5.1導數(shù)的概念及其意義

5.1.1變化率問題

5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義

學習目標

1.通過對實例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，

了解導數(shù)概念的實際背景,達成數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

2.理解函數(shù)的平均變化率、瞬時變化率,會求函數(shù)在某一點附近的平

均變化率,發(fā)展數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

3.理解導數(shù)的概念,會利用導數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導數(shù)，增強

邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

4.理解導數(shù)的幾何意義,會求曲線上某點處的切線方程,提升直觀想

象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

在實際生產(chǎn)生活中，我們需要研究一些物體的瞬時變化率,例如:

2

⑴摩托車的運動方程為s=8+3t,其中s表示位移,t表示時間，知道

它在某一時刻的瞬時速度就可以更好地指導運動員進行比賽；

⑵冶煉鋼鐵時需要測定鐵水的瞬時溫度來確定其質(zhì)量標準；

(3)凈化飲用水時需要根據(jù)凈化費用的瞬時變化率來控制凈化成本.

探究:上述實例中都涉及某個量的瞬時變化率,在數(shù)學意義上,這些實

際上是某個量的函數(shù)的瞬時變化率,它在數(shù)學上稱為什么？

提示：函數(shù)的導數(shù).

［問題1］物體做自由落體運動的方程是s(t)［gt2.

(1)如何求出該物體在［3,3+At］這段時間內(nèi)的平均速度？

(2)當At趨近于0時，問題⑴中的平均速度趨近于幾?怎樣理解這一

速度？

提示：(1)As=|g(3+At)2-|g=3gAt+|g(At)2,

v=^|=3g+|gAt=g(3+1△t).

⑵當△t趨近于0時,穿趨近于3g,這時的平均速度即為t=3時的瞬

時速度.

1.平均速度與瞬時速度

(1)平均速度.

一般地,在tiWtWt2這段時間里,物體的平均速度聲竺占”出

(2)瞬時速度.

把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.物體在某一時刻t。的瞬時速

度為當時間間隔M11無限趨近于o時平均速度的極限，即

V］jm-(to+At)-九(七0)

-oAt

［思考1］如果某物體在某時間段內(nèi)的平均速度為0,能否判定該物體

在此時間段內(nèi)的瞬時速度都為0?

提示:不能.

［做一做1］質(zhì)點按規(guī)律s(t)=at+l運動,若t=2時刻的瞬時速度為右

則a的值為.

在刀士匚.s(2+At)~s(2)1

解析:1小—H一=a=?

答案號

［問題2］⑴如圖，當點Pn(xn,f(x))(n=l,2,3,4),沿著曲線f(x)趨近

于點P(xo,f(xo))時,割線PPn的變化趨勢是什么？

⑵當點Pn無限趨近于點P時,割線PR的斜率k與切線PT的斜率k

有什么關(guān)系？

提示：⑴當點Pn趨近于點P時,割線PR趨近于點P處的切線PT.

⑵割線PR的斜率是當點匕無限趨近于點P時,上無限

xn-x0

趨近于切線PT的斜率k.

2.割線的斜率和切線的斜率

⑴割線的斜率.

如圖所示：

平均變化率d+冬)一八久。)表示割線p°p的斜率.

AxAx

(2)切線與切線的斜率.

①曲線的切線.

如圖所示：

在曲線y=f(x)上任取一點P(x,在x)),如果當點P(x,f(x))沿著曲線

y=f(x)無限趨近于點P。(xo,f(xo))時,割線PoP無限趨近于一個確定的

位置,這個確定位置的直線P°T稱為曲線y=f(x)在點P。處的切線.

②切線的斜率.

曲線在某一點處切線的斜率，即當橫坐標間隔1Ax1無限趨近于0時，

割線斜率止吐竺占3的極限，即k=lim/36外加.

△%△%一()

[做一做2]拋物線y=x2+l在點(1,2)處的切線的斜率是.

角軍析:k=lim[(1+Ax)2+1]-(12+1)=lim(2+Ax)=2.

△x—0bx0

答案：2

［問題3］（1）在高臺跳水運動中,某運動員相對于水面的高度h與起

跳后的時間t存在函數(shù)關(guān)系h（t）=-4.9t2+6.5t+10,當At<0時,在［2+

At,2］這段時間內(nèi)的平均速度方是多少?分別計算當A

t=±0.01,±0.001,+0.0001,±0.00001,±0.000001時的大小.

