專(zhuān)題01圓的取值范圍與最值問(wèn)題題型全歸納【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題．（2）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)截距的最值問(wèn)題．（3）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】解決圓中的范圍與最值問(wèn)題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：斜率型題型二：直線(xiàn)型題型三：距離型題型四：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積型題型五：數(shù)量積與角度型題型六：阿波羅尼斯圓【典例例題】題型一：斜率型例1．(2023·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最大值為_(kāi)__________.例2．(2023·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圓C上，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)及直線(xiàn)PQ的斜率；(2)求MQ的最大值和最小值；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．例3．(2023·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程，則的最大值和最小值的和是（

）A．1 B．0 C． D．變式1．(2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則下列關(guān)于的最值的判斷正確的是（

）A．最大值為2＋，最小值為—2－B．最大值為2＋，最小值為2－C．最大值為－2＋，最小值為－2－D．最大值為—2＋，最小值為2－變式2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，圓．若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓、都有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．(2023·江蘇·常熟市王淦昌高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2題型二：直線(xiàn)型例4．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求的最大值；（2）求的最小值.例5．（多選題）(2023·浙江溫州·高二期中）已知A（4，2），B（0，4），圓，P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．最大時(shí)，例6．（多選題）(2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線(xiàn)上．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線(xiàn)”．在平面直角坐標(biāo)系中作，，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線(xiàn)”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的“歐拉線(xiàn)”方程為B．圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是D．若點(diǎn)在圓上，則的最大值是變式4．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.題型三：距離型例7．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知x，y滿(mǎn)足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．例8．(2023·北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)高二期中）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，求的最大值和最小值．例9．(2023·新疆·高二期中）已知點(diǎn)分別為圓與上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．6變式5．(2023·北京大興·高二期中）已知、是圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足.(1)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)的軌跡方程；(3)求的最小值與最大值.變式6．(2023·江蘇南京·高二階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足方程，則的取值范圍為_(kāi)__________；的最小值為_(kāi)__________.變式7．(2023·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓的方程為：(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)當(dāng)圓半徑最大時(shí)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，求的最小值.變式8．(2023·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，求的最大值與最小值．變式9．(2023·河南·南陽(yáng)市第六完全學(xué)校高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)P(m，n)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_____，最小值為_(kāi)______，的范圍為_(kāi)_______．變式10．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，，過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn)，被圓M截得弦AB，CD，滿(mǎn)足.設(shè)線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為N，則的最小值為_(kāi)__________.變式11．(2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，則的最小值是__．變式12．(2023·天津市第二南開(kāi)中學(xué)高二期中）若直線(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為_(kāi)_______.題型四：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積型例10．（多選題）(2023·福建漳州·高二期中）已知點(diǎn)在圓上，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓C的圓心為 B．圓C的半徑為2C．的最大值為7 D．的最小值為例11．(2023·四川·瀘州市龍馬高中高二階段練習(xí)（文））已知圓C的圓心在第一象限且在直線(xiàn)上，與x軸相切，被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為(1)求圓C的方程；(2)由直線(xiàn)上一點(diǎn)P向圓C引切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值．例12．(2023·新疆·高二期中）已知圓，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).(1)若直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)與圓相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線(xiàn)的斜率.變式13．(2023·四川·仁壽一中高二期中（文））已知圓C：，點(diǎn)P是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_____變式14．(2023·北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，為原點(diǎn)，以為直徑作圓．(1)求圓的方程；(2)設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值．變式15．(2023·浙江省諸暨市草塔中學(xué)高二階段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)的圓的圓心M在直線(xiàn)上，且y軸被該圓截得的弦長(zhǎng)為4．(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式16．(2023·河南·濮陽(yáng)南樂(lè)一高高二階段練習(xí)（文））已知圓，直線(xiàn)，為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)做圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則四邊形的面積的最小值為_(kāi)_______變式17．（多選題）(2023·江蘇·常熟市王淦昌高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線(xiàn)與圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓的半徑為4B．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)C．直線(xiàn)與圓的相交弦長(zhǎng)的最小值為D．直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為，則面積的最大值為2變式18．(2023·黑龍江·大慶四中高二期中）已知圓和圓，，分別是圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則關(guān)于的最小值為_(kāi)_____．變式19．(2023·北京·大峪中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)向直線(xiàn)（k為參數(shù)）作垂線(xiàn)，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線(xiàn)段的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6變式20．(2023·安徽·高二階段練習(xí)）已知圓，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．變式21．(2023·四川宜賓·高二期末（文））直線(xiàn)分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．20 D．22變式22．(2023·湖南·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，分別為圓：，：上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．變式23．(2023·福建省廈門(mén)集美中學(xué)高二階段練習(xí)）由直線(xiàn)上的一點(diǎn)向圓C：引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為（

