特訓02平面圖形的基本認識（二）壓軸題（題型歸納）目錄：一、M型、筆尖型、雞翅型、骨折型；二、情景探究類；三、動態(tài)問題；四、三角板問題解答題一、M型、筆尖型、雞翅型、骨折型1．如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．2．如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。?．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側(cè)時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）4．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．5．如圖1，點、分別在直線、上，，.（1）求證：；（提示：可延長交于點進行證明）（2）如圖2，平分，平分，若，求與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，平分，點在射線上，，若，直接寫出的度數(shù)．6．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E，F(xiàn)點，且．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則________；（2）將直角如圖2位置擺放，N為上一點，，請寫出與之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長交直線b于點Q，點P是射線上一動點，探究與的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．7．如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．8．AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．9．如圖1，已知AB//CD，P是直線AB，CD外的一點，PF⊥CD于點F，PE交AB于點E，滿足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度數(shù)；（2）如圖2，射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，當PN到達PF時立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線EM從EA出發(fā)，以相同的速度繞E點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至EP后停止運動，此時射線PN也停止運動．若射線PN、射線EM同時開始運動，設運動時間為t秒．①當射線PN平分∠EPF時，求∠MEP的度數(shù)（0°＜∠MEP＜180°）；②當直線EM與直線PN相交所成的銳角是60°時，則t＝．10．已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數(shù)．11．已知，點為平面內(nèi)一點，于．（1）如圖1，點在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點在兩條平行線之間，過點作于點．①如圖2，說明成立的理由；②如圖3，平分交于點平分交于點．若，求的度數(shù)．12．（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．13．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．14．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．15．如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．16．綜合與探究【問題情境】王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學活動（1）如圖1，，點、分別為直線、上的一點，點為平行線間一點，請直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系；【問題遷移】（2）如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交、于點、，直線分別交、于點、，點在射線上運動，①當點在、（不與、重合）兩點之間運動時，設，．則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②若點不在線段上運動時（點與點、、三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．二、情景探究類17．【探究】(1)如圖1，，，和的平分線交于點，則；(2)如圖2，，，且，和的平分線交于點，則；（用表示）(3)如圖3，，，當和的平分線、平行時，應該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．【挑戰(zhàn)】(4)如果將（2）中的條件改為，再分別作和的平分線，你又可以找到怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形并直接寫出結(jié)論．18．幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”．(1)導入：如圖①，已知，如果，，那么；(2)發(fā)現(xiàn)：如圖②，已知，請判斷與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)運用：(i)如圖③，已知，，點、分別在、上，，如果，那么；如圖④，已知，點、分別在、上，、分別平分和．如果，那么；如圖⑤，已知，點、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么．(用含的代數(shù)式表示)19．綜合與探究，問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學活動．(1)如圖1，，點A，B分別為直線，上的一點，點P為平行線間一點且，，求度數(shù)；問題遷移(2)如圖2，射線與射線交于點O，直線，直線m分別交于點A，D，直線n分別交于點B，C，點P在射線上運動．①當點P在A，B（不與A，B重合）兩點之間運動時，設，．則之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點P不在線段上運動時（點P與點A，B，O三點都不重合），請你直接寫出間的數(shù)量關(guān)系．20．（1）【閱讀理解】如圖①，和的邊互相平行，邊與交于點E．若，，求的度數(shù)．老師在黑板上寫出了部分求解過程，請你完成下面的求解過程．解：如圖②，過點E作，∴（___________）．∵，∴．∵，∴（___________）∴___________．∵，∴．∴___________．（2）【問題遷移】如圖③，D、E分別是的邊、上的點，在直線的右側(cè)作的平行線分別交邊、于點F、G．點P是線段上一點，連接、，若，，求的度數(shù)．（3）【拓展應用】如圖④，D、E分別是的邊、上的點，在直線的右側(cè)作的平行線分別交邊、于點F、G．點P是射線上一點，連接、，若，，直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．