專題05最短路徑的三種考法類(lèi)型一、坐標(biāo)系的最值問(wèn)題（和最小，差最大問(wèn)題）例．在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2·)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點(diǎn)A在x軸正半軸上）.（1）若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD.①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是OB一動(dòng)點(diǎn)，且OM+NM的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.【變式訓(xùn)練1】如圖所示，點(diǎn)A(a,0)，B(0,b)，且a，b滿足(a-1)2+|2b-2|=0．若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，以線段PB為邊構(gòu)造等腰直角△BPE（P為頂點(diǎn)連接AE.(1)如圖1所示，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O，A之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AB、AE之間的位置關(guān)系為；并加以證(3)如圖3所示，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若AE所在直線與y軸交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)OE+BE的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)OE與BE之間的數(shù)量關(guān)系.【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2·)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點(diǎn)A在x軸（1）若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD.①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是OB一動(dòng)點(diǎn)，且OM+NM的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.類(lèi)型二、幾何圖形中的最短路徑問(wèn)題上．當(dāng)CP十CD十DE取最小值時(shí)，此時(shí)7PCD的度數(shù)為()例2．如圖，在三角形△ABC中，7BAC=50o，AB=AC，BDTAC于D，M，N分別是線段BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，BM=CN，當(dāng)AM十AN最小時(shí)，7MAD=.【變式訓(xùn)練1】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等邊三角形，P是上BAC的平分線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PD，則PC+PD的最小值為.【變式訓(xùn)練2】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC的長(zhǎng)為4，面積為24，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+MD的最小值為()【變式訓(xùn)練3】如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF周長(zhǎng)最小時(shí)，∠CFE的大小是()類(lèi)型三、最短路徑問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用例1.如圖1，直線a，b表示一條河的兩岸，且a∥b現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長(zhǎng)度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊A經(jīng)橋過(guò)河到村莊B現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖2設(shè)計(jì)兩種：小明：作AD丄a，交a，b于點(diǎn)D，點(diǎn)C．在CD處建橋．路徑是A-C-D-B.小紅：作AD丄a，交a，b于點(diǎn)D，點(diǎn)C；把CD平移至BE，連AE，交b于G，作GF丄a于F．在FG處建橋．路徑是A-G-F-B.（1）在圖2中，問(wèn)：小明、小紅誰(shuí)設(shè)計(jì)的路徑長(zhǎng)較短？再用平移等知識(shí)說(shuō)明理由.（2）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計(jì)在FG處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點(diǎn)某小船從舊橋下到新橋下，到達(dá)后立即返回，在兩橋之間不停地來(lái)回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時(shí)14千米，水流每小時(shí)2千米，第二天早上6點(diǎn)時(shí)小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間（未到兩橋）且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離.例2．如圖a，圓柱的底面半徑為4cm，圓柱高AB為2cm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線．小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：高線AB＋底面直徑BC，如圖a所示，設(shè)長(zhǎng)度為l1.路線2：側(cè)面展開(kāi)圖中的線段AC，如圖b所示，設(shè)長(zhǎng)度為l2.(1)你認(rèn)為小明設(shè)計(jì)的哪條路線較短？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為2cm，高AB為4cm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算結(jié)果保留π)①此時(shí)，路線1的長(zhǎng)度l1=，路線2的長(zhǎng)度l2=；②所以選擇哪條路線較短？試說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練】閱讀下列材料，解決提出的問(wèn)題：最短路徑問(wèn)題:如圖（1點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線l上找到一個(gè)點(diǎn)C，使得點(diǎn)C到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.如圖（2如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)C，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離和最短？我們可以利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)B，這時(shí)對(duì)于直線l上的任一點(diǎn)C，都保持CB＝CB，從而把問(wèn)題（2）變?yōu)閱?wèn)題（1因此，線段AB與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.為AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小.任務(wù)：數(shù)學(xué)思考（1）材料中劃線部分的依據(jù)是.（2）材料中解決圖（2）所示問(wèn)題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是填字母代號(hào)即可）A．轉(zhuǎn)化思想B．分類(lèi)討論思想C．整體思想遷移應(yīng)用（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠BAC＝15°,點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為cm.課后訓(xùn)練1．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF+CE取得最小值時(shí)，∠AFB=°.點(diǎn)，則AP+PQ的最小值等于()DE上分別找到一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小，則上AMN+上ANM的度數(shù)為()4．如圖，△ACD中，AB垂直CD于點(diǎn)B，且AB=CD，在直線CD上方有一動(dòng)點(diǎn)M滿足S△MCD=S△ACD，則點(diǎn)M到C、D兩點(diǎn)距離之和最小時(shí)，上MDB=度.5．如圖，在銳角ΔABC中，AC=8cm，SΔABC=18cm2，AD平分上BAC，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是cm.6．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+DE的最小值為.7．如圖1，已知直線l的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線l上找一點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和最短的問(wèn)題，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線l的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)，通過(guò)這種方法可以求解很多問(wèn)題.（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3)，動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，求PA+PB的最小值；M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+M