2024年春期高2022級高二期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試卷分為第1卷（選擇題）和第I1卷（非選擇題）兩部分，共4頁，滿分150分.注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卷上相應(yīng)位置.2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂在答題卷對應(yīng)題目號的位置上，填涂在試卷上無效.3．非選擇題答案請使用黑色簽字筆填寫在答題卷對應(yīng)題目號的位置上，填寫在試卷上無效.第一卷選擇題（58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．已知直線，若，則（

）A． B．0 C．1 D．22．求以為圓心，且經(jīng)過點的圓的一般方程（

）A． B．C． D．3．已知雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于5，那么點P到另一個焦點F的距離等于（

）A．3 B．3或7 C．5 D．74．已知等差數(shù)列中，，則公差（

）A．4 B．3 C． D．5．甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象大數(shù)為（

）A． B．C． D．7．下列說法正確的有（

）個①已知一組數(shù)據(jù)的方差為，則的方差也為.②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.③已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則.④已知隨機變量服從二項分布，若，則.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點Q，使得 B．存在點Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．存在點Q，使得PQ與AD所成的角為二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9．已知，.若隨機事件A，B相互獨立，則（）A． B． C． D．10．若，則（

）A．B．C．D．11．已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．第二卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12．已知數(shù)列滿足，，則．13．若隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，，則對于任意，不等式成立.在2023年湖南省高三九校聯(lián)考中，數(shù)學(xué)科考試滿分150分，某校高三共有500名學(xué)生參加考試，全體學(xué)生的成績,則根據(jù)上述不等式，可估計分?jǐn)?shù)不低于100分的學(xué)生不超過人.14．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.16．某單位為豐富員工的業(yè)余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分A，B，C三大類，其中A類有3個項目，每項需花費2小時，B類有3個項目，每項需花費3小時，C類有2個項目，每項需花費1小時．要求每位員工從中隨機選擇3個項目，每個項目的選擇機會均等．(1)求小張在三類中各選1個項目的概率；(2)設(shè)小張所選3個項目花費的總時間為X小時，求X的分布列．17．如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)求點到平面的距離．18．已知雙曲線：，點M為雙曲線C右支上一點，A、B為雙曲線C的左、右頂點，直線與y軸交于點D，點Q在x軸正半軸上，點E在y軸上.(1)若點，，過點Q作BM的垂線l交該雙曲線C于S，T兩點，求的面積；(2)若點M不與B重合，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①；②；③.注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.19．已知函數(shù)．(1)若，求的最大值；(2)若，其中，求實數(shù)的取值范圍．1．B【分析】根據(jù)給定的條件，利用兩直線的垂直關(guān)系列式計算作答.【詳解】因為直線，且，則，所以.故選：B2．C【分析】根據(jù)題意，利用兩點間的距離公式求得圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進而得到圓的一般方程，得到答案.【詳解】由題意得，圓的半徑，所以圓的方程為，所以圓的一般方程為.故選：C.3．D【分析】利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，求解到另一個焦點的距離.【詳解】由題意可知，,，則，所以或，又因為,所以，故選：D.4．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，，所以有．故選：B5．B【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分為或當(dāng)5人被分為時，情況數(shù)為;當(dāng)5人被分為時，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計種，當(dāng)5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.6．C【分析】求出函數(shù)的定義域，由已知可得函數(shù)為奇函數(shù).然后得到時，，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得的單調(diào)性，并且可得極大值點，即可得出答案.【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域為.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)時，，則.設(shè)，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，，所以，根據(jù)零點存在定理可得，，有，且當(dāng)時，有，顯然，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，顯然，所以在上單調(diào)遞減.因為，所以C項滿足題意.故選：C.7．C【分析】根據(jù)方差的定義可判斷A；根據(jù)樣本點中心在回歸直線上求得的值可判斷B；根據(jù)可得，由對稱性求出對稱軸可得的值可判斷C；根據(jù)二項分布的期望方差的公式期望方差的性質(zhì)可判斷D，進而可得正確個數(shù).【詳解】對于A：設(shè)的平均數(shù)為，方差為，則，，所以的平均數(shù)為，所以方差為，故選項A正確；對于B：因為線性回歸直線過樣本點中心，所以，可得，故選項B錯誤；對于C：因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以對稱軸為，又，而，所以，則，故選項C正確；對于D：因為服從二項分布，所以，所以，則，故選項D錯誤.故選：C.8．B【分析】A由、即可判斷；B若為中點，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定即可判斷；C只需求證與面是否平行；D利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.