）A．1 B． C． D．2變式24．(2023·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則△的面積的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．題型五：數(shù)量積與角度型例13．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.例14．（多選題）(2023·河北石家莊·高二期末）設(shè)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，線(xiàn)段是圓的一條動(dòng)弦，為弦的中點(diǎn)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)在定圓上B．點(diǎn)在圓外C．線(xiàn)段長(zhǎng)的最大值為D．的最小值為例15．（多選題）(2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．切線(xiàn)的方程為B．圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)方程為C．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為D．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為變式25．(2023·江蘇常州·高二期中）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)____________.變式26．(2023·湖北·高二期中）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“如圖，點(diǎn)M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得∠MPN最大”.如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過(guò)M，N兩點(diǎn)且和射線(xiàn)QB相切的圓的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M（1，2），N（3，4），點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_(kāi)________.變式27．(2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓及定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q為圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為弦PQ的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)M到點(diǎn)的距離的最大值為_(kāi)_________．題型六：阿波羅尼斯圓例16．(2023·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知圓上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A，，則的最小值為_(kāi)____．例17．(2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)和，圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．(1)求圓的方程；(2)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，在軸上求出一點(diǎn)（異于點(diǎn)使得點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之比為定值，并求的最小值．例18．(2023·廣東·仲元中學(xué)高二期中）已知圓和點(diǎn)，若定點(diǎn)和常數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有，則_________，面積的最大值為_(kāi)_____________．專(zhuān)題01圓的取值范圍與最值問(wèn)題題型全歸納【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題．（2）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)截距的最值問(wèn)題．（3）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】解決圓中的范圍與最值問(wèn)題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：斜率型題型二：直線(xiàn)型題型三：距離型題型四：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積型題型五：數(shù)量積與角度型題型六：阿波羅尼斯圓【典例例題】題型一：斜率型例1．(2023·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最大值為_(kāi)__________.答案：【解析】得，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的上半部分，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，過(guò)作半圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，如下圖所示，則，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以直線(xiàn)的斜率為，也即的最大值為.故答案為：例2．(2023·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圓C上，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)及直線(xiàn)PQ的斜率；(2)求MQ的最大值和最小值；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(a，a＋1)在圓C上，所以，即，解得，所以，所以，的斜率為.(2)由得，所以圓的圓心，半徑，所以，所以，.(3)設(shè)，因?yàn)楸硎緢A上任意一點(diǎn)與連線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)的方程為，即，由直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)，可得，化簡(jiǎn)得，解得，所以的最大值為、最小值為.例3．(2023·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程，則的最大值和最小值的和是（

）A．1 B．0 C． D．答案：B【解析】由題意，，表示以（2,0）為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)P（x,y）與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，如圖：易知，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)分別取得最大值和最小值設(shè)切線(xiàn)為：，于是圓心到切線(xiàn)的距離故的最大值和最小值的和是0故選：B變式1．(2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則下列關(guān)于的最值的判斷正確的是（