（2）觀察問題⑴中的計算結(jié)果,考慮當At趨近于0時,平均速度具有

什么樣的變化趨勢？

⑶從物理的角度看,事件間隔1A11無限變小時,平均速度無限趨近

于哪個量?用極限符號如何表示？

+—/［、一九（2）-/i（2+At）4.9（At）2+13.lAt.?.

提H示:⑴"---；---；—=------------=-4.9At-13.11.

2-（2+At）-At

當At=-0.01,云-13.051;

當△t=-0.001,萬=T3.0951;

當At=-0.0001,v=-13.09951;

當At=-0.00001,v=-13.099951;

當At=-0.000001,v=-13.0999951;

^At=0.01,v=-13.149;

當At=0.001,萬=T3.1049;

當At=0.0001,v=-13.10049;

當At=0.00001,v=-13.100049;

當At=0.000001,v=-13.1000049.

(2)當At趨近于0,即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨

近于2時,平均速度都趨近于一個確定的值T3.1.

（3）平均速度無限趨近于瞬時速度.可用極限符號表示為

/l（2+At）-/I（2）

lim?=-13.1.

△t—oAt

3.導數(shù)

（1）平均變化率.

把比值?,即?="久。+—）一/（”。）叫做函數(shù)y=f（X）從X。至I］x°+AX的平均

變化率.

⑵導數(shù)的概念.

如果當Ax-0時,平均變化率?無限趨近于一個確定的值，即?有極

AxAx

限,則稱y=f（x）在x=x（）處可導，并把這個確定的值叫做y=f（x）在x=x0

處的導數(shù)（也稱為瞬時變化率），記作（x。）或y'即金

\

)=h包二△幻-

XozmUmf（%（）+f（io）

Ao

%-△%△%-（）△%

（3）導數(shù)的幾何意義.

函數(shù)y=f（x）在x=x（）處的導數(shù)f'（xo）就是切線P0T的斜率k0,即

（

k0=lim/^+^）-/（%o）=f/（xo）.

△久一0AX

⑷導函數(shù).

當x=Xo時,（Xo）是一個唯一確定的數(shù).當x變化時,y=f'（x）是x的

函數(shù),稱它為y=f（x）的導函數(shù)（簡稱導數(shù)）.y=f（x）的導函數(shù)有時也記

作yf-nm/（%+△%）-/（%）

△%-O

［思考2］函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率有什么區(qū)別和聯(lián)系？

提示：（1）平均變化率與瞬時變化率的區(qū)別:平均變化率刻畫函數(shù)值在

區(qū)間［Xi,X2］上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x=x0處變化的快

慢.

⑵平均變化率與瞬時變化率的聯(lián)系：當Ax趨于0時,平均變化率?

△x

趨于一個常數(shù),這個常數(shù)為函數(shù)在x=x。處的瞬時變化率,它是一個固

定值.

［做一做3］設(shè)f（x）=2x+l,則＞（1）=.

/'(1+Ax)-/1⑴

解析:f’

Ax

-L2(1+Ax)+1]-(2X1+1)_9

乙.

△%

答案：2

探究點一平均變化率與瞬時變化率

角度1求函數(shù)的平均變化率

［例1］（1）（2021?東北師大附中高二月考）某物體沿水平方向運動，

其前進距離s（單位:m）與時間t（單位:s）的關(guān)系為s（t）=5t+2t2,則該

物體在運動前2秒的平均速度（單位:m/s）為（）

A.18B.13

13

C.9D.-

2

⑵函數(shù)f（x）=x2+x在x=l到X=l+Ax之間的平均速度為（）

A.Ax+2B.Ax+3

C.2Ax+(Ax)2D.3Ax+(Ax)2

解析：⑴因為s（t）=5t+2t；所以該物體在運動前2秒的平均速度為

d亞二竺=9(m/s),故選C.

22

(2)-f⑴

(1+Ax)-1

(1+Ax)2+(1+AX)-(12+1)(AX)2+3AX

■=Ax+3.故選B.

Ax△%

（1）求函數(shù)平均變化率的三個步驟.

第一步,求自變量的變化量Ax=X2-xi;

第二步,求函數(shù)值的變化量Ay=f(x2)-f(Xi)；

第三步,求平均變化率"二&~3.

-x

△%%2l

⑵求平均變化率的一個關(guān)注點.

求點X。附近的平均變化率,可用皿竽3的形式.