21．【問題呈現(xiàn)】小明在學習中遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，于D，猜想、、的數(shù)量關(guān)系．(1)小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路．于是嘗試代入、的值求值，得到下面幾組對應值：/度1030302020/度7070606080/度30a152030上表中＿＿＿＿，于是得到與、的數(shù)量關(guān)系為＿＿＿＿．【變式應用】(2)小明繼續(xù)研究，在圖2中，，，其他條件不變，若把“于D”改為“F是線段上一點，于D”，求的度數(shù)，并寫出與、的數(shù)量關(guān)系：【思維發(fā)散】(3)小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個字母位置，在圖3中，若把（2）中的“點F在線段上”改為“點F是延長線上一點”，其余條件不變，當，時，∠F度數(shù)為＿＿＿＿°．【能力提升】在圖4中，若點F在的延長線上，于D，，，其余條件不變，從別作出和的角平分線，交于點P，試用x、y表示＿＿＿＿．三、動態(tài)問題22．如圖1，直線上有一點，過點在直線上方作射線，將一直角三角板的直角頂點放在處，，，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方，將直角三角板繞著點按每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周停止，設旋轉(zhuǎn)時間為t秒，且．(1)若射線的位置保持不變，則當旋轉(zhuǎn)時間______秒時，邊所在直線與平行；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線的位置保持不變，是否存在某個時刻，使得射線，與中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的平分線？若存在，求出所有滿足題意的的取值，若不存在，請說明理由；23．如圖1，將三角板與三角板擺放在一起，其中，，，固定三角板，將三角板繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點E落在射線的反向延長線上時，即停止旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當邊落在內(nèi)，①與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由；②過點A作射線，，若，，求的度數(shù)；(2)設的旋轉(zhuǎn)速度為3°/秒，旋轉(zhuǎn)時間為t，若它的一邊與的某一邊平行（不含重合情況），試寫出所有符合條件的t的值．24．如圖1，已知兩條直線、被直線所截，分別交于點、點，平分交于點，且．(1)判斷直線與直線是否平行，并說明理由；(2)如圖2，點是射線上一動點（不與點、重合），平分交于點，過點作于點，設，．①當點在點的右側(cè)時，若，求的度數(shù)；②當點在運動過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．25．已知，，直線交于點E，交于點F，點M在線段上，過M作射線分別交射線、于點N、Q．(1)如圖1，當時，求的度數(shù)．(2)如圖2，若和的角平分線交于點G，求和的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，當，且時，作的角平分線．把一三角板的直角頂點O置于點M處，兩直角邊分別與和重合，將其繞點O點順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒，當落在上時，三角板改為以相同速度逆時針旋轉(zhuǎn)．三角板開始運動的同時繞點N以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的為，當和重合時，整個運動停止．設運動時間為t秒，當?shù)囊贿吅腿前宓囊恢苯沁吇ハ嗥叫袝r，請直接寫出t的值．26．在平面直角坐標系中，有點，且m，n滿足．(1)求A、B兩點坐標；(2)如圖1，直線l⊥x軸，垂足為點．點P為直線l上任意一點，若的面積為，求點P的坐標；(3)如圖2，點D為y軸負半軸上一點，過點D作，E為線段AB上任意一點，以O為頂點作，使交于F．點G為線段與線段之間一點，連接，且．當點E在線段上運動時，始終垂直于，試寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．27．如圖，直角三角形與直角三角形的斜邊在同一直線上，，平分，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記為，在旋轉(zhuǎn)過程中：(1)如圖，，當______時，，當______時，；(2)如圖，，當頂點在內(nèi)部時（不包含邊界），邊、分別交、的延長線于點、，①此時的度數(shù)范圍是______．②與度數(shù)的和是否變化？若不變，求出與的度數(shù)和；若變化，請說明理由：______．(3)如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，邊與射線有交點，邊與射線有交點，則與有什么關(guān)系______．(4)如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，邊與射線有交點，邊與射線有交點、請在備用圖中畫出其他可能位置，并寫出與的關(guān)系______．28．如圖，直線PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．(1)若△DEF如圖1擺放，當ED平分∠PEF時，則∠DFM=．(2)若圖2中△ABC固定，將△DEF沿著AC方向平移，邊DF與直線PQ相交于點G，作∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點H（如圖3），求∠GHF的度數(shù)．(3)若圖2中△DEF固定，（如圖4）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，1分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)至AC與直線AN首次重合的過程中，當線段BC與△DEF的一條邊平行時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間．（單位必須化成秒）四、三角板問題29．如圖，直線MN的同側(cè)放置著角度分別為45°、45°、90°的三角板OAB和角度分別為30°、60°、90°的三角板OCD．點A、O、C在直線MN上，點O、B、D三點共線，OA=OB=OC=3cm．(1)如圖1，連接BC，則∠BCD=_________．(2)如圖2，把三角板OAB向右沿NM方向平移1cm得△，交OD于點G，求四邊形的面積．(3)如圖3，三角板OAB繞著點O旋轉(zhuǎn)，當ABMN時，AB與OD交于點H，在OA上取一點P，∠PHO的角平分線HQ與線段BO的延長線交于點Q，試探索∠AHP與∠HQB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(4)如圖4，若將圖1中的三角板OAB繞著點O以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，當邊OA或OB與邊CD平行時，求旋轉(zhuǎn)時間t的值．