）A．最大值為2＋，最小值為—2－B．最大值為2＋，最小值為2－C．最大值為－2＋，最小值為－2－D．最大值為—2＋，最小值為2－答案：B【解析】可化為.可看作圓上任意一點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率.記，則，記為直線(xiàn)l.當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，k可以取得最值.此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離，解得：.所以.故選：B.變式2．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，圓．若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓、都有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖，由題意可知，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與兩個(gè)圓分別相切時(shí)為臨界位置，即直線(xiàn)介于圖形中的兩直線(xiàn)之間，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，與相切時(shí)有，解得或，由圖知舍去，與相切時(shí)有，解得或，由圖知舍去，所以直線(xiàn)l斜率的取值范圍是．故選：D變式3．(2023·江蘇·常熟市王淦昌高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2答案：B【解析】由可得，其表示的是圓心在，半徑為的圓，設(shè)，其表示的是點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，由可得，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)取得最值，此時(shí)有，解得，所以的最大值為，故選：B題型二：直線(xiàn)型例4．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求的最大值；（2）求的最小值.【解析】（1）由題意，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，整理得，則表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，當(dāng)該直線(xiàn)與圓相切時(shí)，取得最大值和最小值，又由，解得，所以所以的最大值為.（2）設(shè)，整理得，則表示直線(xiàn)在軸上的截距，當(dāng)該直線(xiàn)與圓相切時(shí)，取得最大值和最小值，由，解得，所以所以的最小值為.例5．（多選題）(2023·浙江溫州·高二期中）已知A（4，2），B（0，4），圓，P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．最大時(shí)，答案：AC【解析】對(duì)于A，，A正確.對(duì)于B，記AB的中點(diǎn)為D，,，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，當(dāng)直線(xiàn)與圓C相切時(shí)，b取到最值，令，，所以最小值為，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)PB與圓C相切時(shí)，最大，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AC例6．（多選題）(2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線(xiàn)上．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線(xiàn)”．在平面直角坐標(biāo)系中作，，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線(xiàn)”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的“歐拉線(xiàn)”方程為B．圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是D．若點(diǎn)在圓上，則的最大值是答案：ACD【解析】，由題意可得的歐拉線(xiàn)為的中垂線(xiàn)，由，可得的中點(diǎn)為，且，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，即，故A正確；的“歐拉線(xiàn)”與圓相切，圓心到直線(xiàn)的距離，圓的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離，圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為，故B錯(cuò)誤；令，，代入圓的方程，可得，由于在圓上，有根，則，整理得，解得，的最小值為，即的最小值為，故C正確；因?yàn)楸硎緢A上的點(diǎn)與連線(xiàn)的斜率，設(shè)，則，即，所以，即，解得，所以的最大值為，故D正確；故選：ACD．變式4．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.答案：20【解析】由整理得，可知其圖象是半圓，圓心為，半徑為.又，其幾何意義為點(diǎn)到直線(xiàn)距離的5倍，故分析點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值即可.如圖，作直線(xiàn)，點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離，所以到直線(xiàn)的距離的最小值為，即的最小值為4，所以的最小值為.故答案為：20題型三：距離型例7．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知x，y滿(mǎn)足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．【解析】因?yàn)?，又點(diǎn)(x，y)在圓(x－1)2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，即S表示圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(－1，1)的距離，顯然最小值為定點(diǎn)與圓心的距離減去半徑，即最小值為，所以的最小值為.例8．(2023·北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)高二期中）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，求的最大值和最小值．【解析】（1）由題意可設(shè)：圓心，由半徑得：，解得：，圓心，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）知：圓心，半徑，，，.例9．(2023·新疆·高二期中）已知點(diǎn)分別為圓與上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．6答案：A【解析】圓A的圓心坐標(biāo)為，半徑為1；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.因?yàn)閮蓤A的圓心距，所以?xún)蓤A外離，.故選：A．變式5．(2023·北京大興·高二期中）已知、是圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足.(1)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)的軌跡方程；(3)求的最小值與最大值.【解析】（1）由題意可知，，而直線(xiàn)為軸，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將代入圓的方程可得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.（2）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，連接，則，且，所以，，整理可得，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.（3）因?yàn)?，則點(diǎn)在圓內(nèi)，記圓的圓心為，半徑為，則，則，即，所以，當(dāng)點(diǎn)為圓與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)時(shí)，取最大值，當(dāng)點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以，.因此，的最小值為，最大值為.變式6．(2023·江蘇南京·高二階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足方程，則的取值范圍為_(kāi)__________；的最小值為_(kāi)__________.答案：

【解析】由題意得（1）方程可化為，圓心，半徑為2.，的取值范圍為.（2）表示圓上的一點(diǎn)與距離的平方與1的差.由平面幾何知識(shí)知，過(guò)和圓心的直線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處分別取得最大值和最小值.又圓心到的距離為，所以的最小值為.故答案為：；.變式7．(2023·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓的方程為：(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)當(dāng)圓半徑最大時(shí)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，求的最小值.【解析】（1）方程配方得：，它表示圓，則，解得；（2）由（1），時(shí)，，圓方程為，圓心為，圓心到直線(xiàn)的距離為，已知直線(xiàn)與圓相離，所以的最小值是．變式8．(2023·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，求的最大值與最小值．【解析】已知方程可化為，則此方程表圓，且圓心C的坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)．又．它表示圓上的到的距離的平方再加；所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E的距離最大或最小時(shí)，所求式子就取最大值或最小值，顯然點(diǎn)P與點(diǎn)E距離的最大值為，點(diǎn)P與點(diǎn)E距離的最小值為.又因?yàn)?，則的最大值為，的最小值為；即的最大值為51，最小值為11.變式9．(2023·河南·南陽(yáng)市第六完全學(xué)校高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)P(m，n)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_____，最小值為_(kāi)______，的范圍為_(kāi)_______．答案：

