第二十三章三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)思維導(dǎo)圖知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)1．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(k∈Z)

函數(shù)性質(zhì)y＝sinxy＝cosxy＝tanx定義域RR

圖像值域[－1，1][－1，1]R對(duì)稱性對(duì)稱軸：

對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈Z)對(duì)稱軸：x＝kπ(k∈Z)；對(duì)稱中心：

對(duì)稱中心：

周期2π2ππ單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)單調(diào)減區(qū)間：

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)單調(diào)增區(qū)間：

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)2.“五點(diǎn)法”作圖(1)y＝sinx的圖像在[0，2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cosx的圖像在[0，2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的特征若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)[A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)]表示一個(gè)振動(dòng)量，則A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．y＝Asin(ωx＋φ)的圖像變換(1)若先平移再伸縮，則平移的單位|φ|.(2)若先伸縮再平移，則平移的單位.5．函數(shù)y＝asinx＋bcosx可化成正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的形式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝，其中tanθ＝，常見(jiàn)形式是a∶b＝1∶1(∶)，a∶b＝1∶，a∶b＝3∶4.典例解析典例解析【例1】辨析感悟：對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)理解．(1)由sin(30°＋120°)＝sin30°知，120°是正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)的一個(gè)周期．()(2)函數(shù)y＝是奇函數(shù)．()(3)函數(shù)y＝sinx的對(duì)稱軸方程為x＝2kπ＋(k∈Z)．()(4)存在x∈R，使得2sinx＝3.()【變式訓(xùn)練1】函數(shù)sinα＝，求a的取值范圍【例2】求函數(shù)y＝cos2x＋sinx－1，x∈[－π，0]的最大值與最小值．【變式訓(xùn)練2】求函數(shù)y＝cos2x－sinx，x∈[0，π]的最大值與最小值．【例3】已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖像如圖所示，則ω＝________.【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Asin(wx＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的一個(gè)最高點(diǎn)為，一個(gè)最低點(diǎn)為，則w＝_______，φ＝________.【例4】已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且(1)求ω和φ的值；(2)作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖像．【變式訓(xùn)練4】函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)，圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為.求：(1)φ的值；(2)f(x)的增區(qū)間．【例5】已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期為π，且圖像上有一個(gè)最低點(diǎn)為M.求f(x)的解析式．【變式訓(xùn)練5】已知函數(shù)f(x)＝Asin(wx＋φ)(A>0，w>0，|φ|<π)的最小正周期為4π，且圖像有一個(gè)最低點(diǎn)為.求f(x)的解析式．【例6】將函數(shù)y＝cos2x的圖像怎樣平移可以得到函數(shù)y＝cos的圖像？【思路點(diǎn)撥】利用左“加”右“減”的平移規(guī)律．【變式訓(xùn)練6】函數(shù)y＝的圖像通過(guò)向右平移個(gè)單位，得到另一個(gè)函數(shù)圖像，求平移后函數(shù)的解析式．【例7】已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x.求f(x)的最小正周期和對(duì)稱軸方程．【變式訓(xùn)練7】已知函數(shù)f(x)＝.求f(x)的最小正周期和最大值．高考鏈接高考鏈接1．函數(shù)y＝的圖像是()2．函數(shù)y＝的最小正周期是()A.B．πC．2πD．4π3.把函數(shù)y＝的圖像向右平移，得到的圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝4．(四川省2018年對(duì)口升學(xué)考試試題)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)設(shè)△ABC的面積為S，證明：S＝；(2)已知△ABC的面積是1.記u＝a2＋b2－abcosC.證明：u≥.同步精練同步精練選擇題1．將函數(shù)f(x)＝的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖像，則g(x)的解析式為()A．g(x)＝cos2xB．g(x)＝cos2x－2C．g(x)＝D．g(x)＝2．函數(shù)f(x)＝2cos2x＋1是()A．最小正周期為2π的奇函數(shù)B．最小正周期為2π的偶函數(shù)C．最小正周期為π的奇函數(shù)D．最小正周期為π的偶函數(shù)3．函數(shù)y＝cos2x的圖像的一個(gè)對(duì)稱軸是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝4．函數(shù)y＝的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為()A.B.C.D.5．下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝6．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件填空題7．要得到函數(shù)y＝的圖像，只需將函數(shù)y＝的圖像向_______平移________個(gè)單位．8．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0)在閉區(qū)間[－π，0]上的圖像如圖所示，則ω＝_______.9．函數(shù)f(x)＝2sin22x的最小正周期為_(kāi)_______．10．函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)椋獯痤}11．求函數(shù)y＝的單調(diào)區(qū)間．12．函數(shù)y＝sin2x＋2sin2x－3cos2x.求：(1)最小正周期；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，f(x)取得最值，最值為多少？第二十三章三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)思維導(dǎo)圖知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)1．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(k∈Z)