30．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：(1)①若∠DCE＝45°，則∠ACB的度數(shù)為；②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度數(shù)；(2)由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）；若不存在，請說明理由．31．如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，其中∠ACB．，固定三角板ABC，將三角板ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．(1)當為___度時，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究∠CAD與∠BAE之間的關(guān)系；(3)當△ADE旋轉(zhuǎn)速度為/秒時，且它的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，請直接寫出時間t的所有值．32．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起（其中，，，）．(1)若，則________；(2)如圖1，________；若點E在的上方，設，則________（用含β的式子表示）；(3)當且點E在直線的上方時，將三角尺固定不動，改變?nèi)浅叩奈恢茫冀K保持兩個三角尺的頂點C重合．①當（如圖2）時，直接寫出________﹔②當時，直接寫出________；(4)在（3）的條件下，當且點E在直線的上方，（3）中的兩種情況除外，這兩塊三角板是否還存在一組邊互相平行，若存在，請直接寫出此時所有可能的角度數(shù)值為________，若不存在，請說明理由．特訓02平面圖形的基本認識（二）壓軸題（題型歸納）目錄：一、M型、筆尖型、雞翅型、骨折型；二、情景探究類；三、動態(tài)問題；四、三角板問題解答題一、M型、筆尖型、雞翅型、骨折型1．如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）如圖1，分別過點，作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，由，，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，過點作，設，則，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，于是得到結(jié)論．【解析】（1）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案為：；（2）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如圖2，過點作，由（2）知，，設，則，平分，平分，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。敬鸢浮?1)；(2)；(3)【分析】（1）作EF∥AB，如圖1，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，則∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的結(jié)論得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，從而計算出∠BAE的度數(shù)．【解析】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如圖1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．3．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側(cè)時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過點作，當點在點的左側(cè)時，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點作，當點在點的右側(cè)時，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【解析】解：（1）如圖1，過點作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．4．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進而可求解．【解析】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，點、分別在直線、上，，.（1）求證：；（提示：可延長交于點進行證明）（2）如圖2，平分，平分，若，求與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，平分，點在射線上，，若，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°和平角定義得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義證得，結(jié)合已知即可得出結(jié)論；（3）分當在直線下方和當在直線上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線定義求解即可．【解析】解：（1）如圖1，延長交于點，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）延長交于點，交于點，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴；（3）當在直線下方時，如圖，設射線交于，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，即，解得：．當在直線上方時，如圖，同理可證得，則有，解得：．綜上，故答案為或．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義、角度的運算，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．6．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E，F(xiàn)點，且．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則________；（2）將直角如圖2位置擺放，N為上一點，，請寫出與之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長交直線b于點Q，點P是射線上一動點，探究與的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）見解析【分析】（1）作CP//a，則CP//a//b，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．