64

4

【解析】由圓C的圓心為，半徑為3，且P在圓上，則表示在圓上點(diǎn)到距離的平方，而圓心到的距離為，所以在圓上點(diǎn)到距離的最大值為8，最小值為2，故的最大值為64，最小值為4；又表示在圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)距離為，所以的范圍為.故答案為：64，4，變式10．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，，過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn)，被圓M截得弦AB，CD，滿(mǎn)足.設(shè)線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為N，則的最小值為_(kāi)__________.答案：【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，故，由垂徑定理，，?即，所以，因?yàn)?，且，故，即，故，故的軌跡方程為，所以的最小值為.故答案為：變式11．(2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，則的最小值是__．答案：【解析】如圖所示，圓關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，連接，故，故的最小值是故答案為：．變式12．(2023·天津市第二南開(kāi)中學(xué)高二期中）若直線(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為_(kāi)_______.答案：【解析】由得，故圓心坐標(biāo)為,半徑，因?yàn)橹本€(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，所以直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，把代入直線(xiàn)，得，而可看作是點(diǎn)到直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離，因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離為，所以的最小值為.故答案為：.題型四：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積型例10．（多選題）(2023·福建漳州·高二期中）已知點(diǎn)在圓上，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓C的圓心為 B．圓C的半徑為2C．的最大值為7 D．的最小值為答案：AC【解析】對(duì)于A和B，由，可得，則圓C的圓心為，半徑為，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將即看成直線(xiàn)的方程，其與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)的距離，解得，故C正確；對(duì)于D，記，則表示直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的方程為，即，當(dāng)該直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)時(shí)，可整理得，解得，所以的最小值為，D錯(cuò)誤，故選：AC.例11．(2023·四川·瀘州市龍馬高中高二階段練習(xí)（文））已知圓C的圓心在第一象限且在直線(xiàn)上，與x軸相切，被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為(1)求圓C的方程；(2)由直線(xiàn)上一點(diǎn)P向圓C引切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值．【解析】（1）依題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，到直線(xiàn)的距離為，所以，解得，所以圓的方程為.（2）由（1）得，圓的圓心為，半徑，，所以當(dāng)最小時(shí)，最小.到直線(xiàn)的距離為，所以的最小值為，所以四邊形PACB面積的最小值為.例12．(2023·新疆·高二期中）已知圓，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).(1)若直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)與圓相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線(xiàn)的斜率.【解析】（1）圓的圓心為，半徑為.當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離為，此時(shí)直線(xiàn)與圓相切，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，由題意知，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得，可得直線(xiàn)的方程為，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，直線(xiàn)的方程為或.（2）若直線(xiàn)與圓相交，由（1）可知，直線(xiàn)的斜率必定存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，則圓心到直線(xiàn)的距離.的面積為，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，即，可得，解得，故面積的最大值為，此時(shí)直線(xiàn)的斜率為.變式13．(2023·四川·仁壽一中高二期中（文））已知圓C：，點(diǎn)P是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_____答案：【解析】圓C：，即，則圓的圓心，半徑，因?yàn)榉謩e切圓于點(diǎn)，所以，所以，則要求四邊形PACB面積的最小值，只要求出的最小值即可，的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，為，所以四邊形PACB面積的最小值為.故答案為：.變式14．(2023·北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，為原點(diǎn)，以為直徑作圓．(1)求圓的方程；(2)設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值．【解析】（1），的中點(diǎn)為則，以為直徑的圓的半徑為所以圓的方程為：（2）設(shè)，則，設(shè)則，其中當(dāng)時(shí)，有最大值37.當(dāng)時(shí)，有最大值17.變式15．(2023·浙江省諸暨市草塔中學(xué)高二階段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)的圓的圓心M在直線(xiàn)上，且y軸被該圓截得的弦長(zhǎng)為4．(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】（1）由題意可設(shè)圓心，因?yàn)閥軸被圓M截得的弦長(zhǎng)為4，所以，又，則，化簡(jiǎn)得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，則直線(xiàn)的方程為，即，令，得，則．變式16．(2023·河南·濮陽(yáng)南樂(lè)一高高二階段練習(xí)（文））已知圓，直線(xiàn)，為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)做圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則四邊形的面積的最小值為_(kāi)_______答案：【解析】由題知，⊙M：，圓心為，半徑，圓心到直線(xiàn)上的點(diǎn)的最短距離為，所以切線(xiàn)長(zhǎng)，故四邊形的面積的最小值為.故答案為：.變式17．（多選題）(2023·江蘇·常熟市王淦昌高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線(xiàn)與圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓的半徑為4B．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)C．直線(xiàn)與圓的相交弦長(zhǎng)的最小值為D．直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為，則面積的最大值為2答案：BCD【解析】對(duì)于A：圓，即，圓心為，半徑，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：直線(xiàn)，即，令，得，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)為，當(dāng)直線(xiàn)與圓的相交弦最小時(shí)，與相交弦垂直，又因?yàn)?，所以相交弦的最小為，故C正確；對(duì)于D：設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：BCD．變式18．(2023·黑龍江·大慶四中高二期中）已知圓和圓，，分別是圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則關(guān)于的最小值為_(kāi)_____．答案：【解析】由：，得，半徑，：，得，半徑，由題意知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，所以的最小值即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，所以的最小值為，則的最小值為.故答案為：.變式19．(2023·北京·大峪中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)向直線(xiàn)（k為參數(shù)）作垂線(xiàn)，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線(xiàn)段的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：B【解析】直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，，可知點(diǎn)是在以為直徑的圓上，又，可得：，故選：B．變式20．(2023·安徽·高二階段練習(xí)）已知圓，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．答案：C【解析】因?yàn)?，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以半徑，圓心，當(dāng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)CP垂直時(shí)，所截得弦長(zhǎng)AB最短．此時(shí)，所以．故選：C．變式21．(2023·四川宜賓·高二期末（文））直線(xiàn)分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．20 D．22答案：B【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)，則，因?yàn)?，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以?xún)?nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因?yàn)楸硎緝?nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.變式22．(2023·湖南·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，分別為圓：，：上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意，易知，因?yàn)殛P(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，因此的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)為直線(xiàn)與x的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．故選：B．變式23．(2023·福建省廈門(mén)集美中學(xué)高二階段練習(xí)）由直線(xiàn)上的一點(diǎn)向圓C：引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為（