【詳解】A：正方體中，而P為線段的中點，即為的中點，所以，故不可能平行，錯；B：若為中點，則，而，故，又面，面，則，故，，面，則面，所以存在Q使得平面，對；C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運動時，到面的距離不一定相等，故三棱錐的體積不是定值，錯；D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，且，所以，，若它們夾角為，則，令，則，當(dāng)，則，；當(dāng)則；當(dāng)，則，；所以不在上述范圍內(nèi)，錯.故選：B9．BCD【分析】根據(jù)條件概率公式和獨立事件乘法公式即可判斷ABC，再根據(jù)即可判斷D.【詳解】對B，，B正確；對A，，，A錯誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.10．ACD【分析】將，，代入判斷ACD，利用二項式展開式的通項公式判斷B即可.【詳解】將代入得，解得，A正確；由二項式定理可知展開式的通項為，令得，所以，B錯誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD11．ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.12．【分析】根據(jù)題意，再利用累加法及等比數(shù)列前n項和公式即可求解．【詳解】因為數(shù)列滿足，所以，，…，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，滿足上式．綜上所述，．故答案為：．13．10【分析】可令，由題意得出，再結(jié)合全體學(xué)生的成績的期望，計算得出，進而得出答案.【詳解】取，，所以或，又因為，所以，即估計分?jǐn)?shù)不低于100分的學(xué)生不超過（人）.故答案為：1014．【分析】先對求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解，利用換元法與基本不等式求出的最大值即可得解.【詳解】因為，所以，則原問題等價于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，所以，則，所以，即.故答案為：.15．（1）；（2）.【分析】(1)本題首先可以根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，再然后將其帶入中，并根據(jù)數(shù)列是各項均為正數(shù)以及即可通過運算得出結(jié)果；(2)本題可以通過數(shù)列的通項公式以及對數(shù)的相關(guān)性質(zhì)計算出數(shù)列的通項公式，再通過數(shù)列的通項公式得知數(shù)列是等差數(shù)列，最后通過等差數(shù)列求和公式即可得出結(jié)果．【詳解】(1)因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以令數(shù)列的公比為，，，所以，解得(舍去)或，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，．(2)因為，所以，，，所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，．【點睛】本題考查數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列求和公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，是簡單題．16．(1)(2)分布列見解析【分析】（1）在三類項目中各選一個有種選法，總的選法數(shù)有種，由古典概型公式即可求得所求概率；（2）先分析X的可能取值，對于每一個的取值求得對應(yīng)概率，由此可得的分布列.【詳解】（1）記事件M為“在三類中各選1個項目”，則，所以小張在三類中各選1個項目的概率為．（2）由題知X的所有可能取值為4，5，6，7，8，9，則，，，，，．所以X的分布列為X456789P17．(1)證明見解析(2)(3)．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷線面垂直；（2）利用向量法求二面角的正弦值；（3）利用向量法求點到面的距離.【詳解】（1）在正三棱柱中，取中點，過作，連接，由平面，得平面，平面，則，，而，即兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，有，于是，，即，，而又平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，則是平面的法向量，設(shè)平面的法向量，而，，則，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，因此，所以二面角的正弦值為．（3）由（2）知是平面的法向量，而向量，所以點到平面的距離為．18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)已知，得出的方程，然后聯(lián)立與雙曲線的方程，根據(jù)韋達定理得出坐標(biāo)的關(guān)系，表示出弦長，最后根據(jù)面積公式，即可得出答案；（2）①②為條件，③為結(jié)論：易得.又，.然后根據(jù)直線的斜率可得出.設(shè)點，則，即可得出坐標(biāo)；①③為條件，②為結(jié)論：易得，.又，即可的得出，，求解，整理即可得出證明；②③為條件，①為結(jié)論：易得，平方整理可得.根據(jù)，得.進而根據(jù)，即可求出，平方整理，即可得出證明.【詳解】（1）由已知可得，，.因為點，直線的斜率為，所以直線的垂線的方程為，整理可得，.設(shè)點，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，，則，且，所以，.原點到直線的距離為，所以，的面積為.（2）①②為條件，③為結(jié)論令點，，且，因為三點共線，所以.又，所以點的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為.又，所以.設(shè)點，因為直線的斜率，所以，所以；①③為條件，②為結(jié)論令點，，且，因為三點共線，所以.又，所以點的坐標(biāo)為，又，點Q在x軸正半軸上，所以，所以.又，所以，所以，；②③為條件，①為結(jié)論令點，，且，不妨設(shè).因為三點共線，所以，且.因為，點Q在x軸正半軸上，所以.因為，所以.又，所以，，且，所以，，即.【點睛】思路點睛：①②為條件，③為結(jié)論：先得出的斜率，根據(jù)，得出..然后根據(jù)兩點坐標(biāo)，表示出斜率，即可推出點的坐標(biāo).19．(1)(2)【分析】（1）方法一，求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)零點存在但不可求，虛設(shè)導(dǎo)函數(shù)零點，用極值點處的導(dǎo)數(shù)為零化簡極值的表達式即可求解；方法二，對恒等變形之后，換元再求其最值（2）方法一，構(gòu)造，由題意知的取值應(yīng)滿足函數(shù)有兩個零點．從函數(shù)的單調(diào)性，極值（或最值）的符號以及趨向于端點時函數(shù)的變化趨勢來列式，即可求解；方法二，分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】（1）當(dāng)時，，則．令，則，在上單調(diào)遞減．

又，存在使得，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，有最大值．

另法：當(dāng)時，，令，則，其中，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，即的最大值為．（2）