（2）作CP//a，由平行線的性質(zhì)及等量代換得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分類討論點P在線段GF上或線段GF延長線上兩種情況，過點P作a，b的平行線求解．【解析】解：（1）如圖，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如圖，作CP//a，則CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如圖，當點P在GF上時，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如圖，當點P在GF延長線上時，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)的應用，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，通過添加輔助線及分類討論的方法求解．7．如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得答案；（2）過點E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個圖1，同理可得答案；（3）過點E，點F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．【解析】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．故答案為：180°；（2）如圖2，過點E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如圖3，過點E，點F分別作AB的平行線，類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案為：（n-1）×180°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．8．AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明詳見解析；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明詳見解析；（3）55°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，然后由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”進一步分析即可證得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”進一步分析即可證得∠APC＝∠A?∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行線性質(zhì)得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后進一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根據(jù)∠PEH＝∠PEG?∠GEH即可得出答案．【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明如下：如圖1所示，過點P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明如下：如圖2所示，過點P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，∴∠APC＝∠A?∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH＝∠FEG?∠BEG＝∠BEF＝55°．【點睛】本題主要考查了利用平行線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)求角度的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.9．如圖1，已知AB//CD，P是直線AB，CD外的一點，PF⊥CD于點F，PE交AB于點E，滿足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度數(shù)；（2）如圖2，射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，當PN到達PF時立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線EM從EA出發(fā)，以相同的速度繞E點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至EP后停止運動，此時射線PN也停止運動．若射線PN、射線EM同時開始運動，設運動時間為t秒．①當射線PN平分∠EPF時，求∠MEP的度數(shù)（0°＜∠MEP＜180°）；②當直線EM與直線PN相交所成的銳角是60°時，則t＝．【答案】（1）150°；（2）①∠MEP＝60°或120°；②或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得答案；（2）①由角平分線的定義得∠EPN＝30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得答案；②利用三角形外角性質(zhì)列出方程，通過解方程即可得到問題的答案．【解析】解：（1）如圖1，∵AB//CD，PF⊥CD，∴PF⊥AB，∴∠AMP＝90°，∵∠FPE＝60°，∴∠AEP＝∠FPE+∠AMP＝150°；（2）如圖2，①當PN平分∠EPF時，∠EPN＝30°時，運動時間t＝＝3（秒），此時ME也運動了3秒，∴∠AEM＝3×10°＝30°，∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°；PN繼續(xù)運動至PF時，返回時，當PN平分∠EPF時，運動時間至＝9（秒）時，此時ME也運動了9秒，∴∠AEM＝9×10°＝90°，∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°；當?shù)诙蜳E運動至PF時，當PN平分∠EPF時，運動了（秒）∴∠AEM＝15×10°＝150°，∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合題意；綜上所述，∠MEP的度數(shù)為60°或120°；②如圖3，當0≤t≤6時，此時∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，當150°﹣20t＝120°時，t＝，當150°﹣20t＝60°時，t＝；當6＜t≤12時，此時∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝30°，不成立，當12＜t≤15時，此時∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝270°﹣20t，∠PHE＝270°﹣20t＝60°時，t＝（不合題意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝（不合題意）故答案為：或．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．10．