函數(shù)性質(zhì)y＝sinxy＝cosxy＝tanx定義域RR

圖像值域[－1，1][－1，1]R對(duì)稱性對(duì)稱軸：

對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈Z)對(duì)稱軸：x＝kπ(k∈Z)；對(duì)稱中心：

對(duì)稱中心：

周期2π2ππ單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)單調(diào)減區(qū)間：

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)單調(diào)增區(qū)間：

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)2.“五點(diǎn)法”作圖(1)y＝sinx的圖像在[0，2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cosx的圖像在[0，2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的特征若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)[A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)]表示一個(gè)振動(dòng)量，則A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．y＝Asin(ωx＋φ)的圖像變換(1)若先平移再伸縮，則平移的單位|φ|.(2)若先伸縮再平移，則平移的單位.5．函數(shù)y＝asinx＋bcosx可化成正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的形式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝，其中tanθ＝，常見(jiàn)形式是a∶b＝1∶1(∶)，a∶b＝1∶，a∶b＝3∶4.典例解析典例解析【例1】辨析感悟：對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)理解．(1)由sin(30°＋120°)＝sin30°知，120°是正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)的一個(gè)周期．(×)(2)函數(shù)y＝是奇函數(shù)．(×)(3)函數(shù)y＝sinx的對(duì)稱軸方程為x＝2kπ＋(k∈Z)．(×)(4)存在x∈R，使得2sinx＝3.(×)【思路點(diǎn)撥】周期函數(shù)定義中注意“x”的任意性；函數(shù)y＝sinx與y＝cosx的對(duì)稱軸分別是經(jīng)過(guò)其圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且平行于y軸的直線；函數(shù)y＝sinx與y＝cosx的最大值為1，最小值為－1.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)sinα＝，求a的取值范圍解：∵sinα∈[－1，1]，∴－1≤≤1?－3≤a≤1，∴a的取值范圍為[－3，1]．【例2】求函數(shù)y＝cos2x＋sinx－1，x∈[－π，0]的最大值與最小值．【思路點(diǎn)撥】先用二倍角公式把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，再利用二次函數(shù)知識(shí)求解．答案：解：函數(shù)變形為y＝－2sin2x＋sinx，設(shè)t＝sinx，x∈[－π，0]，∴t∈[－1，0]，則函數(shù)變形為f(t)＝－2t2＋t，由二次函數(shù)圖像的性質(zhì)易知，f(t)min＝f(－1)＝－3，f(t)max＝f(0)＝0.【變式訓(xùn)練2】求函數(shù)y＝cos2x－sinx，x∈[0，π]的最大值與最小值．解：∵y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－sin2x－sinx＋1，且x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，∴由二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)可知，當(dāng)sinx＝0時(shí)，ymax＝1，當(dāng)sinx＝1時(shí)，ymin＝－1.【例3】已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖像如圖所示，則ω＝________.思路點(diǎn)撥】先由點(diǎn)和點(diǎn)求出周期，再代入一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求φ.由圖像可知函數(shù)的四分之三周期為＝，T＝3π，ω＝＝【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Asin(wx＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的一個(gè)最高點(diǎn)為，一個(gè)最低點(diǎn)為，則w＝____1____，φ＝________.【提示】?T＝2π?w＝1，又2sin＝2?φ＝【例4】已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且(1)求ω和φ的值；(2)作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖像．【思路點(diǎn)撥】ω可由周期公式T＝求出，再由求出φ.答案：解：(1)周期T＝＝π，∴ω＝2，∵，且<φ<0，∴φ＝【例4】已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且(1)求ω和φ的值；(2)作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖像．答案：解：(2)，列表如下：

