第13講余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的方法.例1．會利用余弦定理解決解三角形問題.【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：余弦定理及辨析考點(diǎn)二：余弦定理解三角形考點(diǎn)三：余弦定理邊角互化的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】知識點(diǎn)一、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：余弦定理的變形公式：知識點(diǎn)二、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角．知識點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：余弦定理及辨析例2．(2023·全國·高一）已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的范圍是（

）A． B． C． D．例3．(2023·全國·高一課時練習(xí)）某同學(xué)要用三條長度分別為3,5,7的線段畫出一個三角形，則他將．A．畫不出任何滿足要求的三角形 B．畫出一個銳角三角形C．畫出一個直角三角形 D．畫出一個鈍角三角形例4．(2023·全國·高一課時練習(xí)）下列說法中錯誤的是（

）A．在三角形中，已知兩邊及其一邊的對角，不能用余弦定理求解三角形B．余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此它適用于任何三角形C．利用余弦定理，可以解決已知三角形三邊求角的問題D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例考點(diǎn)二：余弦定理解三角形例5．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．例6．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角所對的邊分別是，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．例7．(2023·全國·高一單元測試）在中，若，則的最大內(nèi)角為（

）A． B． C． D．例8．(2023·江蘇·高一開學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9考點(diǎn)三：余弦定理邊角互化的應(yīng)用例9．(2023·四川·遂寧中學(xué)高一期末（理））在△ABC中，若，則∠A的大小是______．例10．(2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則△ABC是________三角形．例11．(2023·全國·高一課時練習(xí)）的三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，求證：.例12．(2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinAsinB＝cos2．求角A和角B的大小．【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．32．(2023·福建·高考真題（理））在中，角，，的對邊分別為，b，，若，則角的值為（

）．A． B．C．或 D．或3．(2023·廣東·高考真題（文））設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，且，則A． B． C． D．4．(2023·廣東·高考真題（文））如圖：在矩形中，，，垂足為，則______．5．(2023·北京·高考真題（理））在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，則b=_________________6．(2023·江西·高考真題（理））在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．7．（2023·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則___________，___________.【過關(guān)檢測】一、單選題1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，若，則該三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．不能確定2．(2023·全國·高一單元測試）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B等于（

）A． B． C．或 D．或3．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則等于（

）A． B． C．2 D．35．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形6．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在ABC中，，，a，b是方程的兩個根，且，則邊AB的長為（

）A．10 B． C． D．57．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在鈍角三角形中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則邊c的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，，則c的值為（

）A．3 B． C． D．二、多選題9．(2023·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，則可以是（

）A． B． C． D．10．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（

）A．在中，若，則C是銳角B．在中，若，則C．在中，若，則一定是直角三角形D．任何三角形的三邊之比不可能是11．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．12．(2023·江蘇揚(yáng)州·高一期末）如圖所示，中，，點(diǎn)M為線段AB中點(diǎn)，P為線段CM的中點(diǎn)，延長AP交邊BC于點(diǎn)N，則下列結(jié)論正確的有（

）．A． B．C． D．與夾角的余弦值為三、填空題13．(2023·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高一期末）在中，角??所對邊分別是??，若，則___________.14．(2023·上海市控江中學(xué)高一期末）在三角形中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則角的大小是______.15．(2023·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，則________．16．(2023·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）中，，則最大值______．四、解答題17．(2023·新疆石河子一中高一階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，.(1)求；(2)求的值.18．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知在中，角所對的邊分別為，且，，，解此三角形.19．(2023·重慶市第七中學(xué)校高一期末）中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)若，，為邊上的中點(diǎn)，求的長．20．(2023·吉林·長春外國語學(xué)校高一期末）在中，角所對的邊分別為，，(1)求角的大?。?2)若邊，為邊的中點(diǎn)，求線段長．21．(2023·遼寧丹東·高一期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求；(2)若，求邊中線的最大值.22．(2023·四川宜賓·高一期末）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足．(1)求角C；(2)若D為邊AC上一點(diǎn)，BD＝7，a＝8，b＝10，求的值．第13講余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的方法.例1．會利用余弦定理解決解三角形問題.【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：余弦定理及辨析考點(diǎn)二：余弦定理解三角形考點(diǎn)三：余弦定理邊角互化的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】知識點(diǎn)一、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：余弦定理的變形公式：知識點(diǎn)二、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角．知識點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：余弦定理及辨析例2．(2023·全國·高一）已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設(shè)角對應(yīng)的邊為，當(dāng)是最大邊時，，所以，當(dāng)不是最大邊時，，所以，所以的取值范圍是，故選：C.例3．(2023·全國·高一課時練習(xí)）某同學(xué)要用三條長度分別為3,5,7的線段畫出一個三角形，則他將．A．畫不出任何滿足要求的三角形 B．畫出一個銳角三角形C．畫出一個直角三角形 D．畫出一個鈍角三角形答案：D【解析】令長度較長的邊對應(yīng)的角為則畫出一個鈍角三角形故選例4．(2023·全國·高一課時練習(xí)）下列說法中錯誤的是（