已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出，再根據(jù)平角的含義得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出；設，根據(jù)角的和差可得出，結(jié)合已知條件可求得，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【解析】（1）證明：；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，，，AF平分FH平分設，．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵．11．已知，點為平面內(nèi)一點，于．（1）如圖1，點在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點在兩條平行線之間，過點作于點．①如圖2，說明成立的理由；②如圖3，平分交于點平分交于點．若，求的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見解析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；（2）①過點B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解析】解：（1）如圖1，AM與BC的交點記作點O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導．余角和補角計算的應用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運用．12．（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見解析【分析】（1）過點P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求解；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系．【解析】解：（1）如圖（1）過點P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法．13．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EMAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PLAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可．【解析】解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，∴∠MGN＝15°．【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理．14．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及內(nèi)錯角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結(jié)論即可求解．【解析】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)設PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．15．如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°．【分析】（1）過點A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．【解析】解：（1）證明：如圖1，過點A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準確的推導是解決本題的關(guān)鍵．16．綜合與探究【問題情境】王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學活動（1）如圖1，，點、分別為直線、上的一點，點為平行線間一點，請直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系；【問題遷移】（2）如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交、于點、，直線分別交、于點、，點在射線上運動，①當點在、（不與、重合）兩點之間運動時，設，．則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②若點不在線段上運動時（點與點、、三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）①，理由見解析；②圖見解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線的性質(zhì)，即可得到答案；（2）①過作交于，由平行線的性質(zhì)，得到，，即可得到答案；②根據(jù)題意，可對點P進行分類討論：當點在延長線時；當在之間時；與①同理，利用平行線的性質(zhì)，即可求出答案．【解析】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如圖，過作交于，∵，∴，∴，，∴；②當點在延長線時，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；當在之間時，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等，從而得到角的關(guān)系．二、情景探究類17．【探究】(1)如圖1，，，和的平分線交于點，則；(2)如圖2，，，且，和的平分線交于點，則；（用表示）(3)如圖3，，，當和的平分線、平行時，應該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．【挑戰(zhàn)】(4)如果將（2）中的條件改為，再分別作和的平分線，你又可以找到怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形并直接寫出結(jié)論．【答案】(1)35(2)(3)，證明見詳解(4)【分析】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理得到，再利用三角形的外角性質(zhì)得到，通過計算即可求解；（2）同（1），通過計算即可求解；（3）由，推出，再推導，利用平行線的性質(zhì)即可得到答案；（4）挑戰(zhàn)：利用四邊形內(nèi)角和定理得到，再利用三角形的外角性質(zhì)得到，通過計算即可求解．【解析】（1）解：如圖1，∵平分，平分，∴，，∵，∴，又∵，∴．故答案為：35；（2）如圖2，由（1）可得，，，∴．故答案為：；（3）若，則．證明：如圖3，若，則，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴；（4）挑戰(zhàn)：如圖4，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∴，∵與是對頂角，∴，又∵，∴，．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題關(guān)鍵借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件．