△%

［針對訓練］(1)(2021?遼寧省實驗中學高二月考)函數(shù)y」在x=l到

X

x=3之間的平均變化率為()

A.-B.--

33

C.--D.i

33

(2)已知函數(shù)y=sinx在區(qū)間［0,引和J?上的平均變化率分別為

632

ki,k2,那么ki,k2的大小關(guān)系為.

解析：(1)當X1=1時,yi=；=l,

當X2=3時，y2=1,

所以函數(shù)y，在x=l到x=3之間的平均變化率為￥="左=3=-；.故選

-x

X△%%2i3-13

C.

(2)y=sinx在區(qū)間［0「］上的平均變化率為

6

sin--sinO?

ki=——器——=-：

—71

6

y=sinx在區(qū)間層月上的平均變化率為

.IT.TT

sin—sin

卜2TTJTI-圣絲”所以k2

~2石

答案：⑴C(2)ki>k2

角度2求瞬時速度

［例2］某物體的運動路程s(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系可用函

數(shù)s(t)=t2+t+l表示,求物體在t=lS時的瞬時速度.

解：因為竺二s(l+At)-s⑴

AtAt

22

(1+At)+(1+At)+1-(1+1+1)門A

=---------------A-t---------------=3+At,'

所以lim—=lim(3+At)=3.

即物體在t=ls時的瞬時速度為3m/s.

變式探究1：若本例中的條件不變,試求物體的初速度.

解:求物體的初速度，即求物體在t=0時的瞬時速度，

m*As_S(O+At)-S(0)_

口,%一At

-(-O-+-A-t-)---+-(--O-+-A-t--)-+-l---l=1+At,

At---------'

所以lim—=lim(1+At)=l.

即物體的初速度為1m/s.

變式探究2:若本例中的條件不變,試問物體在哪一時刻的瞬時速度為

9m/s.

解:設(shè)物體在t。時刻的瞬時速度為9m/s.

因為竺=也1處也l=2t°+l+At,

△tAt

所以lim—=lim(2t0+l+At)=2t0+l,

則2。+1=9,所以t0=4.

則物體在4s時的瞬時速度為9m/s.

求瞬時速度的步驟

(1)求位移增量，As=s(t°+At)-s(to);

(2)求平均速度,5噂

(3)取極限，lim-=lims(to+At)-s(t0)；

At-0AtAt-*O

⑷若極限存在,則t。時刻的瞬時速度為v=lim當.

At-OAt

⑨探究點二導數(shù)的概念

［例3］求函數(shù)y=x」在x=l處的導數(shù).

X

解：因為Ay=(l+Ax)一3一(上》

1+Ax1

=Ax+---,

l+Ax

所以也竺工=1+」.

△%Ax1+Ax

所以lim廿lim(1+-^—)=2,

△第一0AX△X-O1+AX

所以函數(shù)y=x」在x=l處的導數(shù)為2.

X

(1)在導數(shù)的概念中，增量的形式是多種多樣的，但無論是哪種形式,

分子中自變量的增量與分母中的增量必須保持一致,常見的形式還

有:

Hm/（x0+Ax）-/（x0）_］血f（而）hmf（Xo+nA￡）-f（久O）

△工一0—△久一0-△久71△K一0nA%

Hmf（x（）+△久）—f（%o-△￡）,I（Xo）.

2△久一02Ax

(2)用導數(shù)定義求函數(shù)在某一點處的導數(shù)的步驟.

①求函數(shù)的增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0)；

②求平均變化率且；

AxAx

③求極限lim

△久一0AX

［針對訓練］⑴已知函數(shù)f(x)在x=x。處可導，若lim3*3=1,

ALOXX

則f'(X。)等于()

A.2B.1C.-1D.0

2

(2)已知f(x)=-,且fz則實數(shù)m的值等于()

%2

A.-4B.2C.-2D.±2

解析：（1）根據(jù)題意,若lim/（%。+2『-"》。）=

△LO

（x

2Xlim/o+2A%）-r（%o）=2f/（x°）=i,

2ALO2AX

則f'（X。）三.故選C.

(2)因為△6"優(yōu))

△XAX

22

—-m-+-A--%——m_____—9_____

A%m(m+Ax)J

所以『（m）=㈣加…-2）2

m2'

所以一2-”、4，解得m=±2.故選D.

?探究點三導數(shù)的幾何意義

［例4］⑴若函數(shù)若x）的導函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù),則函數(shù)f（x）

在區(qū)間［a,b］上的圖象可能是（）

（2）已知曲線C:y=x3+1,求曲線C上橫坐標為2的點處的切線方程.