）A．在三角形中，已知兩邊及其一邊的對角，不能用余弦定理求解三角形B．余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此它適用于任何三角形C．利用余弦定理，可以解決已知三角形三邊求角的問題D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例答案：A【解析】在三角形中，已知兩邊及其一邊的對角，可用余弦定理列出第三邊的方程，解方程得第三邊，A錯；正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中邊角的關(guān)系，它們適用于任意三角形，B正確；余弦定理可以直接解決已知三邊求角，已知兩邊及其夾角求第三邊的問題，C正確；當(dāng)夾角為90°時，余弦定理就變成了勾股定理．D正確．故選：A．考點(diǎn)二：余弦定理解三角形例5．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．答案：C【解析】因?yàn)?，所以設(shè)，由余弦定理可得.故選：C.例6．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角所對的邊分別是，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，因?yàn)?，所以，故選：D.例7．(2023·全國·高一單元測試）在中，若，則的最大內(nèi)角為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】令，則，所以，所以A最大，所以，因?yàn)樗裕蔬x：C例8．(2023·江蘇·高一開學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9答案：B【解析】由余弦定理可得，又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故選：B考點(diǎn)三：余弦定理邊角互化的應(yīng)用例9．(2023·四川·遂寧中學(xué)高一期末（理））在△ABC中，若，則∠A的大小是______．答案：【解析】因?yàn)椋砜傻?，所以，因?yàn)?，所以．故答案為：．?0．(2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則△ABC是________三角形．答案：直角【解析】由，得＋＋，化簡得，所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形．故答案為：直角例11．(2023·全國·高一課時練習(xí)）的三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，求證：.【解析】證明：由余弦定理得，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴.若，則，與矛盾，所以角只能是銳角，∴，又∵，，∴.例12．(2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinAsinB＝cos2．求角A和角B的大小．【解析】因?yàn)閍2－(b－c)2＝(2－)bc，所以，由余弦定理可知：，因?yàn)?，所以，因?yàn)閟inAsinB＝cos2，所以，因?yàn)椋裕谑怯?，因?yàn)?，所以，所以，即A＝；B＝.【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3答案：D【解析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.2．(2023·福建·高考真題（理））在中，角，，的對邊分別為，b，，若，則角的值為（

）．A． B．C．或 D．或答案：D【解析】，，即，且有意義即，，在中，為或，故選：．3．(2023·廣東·高考真題（文））設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，且，則A． B． C． D．答案：B【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因?yàn)?，所以，故選B．考點(diǎn)：余弦定理．4．(2023·廣東·高考真題（文））如圖：在矩形中，，，垂足為，則______．答案：【解析】在矩形中，由，可知從而，.故答案為：5．(2023·北京·高考真題（理））在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，則b=_________________答案：4【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以；?）因?yàn)?，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形?．(2023·江西·高考真題（理））在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍．【解析】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴．（2）由余弦定理可知，代入可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，又，∴的取值范圍是．7．（2023·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則___________，___________.答案：

【解析】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.【過關(guān)檢測】一、單選題1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，若，則該三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．不能確定答案：A【解析】因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以為等腰三角形，故選：A2．(2023·全國·高一單元測試）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B等于（

）A． B． C．或 D．或答案：B【解析】因?yàn)?，所以，又，所以．故選：B3．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋裕蔬x：B4．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則等于（

）A． B． C．2 D．3答案：D【解析】根據(jù)余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.故選：D.5．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形答案：A【解析】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴該三角形是直角三角形.故選：A6．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在ABC中，，，a，b是方程的兩個根，且，則邊AB的長為（

）A．10 B． C． D．5答案：B【解析】由題意得∵，∴，∴.故選：B7．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在鈍角三角形中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則邊c的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】①當(dāng)C是鈍角時，，則.又，則，所以c的取值范圍是；②當(dāng)B是鈍角時，，則由余弦定理可得：，則，即，解得.又，因此.綜上，c的取值范圍是.故選：C.8．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，，則c的值為（

）A．3 B． C． D．答案：C【解析】在△BCD中，，即，在△DCA中，即，由，解得.故選:C.二、多選題9．(2023·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，則可以是（

）A． B． C． D．答案：ABC【解析】在中，設(shè)內(nèi)角、、的對邊分別為、、，因?yàn)?，可得，則，，.故選：ABC.10．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（

）A．在中，若，則C是銳角B．在中，若，則C．在中，若，則一定是直角三角形D．任何三角形的三邊之比不可能是答案：ACD【解析】對于A，由及余弦定理可得，又，所以，所以C是銳角，故A正確；對于B，由及余弦定理可得，又，所以，所以A是銳角，所以，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，所以，所以，則，所以一定是直角三角形，故C正確；對于D，若三角形三邊之比是，不妨設(shè)三邊分別為，則兩短邊之和為，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故任何三角形的三邊之比不可能是，故D正確．故選：ACD．11．(2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．答案：BD【解析】根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因?yàn)?，所以或，故選：BD.12．(2023·江蘇揚(yáng)州·高一期末）如圖所示，中，，點(diǎn)M為線段AB中點(diǎn)，P為線段CM的中點(diǎn)，延長AP交邊BC于點(diǎn)N，則下列結(jié)論正確的有（

）．A． B．C． D．與夾角的余弦值為答案：AC【解析】對A，，故A正確；對B，設(shè)，則由A，，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得，故，故，所以，即，故B錯誤；對C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正確；對D，在中，，，故，故D錯誤；故選：AC三、填空題13．(2023·上海·華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高一期末）在中，角??所對邊分別是??，若，則___________.答案：【解析】，，，.故答案為：.14．(2023·上海市控江中學(xué)高一期末）在三角形中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則角的大小是______.答案：.【解析】由，得，由余弦定理得，因?yàn)椋?，故答案為?15．(2023·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，則________．答案：【解析】在△ABC中，AB=3，AC=1，，余弦定理可得，即.在△ADC中，設(shè)BD=m，則.余弦定理可得即…①.在△ABD中，余弦定理可得.即:…②，由①②求解得:故答案為：16．(2023·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）中，，則最大值______．答案：【解析】設(shè)，，，由