18．幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”．(1)導入：如圖①，已知，如果，，那么；(2)發(fā)現(xiàn)：如圖②，已知，請判斷與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)運用：(i)如圖③，已知，，點、分別在、上，，如果，那么；如圖④，已知，點、分別在、上，、分別平分和．如果，那么；如圖⑤，已知，點、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么．(用含的代數(shù)式表示)【答案】(1)(2)，理由見解析(3)(i)；(ii)；(iii)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進而根據(jù)，即可求解；（2）過點作，根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）（）由（2）可得，，得出，根據(jù)，即可求解；（）由“豬蹄模型”，可得，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，繼而根據(jù)，即可求解；（）如圖所示，延長交于點，設，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：如圖1，∵∴∵，，∴∴故答案為：．（2）,如圖所示，過點作，，，，，，；（3）解：（）由（2）可得，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．（）解：如圖所示，∵由“豬蹄模型”，可得，；∵、分別平分和∴∴∴，∴,故答案為：．（）解：如圖所示，延長交于點，設，∵、分別平分和，∴，∵∴，∵∴，∴∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定求角度，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．綜合與探究，問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學活動．(1)如圖1，，點A，B分別為直線，上的一點，點P為平行線間一點且，，求度數(shù)；問題遷移(2)如圖2，射線與射線交于點O，直線，直線m分別交于點A，D，直線n分別交于點B，C，點P在射線上運動．①當點P在A，B（不與A，B重合）兩點之間運動時，設，．則之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點P不在線段上運動時（點P與點A，B，O三點都不重合），請你直接寫出間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)110°(2)①，理由見解析；②或【分析】（1）過P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；（2）①過P作交于E，由，得，，故；②分兩種情況：當P在延長線時，此時；當P在之間時，此時．【解析】（1）解：過P作，如圖：∵，∴，∴，，∴，即，∵，，∴；（2）解：①，理由如下：過P作交于E，如圖：∵，∴，∴，，∴；②當P在延長線時，過P作交的延長線于E，如圖：∵，∴，∴，，∴，此時；當P在之間時，過P作交的延長線于E，如圖：∵，∴，∴，，∴，此時．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)及其運用，解題的關(guān)鍵是作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角轉(zhuǎn)化角．20．（1）【閱讀理解】如圖①，和的邊互相平行，邊與交于點E．若，，求的度數(shù)．老師在黑板上寫出了部分求解過程，請你完成下面的求解過程．解：如圖②，過點E作，∴（___________）．∵，∴．∵，∴（___________）∴___________．∵，∴．∴___________．（2）【問題遷移】如圖③，D、E分別是的邊、上的點，在直線的右側(cè)作的平行線分別交邊、于點F、G．點P是線段上一點，連接、，若，，求的度數(shù)．（3）【拓展應用】如圖④，D、E分別是的邊、上的點，在直線的右側(cè)作的平行線分別交邊、于點F、G．點P是射線上一點，連接、，若，，直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；；；（2）；（3）或【分析】（1）如圖②，過點E作，根據(jù)推理步驟逐步寫出答案即可；（2）如圖，過點P作，先求出，再求，求得即可；（3）當點P在線段上，過點P作，先證明，再證明，得；當點P在線段的延長線上時，與點在線段上的情況類似．【解析】（1）如圖②，過點E作．∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵，∴．∵，，∴（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．∴．∵，∴．∴．故答案是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；∠DCE；．（2）如圖，過點P作，∴，∵，∴，∴，∴．（3）當點P在線段上，過點P作，∴，∵，∴，∴∴；當點P在線段的延長線上時，過點P作，∴，∵，∴，∴∴；綜上所述：或．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、角的和差運算等知識點；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)、正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．21．【問題呈現(xiàn)】小明在學習中遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，于D，猜想、、的數(shù)量關(guān)系．(1)小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路．于是嘗試代入、的值求值，得到下面幾組對應值：/度1030302020/度7070606080/度30a152030上表中＿＿＿＿，于是得到與、的數(shù)量關(guān)系為＿＿＿＿．【變式應用】(2)小明繼續(xù)研究，在圖2中，，，其他條件不變，若把“于D”改為“F是線段上一點，于D”，求的度數(shù)，并寫出與、的數(shù)量關(guān)系：【思維發(fā)散】(3)小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個字母位置，在圖3中，若把（2）中的“點F在線段上”改為“點F是延長線上一點”，其余條件不變，當，時，∠F度數(shù)為＿＿＿＿°．【能力提升】(4)在圖4中，若點F在的延長線上，于D，，，其余條件不變，從別作出和的角平分線，交于點P，試用x、y表示＿＿＿＿．【答案】(1)20，；(2)，；(3)32；(4)．【分析】（1）求出和的大小即可得到的值，再分別用和表示出和，再由即可得出答案，，（2）如圖，過點A作于G，證明，再分別求解，，再結(jié)合（1）可得出三者的關(guān)系，（3）如圖，過作于，而，證明，由（1）同理可得：，從而可得答案；（4）如圖，記，的交點為，證明，再分別利用含，的代數(shù)式表示，，從而可得答案．