（6?+102+6x10）=588%（立方寸）

所以平地降雨量為篝=3（寸）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓臺的體積計(jì)算公式，正確理解題意是解題關(guān)鍵.本題屬于基礎(chǔ)題.

7.某部隊(duì)在演習(xí)過程中，用懸掛的彩旗來表達(dá)行動信號，每個(gè)信號都由從左到右排列的4面彩旗組成，有紅、

黃、藍(lán)三種顏色的彩旗.若從所有表達(dá)的信號中任選一種，則這種信號中恰有2面紅色旗子的概率為（）

82八41

A.—B.—C.-D.一

272793

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求彩旗表達(dá)信號的所有方法種數(shù)，以及信號中恰有2面紅色旗子的方法種數(shù)，再根據(jù)古典概型計(jì)算.

【詳解】由條件可知懸掛的彩旗表達(dá)行動信號，共有34=81種，若恰有2面紅色旗子，則有C[22=24種,

所以這種信號中恰有2面紅色旗子的概率P=—=—.

8127

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是正確理解題意，并能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

8.已知線段AB是圓。：/+丫2=4的一條動弦，且若點(diǎn)P為直線x+y—4=0上的任意一

點(diǎn)，則|麗+麗|的最小值為（）

A2V2-IB.2V2+1c.4V2-2D.4&+2

【答案】c

【解析】

【分析】

取A3中點(diǎn)為M，連接PM，OM,根據(jù)題意，求出|。叫=1,再由國+而卜2|麗

\PM\+\OM\>\OP\,得至“用+而|取最小值，即是|/網(wǎng)取最小值，所以只需|OP|取最小，根據(jù)點(diǎn)到直

線距離公式，求出的最小值，即可得出結(jié)果.

【詳解】取A3中點(diǎn)為M，連接PM，OM,

因?yàn)锳B是圓C：/+y2=4的一條動弦，且|A卸=26,

又|蘇+麗|=2］而|尸根+|0知以0兒^\PM\>\OP\-\

因此，|麗+麗|取最小值，即是歸網(wǎng)取最小值，所以只需|04取最小,

又點(diǎn)P為直線x+y—4=0上的任意一點(diǎn),

所以點(diǎn)O到直線x+y—4=0的距離，即是10Hmi“，

|-4|「

即|OP|.=修==2垃,

mmVf+F

因此歸"L=3*7=2夜7,

即|西+網(wǎng)=2\PM\=472-2,

IminIImin

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量模的最值問題，將其轉(zhuǎn)化為直線上任意一點(diǎn)與圓心距離的最值問題，是解決

本題的關(guān)鍵，屬于?？碱}型.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.設(shè)集合A={xg<2'<7>下列集合中，是A的子集的是（）

A.1x|-l<%<11B.{x[l<x<3}C,{x[l<x<2}D.0

【答案】ACD

【解析】

【分析】

解不等式,<2、<7,利用集合的包含關(guān)系可得出結(jié)論.

2

【詳解】解不等式<<2*<7,即2T<2'<7,解得-l<x<log27,則A={+1<x<log?7},

v2=log24<log27<log28=3,所以，A、C、D選項(xiàng)中的集合均為集合A的子集.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題考查集合包含關(guān)系的判斷，同時(shí)也考查了指數(shù)不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足/(x—3)=—/(x),當(dāng)xe[0,3]時(shí)，f(x)=x2-3x,下列等式成立的

A./(2019)+/(2020)=/(2021)B.,/(2019)+/(2021)=/(2020)

C.2/(2019)+/(2020)=/(2021)D./(2019)=/(2020)+/(2021)

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由已知可得/(幻是周期為6的函數(shù)，結(jié)合奇偶性和已知解析式，即可求出函數(shù)值，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳解】由/。-3)=一/(x)知/(x)的周期為6,

/(2019)=/(336x6+3)=/(3)=0,

/(2020)=/(337x6-2)=/(-2)=-/(2)=2,

/(2021)=/(337x6-1)=/(-1)=-/(I)=2.

故選:ABC.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

11.下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()

A.y=B.y=x3

C.y=lnxD.)'=x

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】對于A選項(xiàng)，?.?0<一<1,所以，函數(shù)y=是定義域?yàn)镽的減函數(shù)；

對于B選項(xiàng)，函數(shù)y=d是定義域?yàn)镽的增函數(shù)；

對于C選項(xiàng)，函數(shù)y=Inx是定義域?yàn)椋?,+。）的增函數(shù)；

對于D選項(xiàng)，函數(shù)>是定義域?yàn)镽的增函數(shù).

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)定義域和單調(diào)性判斷，屬于基礎(chǔ)題.

12.下列命題中是真命題的是（）

x

A.3x,yC（0,+co）,lg—=lgx—Igy

y

B.Xfx&R,N+x+i>。

C.Vxe/?,25

D.3x,y^R,2"2>'=2個(gè)

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)全稱命題和特稱命題真假的判斷方式逐一判斷即可.

【詳解】對于A,由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，Bx,yG（0,4w）,lg-=lgx-lgy,故正確;

對于8,b2-4ac=1-4=-3<0>故正確；

對于C,當(dāng)x=T時(shí)，2T>31故錯誤:

對于。，由同底數(shù)累乘積可得x=y=2時(shí)，2,2、'=2沖'，故正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全稱命題和特稱命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2"—,x<1

2

13.已知函數(shù)/(x)=/z，若f(a)=2,則。=________.

logjx+-j,x>l

7

【答案】-

2

【解析】

【分析】

根據(jù)a<1時(shí)，f(a)<2,可知再解方程/(a)=log2(a+}=2即可得到答案.

113

【詳解】因?yàn)楫?dāng)。<1時(shí)，/3)=2"——<2——

222

所以ail,所以/(a)=log2(a+；)=2,

所以。+—=22=4,所以。=一.

22

故答案為：:7

2

【點(diǎn)睛】本題考查了由分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù)，考查了對數(shù)式化指數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

2

14-83+Ig5+lg20-eln2=---------

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算公式和性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】8?+lg5+lg20-eln2=2+lgl00-2=2+2-2=2-

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

X+4,-1<X<0

15.設(shè)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［TD上，/（%）=］2_其中aeR,

5

若=則/（5a）的值是

【答案】一士2

5

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的周期性得/，列方程求出。值，再代入計(jì)算/（5a）即可.

x+a,-