）A．1 B． C． D．2答案：A【解析】在直線(xiàn)上取一點(diǎn)P，過(guò)P向圓引切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A．連接CA．在中，．要使最小，則應(yīng)最小．又當(dāng)PC與直線(xiàn)垂直時(shí)，最小，其最小值為．故的最小值為．故選：A變式24．(2023·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則△的面積的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．答案：D【解析】圓的圓心，半徑為1∵，則，直線(xiàn)圓心到直線(xiàn)的距離∵△ABC的面積最小時(shí)，點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離最短，該最短距離即圓心到直線(xiàn)AB的距離減去圓的半徑∴邊上高的最小值為，則的最小值為故選：D.題型五：數(shù)量積與角度型例13．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于圓經(jīng)過(guò)，，，所以有，解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓的半徑為，.當(dāng)與共線(xiàn)且同向時(shí)，取得最小值.所以的最小值為.例14．（多選題）(2023·河北石家莊·高二期末）設(shè)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，線(xiàn)段是圓的一條動(dòng)弦，為弦的中點(diǎn)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)在定圓上B．點(diǎn)在圓外C．線(xiàn)段長(zhǎng)的最大值為D．的最小值為答案：BC【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)與，滿(mǎn)足，所以?xún)芍本€(xiàn)互相垂直，又兩直線(xiàn)分別過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)，所以是以為直徑的圓，圓的方程為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；圓與圓的圓心距為，所以?xún)蓤A相離，則點(diǎn)在圓外，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋瑸橄业闹悬c(diǎn)，所以，所以圓心到弦的距離為，所以弦中點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以線(xiàn)段長(zhǎng)的最大值為兩圓心的距離加上兩圓的半徑，即，故選項(xiàng)C正確；，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC.例15．（多選題）(2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（