【解析】（1）解：∵，，∴，∴中，，∵平分，∴，∴，∴；∵，，，∴，，∴（2）如圖，過點A作于G，∵，，∴，∴，∵，，由（1）同理可得：，，∴，由（1）同理可得：∴．（3）如圖，過作于，而，∴，∴，由（1）同理可得：，∴，∵，，∴．（4）如圖，記，的交點為，∵，∴，∵，平分，∴，∵，，平分，∴，∴，∵，∴，由可得：，整理得：．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的角平分線的定義，熟練的利用三角形的內(nèi)角和定理進行計算與推理是解本題的關(guān)鍵．三、動態(tài)問題22．如圖1，直線上有一點，過點在直線上方作射線，將一直角三角板的直角頂點放在處，，，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方，將直角三角板繞著點按每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周停止，設旋轉(zhuǎn)時間為t秒，且．(1)若射線的位置保持不變，則當旋轉(zhuǎn)時間______秒時，邊所在直線與平行；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線的位置保持不變，是否存在某個時刻，使得射線，與中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的平分線？若存在，求出所有滿足題意的的取值，若不存在，請說明理由；【答案】(1)7或，(2)見詳解．【分析】（1）利用平行線性質(zhì)即可求得答案；（2）分三種情況：當平分時，當平分時，當平分時，分別求出t的值即可；【解析】（1）解：如圖3，，，，∵，∴，∴，∴，；如圖4，，，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：；所以當旋轉(zhuǎn)時間為7或秒，邊所在直線與平行；（2）當平分時，如圖5，，∵平分，∴，∴，則；當平分時，如圖6，∵平分，∴，即，則；當平分時，如圖7，∵平分，∴，即，則；綜上所述，滿足題意的t的取值為2或8或32．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，角的運算，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應用等，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程思想解決問題．23．如圖1，將三角板與三角板擺放在一起，其中，，，固定三角板，將三角板繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點E落在射線的反向延長線上時，即停止旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當邊落在內(nèi)，①與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由；②過點A作射線，，若，，求的度數(shù)；(2)設的旋轉(zhuǎn)速度為3°/秒，旋轉(zhuǎn)時間為t，若它的一邊與的某一邊平行（不含重合情況），試寫出所有符合條件的t的值．【答案】(1)①（或），理由見解析；②(2)5或15或35或45或50【分析】（1）①由角的和差關(guān)系可得，，再把兩式相減即可得到結(jié)論；②先求解，-，結(jié)合，，從而可得答案；（2）分5種情況討論：如圖，當時，如圖，當時，如圖，當時，如圖，當時，如圖，當時，再結(jié)合平行線的性質(zhì)可得答案．【解析】（1）解：①（或）；理由如下：，，兩式相減得：，②∵，

∴，∵，∴，∴，∴，；（2）如圖，當時，∴，，∴；如圖，當時，∴，則，此時，∴；如圖，當時，∴，，∴，∴，∴；如圖，當時，∴，即，，共線，∴，∴；如圖，當時，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是角的和差運算，角的倍分關(guān)系，角的旋轉(zhuǎn)定義的理解，平行線的性質(zhì)，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．24．如圖1，已知兩條直線、被直線所截，分別交于點、點，平分交于點，且．(1)判斷直線與直線是否平行，并說明理由；(2)如圖2，點是射線上一動點（不與點、重合），平分交于點，過點作于點，設，．①當點在點的右側(cè)時，若，求的度數(shù)；②當點在運動過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．【答案】(1)，理由見解析(2)①②或，理由見解析【分析】（1）只要證明即可得出結(jié)論．（2）①利用平行線的性質(zhì)與角平分線的定義求出，即可解決問題．②分兩種情況：當點在的右側(cè)時，當點在的左側(cè)在線段上時，分別用表示即可解決問題．【解析】（1）解：結(jié)論：．理由：如圖1中，平分交于點，，．，∴．（2）解：①如圖2中，∵，，，，，，，，．②猜想：或理由：當點在的右側(cè)時，∵，，，，，，，，．當點在的左側(cè)時，∵，∴，又∵平分，平分，∴，，∴，又∵，∴中，，即．綜上所述，或．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．25．已知，，直線交于點E，交于點F，點M在線段上，過M作射線分別交射線、于點N、Q．(1)如圖1，當時，求的度數(shù)．(2)如圖2，若和的角平分線交于點G，求和的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，當，且時，作的角平分線．把一三角板的直角頂點O置于點M處，兩直角邊分別與和重合，將其繞點O點順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒，當落在上時，三角板改為以相同速度逆時針旋轉(zhuǎn)．三角板開始運動的同時繞點N以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的為，當和重合時，整個運動停止．設運動時間為t秒，當?shù)囊贿吅腿前宓囊恢苯沁吇ハ嗥叫袝r，請直接寫出t的值．【答案】(1)(2)(3)，15，，，35【分析】（1）過點M作，利用平行線的性質(zhì)可得，進而可求；（2）過點M作，過點G作，設，則，設，則，求出，進而可得；（3）分5種情況求解即可．【解析】（1）如圖過點M作∴∵∴∴∴∵∴∴（2）如圖過點M作，過點G作設，則∵∴設，則∵∴∴則，∴∴（3）①到達前，時②返回，時③當時④當時⑤當時綜上可知，t的值為10，15，，，35【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論是解（3）本題的關(guān)鍵．26．在平面直角坐標系中，有點，且m，n滿足．(1)求A、B兩點坐標；(2)如圖1，直線l⊥x軸，垂足為點．點P為直線l上任意一點，若的面積為，求點P的坐標；(3)如圖2，點D為y軸負半軸上一點，過點D作，E為線段AB上任意一點，以O為頂點作，使交于F．點G為線段與線段之間一點，連接，且．