0πx0πf(x)10－10答案：圖像如圖所示：【變式訓(xùn)練4】函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)，圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為.求：(1)φ的值；(2)f(x)的增區(qū)間．解：(1)由2x＋φ＝kπ(k∈Z)?x＝，∵一個(gè)對(duì)稱中心為，∴＝(0<φ<π)?φ＝(2)由(1)知，解析式為f(x)＝，－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)?＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，增區(qū)間為(k∈Z)．【例5】已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期為π，且圖像上有一個(gè)最低點(diǎn)為M.求f(x)的解析式．【思路點(diǎn)撥】ω可由周期公式T＝求出，由最低點(diǎn)為M，易知A＝3，再代入M點(diǎn)的坐標(biāo)可求出φ.答案：解：(1)由＝π，得ω＝2.由最低點(diǎn)為M，得A＝3.又2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，0<φ<，∴φ＝.∴f(x)＝.【變式訓(xùn)練5】已知函數(shù)f(x)＝Asin(wx＋φ)(A>0，w>0，|φ|<π)的最小正周期為4π，且圖像有一個(gè)最低點(diǎn)為.求f(x)的解析式．解：＝4π?ω＝，∴f(x)＝Asin，又最低點(diǎn)為，∴A＝2，－2＝2sin，|φ|<π?φ＝，f(x)＝2sin【例6】將函數(shù)y＝cos2x的圖像怎樣平移可以得到函數(shù)y＝cos的圖像？【思路點(diǎn)撥】利用左“加”右“減”的平移規(guī)律．答案：解：y＝＝，∴要由y＝cos2x的圖像得到y(tǒng)＝的圖像，需要對(duì)x減去，即需要將y＝cos2x的圖像向右平移個(gè)單位．【變式訓(xùn)練6】函數(shù)y＝的圖像通過(guò)向右平移個(gè)單位，得到另一個(gè)函數(shù)圖像，求平移后函數(shù)的解析式．解：將函數(shù)y＝3sin的圖像通過(guò)向右平移個(gè)單位后，函數(shù)的解析式變?yōu)閥＝【例7】已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x.求f(x)的最小正周期和對(duì)稱軸方程．【思路點(diǎn)撥】a∶b型正弦型函數(shù)的應(yīng)用．答案：解：(1)f(x)＝sin2x－＝＝，因此，f(x)的最小正周期為π.由2x－＝＋kπ，得對(duì)稱軸方程為x＝，k∈Z.【變式訓(xùn)練7】已知函數(shù)f(x)＝.求f(x)的最小正周期和最大值．解：(1)由題意f(x)＝＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx＋1＝cos2x＋sin2x＋1＝＋1，由此可得T＝＝π，f(x)max＝3.高考鏈接高考鏈接1．函數(shù)y＝的圖像是(B)【提示】最大值為2，最小正周期為T(mén)＝4π.2．函數(shù)y＝的最小正周期是(D)A.B．πC．2πD．4π【提示】化為正弦型y＝，∴T＝4π.3.把函數(shù)y＝的圖像向右平移，得到的圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是(C)A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【提示】y＝cos4．(四川省2018年對(duì)口升學(xué)考試試題)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)設(shè)△ABC的面積為S，證明：S＝；(2)已知△ABC的面積是1.記u＝a2＋b2－abcosC.證明：u≥.解：(1)在△ABC中過(guò)點(diǎn)A作ADBC于D，在Rt△ADC中，|AD|＝|AC|·sinC，∴S＝|BC||AD|＝|BC||AC|·sinC＝absinC.解：(2)由題意有absinC＝1，∴u－＝a2＋b2－abcosC－2＝a2＋b2－abcosC－×1＝a2＋b2－abcosC－absinC＝a2＋b2－ab(cosC＋sinC)＝a2＋b2－≥2ab－2ab＝∵≤1，∴2ab－≥0，∴u≥.同步精練同步精練選擇題1．將函數(shù)f(x)＝的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖像，則g(x)的解析式為(A)A．g(x)＝cos2xB．g(x)＝cos2x－2C．g(x)＝D．g(x)＝【提示】f(x)＝f(x)＝cos2f(x)＝cos2x－1＋1＝cos2x.2．函數(shù)f(x)＝2cos2x＋1是(D)A．最小正周期為2π的奇函數(shù)B．最小正周期為2π的偶函數(shù)C．最小正周期為π的奇函數(shù)D．最小正周期為π的偶函數(shù)【提示】2cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋2＝cos2x＋2.3．函數(shù)y＝cos2x的圖像的一個(gè)對(duì)稱軸是(D)A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【提示】令2x＝kπ，則x＝，k＝1時(shí)，x＝.4．函數(shù)y＝的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為(B)A.B.C.D.【提示】由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．因此，函數(shù)y＝的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)．5．下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是(A)A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【提示】y＝＝－cos2x為偶函數(shù)，且最小正周期是π.6．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的(B)A．充分不必要條件