⑴解析:函數(shù)f（x）的導函數(shù)『（x）在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù),若對任

意X1和X2滿足a〈Xi<X2<b,則有『（a）<f'（X2）<f'（b）,根據(jù)

導數(shù)的幾何意義,可知函數(shù)y=f（x）的切線斜率在區(qū)間［a,b］內(nèi)單調(diào)遞

增，觀察圖象,只有A選項符合.故選A.

（2）解:將x=2代入曲線C的方程得y=4,

所以切點為⑵4）.

yz㈣w

|(2+AX)3+^-1X23-^

=lim-------------------

△0△%

=lim[4+2Ax+-(Ax)2]=4,

△%一03

z=

所以k=y|X=24.

所以曲線在點⑵4)處的切線方程為y-4-4(x-2),

即4x-y-4=0.

變式探究1:本例(2)中，若曲線C在點P(x。,y0)處的切線的傾斜角為

45°,求點P的坐標.

3

W：Ay=|(x+Ax)+J-i^_|

3033u3

23

=XQ?Ax+x0?(Ax)+1(Ax),

所以去賄+x°?Ax+](Ax)2,

所以y'=lim[%o+x?Ax+-(Ax)2]=xj.

003

因為曲線在點P處的切線的傾斜角為45°,

所以斜率為tan45°=1,

即y'=%廣1,得x0=±l,

所以當x0=l時，y0=|;當x0=-l時，y0=l.

即切點坐標為P(T,1)或P(l,9.

變式探究2:本例⑵中，若曲線C在點P(x。,y。)處的切線與直線

x+4y-l=O垂直,求切點P的坐標.

解：由變式探究1可知，曲線C在點P(x。,y。)處的切線斜率為k=就，

由已知曲線C在點P(xo,y0)處的切線與直線x+4y-l=O垂直，

所以據(jù)X(-3=-1,解得就=4,

所以x0=2或x0=-2.

3

當x0=2時,y0=|x2+|=4;

當x°=-2時,丫手口+河.

(1)根據(jù)切線斜率求切點坐標的步驟.

①設(shè)切點坐標(Xo,y0);

②求導函數(shù)f'(x);

③求切線的斜率f'(x。)；

④由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于X。的方程,解方程求Xo；

⑤點(x0,y。)在曲線f(x)上,將(x0,yo)代入求y0,得切點坐標.

⑵求曲線過已知點的切線方程的步驟.

［例1］求函數(shù)f(X)+1在x=xo到X=X0+AX之間的平均速度.

(%o+AK)—f(%o)

解汽

(%()+△%)-X0

(%()+△%)2+1-

(Xo+△%)2+1-(就+1)

△%[J(%o+^x)2+l+/XQ+1]

2x0+Ax

(XQ+AX)2+1+

［例2］已知f(x)在x。處的導數(shù)*(x°)=k,求下列各式的值:

(1)lim/(/")；

△支一02A%

⑵]通戶久0+▲--/(4)-△久)

△久一0

解：⑴因為lim止乎產(chǎn)=f'(xo),

△二一0XQ-^XQ-^X)

即lim-3)=f'(x0)=k.

△久一o△久

所以1血

△久一02Ax

_i]皿fOo)-/(工o-△久)

2△久—02

(2)因為,(久。+(久)-/(配-反)一

(x0+Ax)-(x0-Ax)

久廠△久)為函數(shù)f(x)在區(qū)間［x「AX,Xo+Ax］上的平均變化率,

2Ax

所以當2Ax-0時，/(配+△久)一八刈一心)必趨于f，風上太

2Ax

所以limf-e)=k,

2ALO22C

所以hm/(%o+Ax)-/(xo-Ax)=2k,

△久~0△久

利用導數(shù)的幾何意義求切線方程的方法

⑴若已知點(x。,y。)在已知曲線上,求在點(xo,y0)處的切線方程,先求

出函數(shù)y=f(x)在x=x。處的導數(shù),然后根據(jù)直線的點斜式方程,得切線

z

方程y-yo=f(x0)(x-x0).

⑵若點(xo,y?)不在曲線上,求過點(xo,y0)的切線方程,首先應設(shè)出切

點坐標,然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出等式,求出切點坐標,進而求出

切線方程.

典例探究：求經(jīng)過點⑵0),且與曲線y，相切的直線方程.

X

解:經(jīng)驗證點⑵0)不在曲線y=-±,

X

設(shè)切點為P(xo,yo).

1_1

由ymXQ+AXXQ

-o△x

m~/xx

一

(x0+Ax)?x0

T

x0(%0