當點E在線段上運動時，始終垂直于，試寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)或(3)，證明見解析【分析】（1）利用算術(shù)平方根的非負性，可得，從而求出的值，由此即可得；（2）連接，設點的坐標為，根據(jù)建立方程，解方程即可得；（3）過點作于點，設，則，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵，∴，∴，解得：（舍去）或1，∴，∴點；（2）解：如圖，連接，由題意，設點的坐標為，，，當點P位于點Q下方時，，的面積為，，即，解得，則點的坐標為；當點P位于點Q上方時，，的面積為，，即，解得，則點的坐標為；綜上所述，點的坐標為或；（3）解：，證明如下：如圖，過點作于點，設，則，，，解得，，，，又，，，即．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性、坐標與圖形、平行線的性質(zhì)、平行公理推論等知識點，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．27．如圖，直角三角形與直角三角形的斜邊在同一直線上，，平分，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記為，在旋轉(zhuǎn)過程中：(1)如圖，，當______時，，當______時，；(2)如圖，，當頂點在內(nèi)部時（不包含邊界），邊、分別交、的延長線于點、，①此時的度數(shù)范圍是______．②與度數(shù)的和是否變化？若不變，求出與的度數(shù)和；若變化，請說明理由：______．(3)如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，邊與射線有交點，邊與射線有交點，則與有什么關(guān)系______．(4)如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，邊與射線有交點，邊與射線有交點、請在備用圖中畫出其他可能位置，并寫出與的關(guān)系______．【答案】(1)，(2)①；②不變，(3)(4)圖見解析，【分析】（1）當時，，得出，即可得出結(jié)果；當時，，得出，即可得出結(jié)果；（2）①由已知得出，，推出，當點在邊上時，，解得，當點在邊上時，，即可得出結(jié)果；②連接，由三角形內(nèi)角和定理得出，則，由三角形內(nèi)角和定理得出，即，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理用與表示和便可得出結(jié)論；（4）根據(jù)題意作圖，并仿照（3）的方法便可得出結(jié)論．【解析】（1）解：，當時，，，；當時，，，，，，故答案為：，；（2）解：，平分，，，，當點在邊上時，，解得：，當點在邊上時，，當頂點在內(nèi)部時，；故答案為：；與度數(shù)的和不變，.理由如下：連接，如圖所示：在中，，，在中，，即，；（3），，，故答案為：；（4）如圖，同（3）可得．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，合理選擇三角形旋轉(zhuǎn)后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．28．如圖，直線PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．(1)若△DEF如圖1擺放，當ED平分∠PEF時，則∠DFM=．(2)若圖2中△ABC固定，將△DEF沿著AC方向平移，邊DF與直線PQ相交于點G，作∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點H（如圖3），求∠GHF的度數(shù)．(3)若圖2中△DEF固定，（如圖4）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，1分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)至AC與直線AN首次重合的過程中，當線段BC與△DEF的一條邊平行時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間．（單位必須化成秒）【答案】(1)30°(2)67.5°(3)繞點順時針旋轉(zhuǎn)的時間為10s或30s或40s時，線段與的一條邊平行．【分析】（1）利用角平分線定義及平行線性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）分別過點，作FLMN，HRPQ，利用平行線性質(zhì)和角平分線定義即可得出答案；（3）設旋轉(zhuǎn)時間為秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為1分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)，分三種情況：①當BCDE時，②當BCEF時，③當BCDF時，分別求出旋轉(zhuǎn)角度后，列方程求解即可．【解析】（1）解：∵平分，，∴，∵PQMN，，∴，，∴．故答案為：30°（2）解：如圖3，分別過點，作FLMN，HRPQ，∴，，∵FLMN，HRPQ，PQMN，∴FLPQHR，，∴，，∵，∴，∵和的角平分線、相交于點，∴，∴，∴，∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，∴，∴；（3）解：設旋轉(zhuǎn)時間為秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為1分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)，分三種情況：當BCDE時，如圖5，此時ACDF，，，解得：；②當BCEF時，如圖6，∵BCEF，，，，解得：；③當BCDF時，如圖7，延長交于，延長交于，，，，，，，解得：，綜上所述，繞點順時針旋轉(zhuǎn)的時間為10s或30s或40s時，線段與的一條邊平行．【點睛】本題主要考查了平行線性質(zhì)及判定，角平分線定義，平移的性質(zhì)等，添加輔助線，利用平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．四、三角板問題29．如圖，直線MN的同側(cè)放置著角度分別為45°、45°、90°的三角板OAB和角度分別為30°、60°、90°的三角板OCD．點A、O、C在直線MN上，點O、B、D三點共線，OA=OB=OC=3cm．(1)如圖1，連接BC，則∠BCD=_________．(2)如圖2，把三角板OAB向右沿NM方向平移1cm得△，交OD于點G，求四邊形的面積．(3)如圖3，三角板OAB繞著點O旋轉(zhuǎn)，當ABMN時，AB與OD交于點H，在OA上取一點P，∠PHO的角平分線HQ與線段BO的延長線交于點Q，試探索∠AHP與∠HQB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(4)如圖4，若將圖1中的三角板OAB繞著點O以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，當邊OA或OB與邊CD平行時，求旋轉(zhuǎn)時間t的值．【答案】(1)15(2)四邊形的面積=(2+3)×1=2.5；(3)∠AHP=2∠HQB；(4)旋轉(zhuǎn)時間t的值為12或30或48或66秒．【分析】（1）求得∠OBC=∠BCO=45°，利用角的和差即可求解；（2）求得AO=GO=3-1=2(cm)，利用梯形面積公式即可求解；（3）由角平分線的定義得到并設∠PHQ=∠QHO=α，推出∠AHP+2α=90°，∠HQB+