第三節(jié)菱形

遼寧近年中考真題精選1

考點(diǎn)精講2

重難點(diǎn)分層練3遼寧近年中考真題精選命題點(diǎn)與菱形有關(guān)的證明與計(jì)算類(lèi)型一菱形性質(zhì)的計(jì)算(沈陽(yáng)、本溪、遼陽(yáng)、葫蘆島3考；撫順、鐵嶺2考)1.(2022鐵嶺9題3分·源自北師九上P9習(xí)題1.3第3題改編)如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC∶BD＝3∶4，AE⊥CD于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是(

)A.4 B.

C.5 D.

第1題圖B2.(2020撫順本溪遼陽(yáng)9題3分)如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝8，BD＝6，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接OE，若OE＝CE，則OE的長(zhǎng)是(

)A.2 B. C.3 D.4第2題圖B3.(2022葫蘆島14題3分)如圖，在菱形OABC中，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．4.(2023本溪17題3分)菱形ABCD中，AB＝5，AE是BC邊上的高，AE＝4，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為_(kāi)___________．第3題圖(2，－3)4或25.(2021沈陽(yáng)18題8分)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)M，N分別是邊BC，DC上的點(diǎn)，BM＝

BC，DN＝

DC.連接AM，AN，延長(zhǎng)AN交線段BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：△ABM≌△ADN；第5題圖(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD.∵BM＝

BC，DN＝

DC，∴BM＝

DN.∴△ABM≌△ADN(SAS)；(2)若AD＝4，則ME的長(zhǎng)是________．【解法提示】∵四邊形ABCD是菱形，AD＝4，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝4.∴△CNE∽△BAE.∴

＝

.∴BM＝

BC＝3，DN＝

CD＝3.∴MC＝NC＝1.∴＝

.∴CE＝

.∴ME＝MC＋CE＝1＋

＝

.第5題圖6.(2022沈陽(yáng)18題8分·源自人教八下P67復(fù)習(xí)題18第5題改編)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，兩直線相交于點(diǎn)E.(1)求證：四邊形OCED是矩形；第6題圖(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵CE∥OD，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∵∠COD＝90°，∴四邊形OCED是矩形；(2)若CE＝1，DE＝2，則菱形ABCD的面積是______．4第6題圖【解法提示】由(1)知四邊形OCED是矩形，∴OD＝CE＝1，OC＝DE＝2.∵四邊形ABCD是菱形，∴BD＝2OD＝2，AC＝2OC＝4，∴S菱形ABCD＝

AC·BD＝

×4×2＝4.7.(2023沈陽(yáng)18題8分·源自北師九上P9習(xí)題1.3第1題改編)如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF.求證：(1)△ADE≌△CDF；第7題圖證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥CB，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.(2)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE.第7題圖遼寧其他地市真題8.(2021朝陽(yáng)9題3分)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，點(diǎn)G，H分別是AC的三等分點(diǎn)，則

的值為(

)A. B.

C.

D.

第8題圖A9.(2020營(yíng)口16題3分)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，其中OA＝1，OB＝2，則菱形ABCD的面積為_(kāi)_______．第10題圖10.(2023丹東13題3分)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，M、N分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連接MN，若MN＝1，BD＝2，則菱形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．第9題圖48類(lèi)型二菱形判定的證明與計(jì)算第11題圖11.(2023沈陽(yáng)14題3分·源自北師九上P9習(xí)題1.3第4題改編)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點(diǎn)，若AD＝BC＝2，則四邊形EGFH的周長(zhǎng)是________．412.(2023撫順20題12分)如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABF，且交AE于點(diǎn)D，AC與BD相交于點(diǎn)O，連接CD.(1)求∠AOD的度數(shù)；(1)解：∵AE∥BF，∴∠BAE＋∠ABF＝180°，∵AC平分∠BAE，BD平分∠ABF，∴∠BAO＝

∠BAE，∠ABO＝

∠ABF，∴∠AOD＝∠BAO＋∠ABO＝

∠BAE＋

∠ABF＝

×180°＝90°；第12題圖(2)求證：四邊形ABCD是菱形．第12題圖(2)證明：∵AE∥BF，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，同理可證：AB＝AD，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形．13.(2022本溪21題12分)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；第13題圖(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，第13題圖又∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BC＝5，BD＝8，求四邊形ABED的周長(zhǎng)．(2)解：∵在菱形ABCD中，DA＝AB＝BC＝CD＝5，∴∠DBC＝∠BDC，∵DE⊥BD，∴∠DBC＋∠E＝∠BDC＋∠CDE＝90°，∴∠E＝∠CDE，∴CE＝CD＝5，∴BE＝10，第13題圖第13題圖又∵在Rt△BDE中，BD＝8，∴由勾股定理得DE＝＝＝6，∴四邊形ABED的周長(zhǎng)為AB＋AD＋DE＋BE＝5＋5＋6＋10＝26.判定面積性質(zhì)邊角對(duì)角線對(duì)稱性菱形考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】北師：九上第一章P2～P10；

人教：八下第十八章P55～P58.性質(zhì)1.邊四條邊相等對(duì)邊平行2.角：對(duì)角相等3．對(duì)角線對(duì)角線互相__________每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角(人教獨(dú)有)4．對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，有______條對(duì)稱軸(不包括正方形)判定1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(定義)2．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形3．四條邊相等的四邊形是菱形面積：S＝_______(m，n分別表示兩條對(duì)角線的長(zhǎng))垂直平分2重難點(diǎn)分層練例1?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.一題多設(shè)問(wèn)(1)添加一個(gè)條件__________，可使平行四邊形ABCD為菱形；【判定依據(jù)】_______________________________________________．AC⊥BD對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB；【判定依據(jù)】一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形(2)若點(diǎn)E、F分別是OA、OC的中點(diǎn)，且AC⊥BD，則四邊形BEDF是______形．【判定依據(jù)】_______________________________________________．菱對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形例2菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.一題多設(shè)問(wèn)(1)若∠ABC＝110°，則∠ACD＝________°；(2)若菱形ABCD的周長(zhǎng)為4，∠BCD＝60°，那么菱形的對(duì)角線BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______；(3)若AC＝24，BD＝10，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)______________；(4)若AB＝3，BD＝2，則菱形ABCD的面積為_(kāi)____________；(5)若

＝

，則sin∠DAB的值為_(kāi)_______．351524提升關(guān)鍵能力例3在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°.一題多設(shè)問(wèn)(1)如圖①，將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形AEFG，點(diǎn)E在AC線段上，EF與CD交于點(diǎn)P，則DP的長(zhǎng)是________；例3題圖①－1(2)如圖②，點(diǎn)H為AD的中點(diǎn)，連接HC，將菱形ABCD翻折，使點(diǎn)A落在CH上點(diǎn)I處，折痕交AB于點(diǎn)L，線段IC的長(zhǎng)為_(kāi)_______；例3題圖②－1(3)如圖③，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N是對(duì)角線AC所在直線上一點(diǎn)，且AN＝AD，直線DN交直線BC于點(diǎn)P，求CP的長(zhǎng)．例3題圖③(3)解：如圖③，當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，AB＝BC，∵∠DAB