三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)資料

一、考綱要求:

1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確進(jìn)行弧度和角度的互換。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，

掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期

函數(shù)與最小正周期的意義。

3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余

弦、正切公式。

4.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值和恒等式的證

明。

5.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)

正弦函數(shù)，余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(①wx+6)的簡(jiǎn)圖，理解A、①、巾的物

理意義。

6.會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctgx表

不O

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)算

器解決三角形的計(jì)算問(wèn)題。

8.理解反三角函數(shù)的概念，能由反三角函數(shù)的圖像得出反三角函數(shù)的性質(zhì),

能運(yùn)用反三角函數(shù)的定義、性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

9.能夠熟練地寫(xiě)出最簡(jiǎn)單的三角方程的解集。

二、知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.角的概念的推廣：

⑴定義：一條射線0A由原來(lái)的位置0A,繞著它的端點(diǎn)。按一定方向旋轉(zhuǎn)

到另一位置0B,就形成了角a。其中射線0A叫角a的始邊，射線0B叫角

a的終邊，0叫角a的頂點(diǎn)。

(2)正角、零角、負(fù)角：由始邊的旋轉(zhuǎn)方向而定。

⑶象限角：由角的終邊所在位置確定。

71

第一象限角：2knVaV2kn+5,k￡Z

兀

第二象限角：2kn+5va<2kn+n,k￡Z

3兀

第三象限角：2kn+兀Va<2kn+E,k￡Z

3九

第四象限角：2k冗+萬(wàn)VaV2k兀+2n,k￡Z

(4)終邊相同的角：一般地，所有與a角終邊相同的角，連同a角在內(nèi)(而

且只有這樣的角)，可以表示為k-360°+a,keZo

⑸特殊角的集合：

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合｛a1a=2,k￡Z｝

71

終邊在一、三象限角平分線上角的集合｛a|a=kn+I,kGZ)

71

終邊在二、四象限角平分線上角的集合｛a|a=kn-4,kez)

71

終邊在四個(gè)象限角平分線上角的集合｛a|a=kn±4,kEZ)

2.弧度制：

⑴定義：用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度，叫做弧度制。

(2)角度與弧度的互化：

.180

1°=兩弧度，1弧度=(丁)。

(3)兩個(gè)公式：(R為圓弧半徑，a為圓心角弧度數(shù))。

弧長(zhǎng)公式：1二Ia|R

扇形面積公式：S-21R=2IaIR2

3.周期函數(shù)：

⑴定義：對(duì)于函數(shù)尸f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得x取定義域

內(nèi)的任意值時(shí)，都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)尸f(x)叫做周期函數(shù)，其中

非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期，如果T中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則

這個(gè)最小正數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周期。

⑵幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論:

①如果T是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期，那么kT(k￡Z,且kWO)也是y=f(x)

的周期。

工

②如果T是函數(shù)y二f(x)的一個(gè)周期，那么了也是y二f(sx)(sW0)的周期。

③一個(gè)周期函數(shù)不一定有最小正周期，如常函數(shù)y二f(x)二c。

4.三角函數(shù)定義：

⑴定義：設(shè)a是一個(gè)任意大小的角，P(x,y)是角a終邊上任意一點(diǎn)，它

與原點(diǎn)的距離IP0I二r,那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦

XL1-L-

分別是sina=r,cosa=r,tga=x,ctga=》,Seca=x,esca二y(如上圖)。

⑵六個(gè)三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)：(如下圖)

++—+—+

———++—

sinacscacosasecatgaetga

(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

倒數(shù)關(guān)系：sina?esca=1,cosa?seca=1,tga?etga=1

sinacos。

商數(shù)關(guān)系：tga=cosa,etga=sina

平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1,1+tg2a=sec2a,l+ctg2a=esc?a

(4)誘導(dǎo)公式：

2k兀+2兀-7171

a-aJI-aJI+a

2-a2+a

aa

-sin-sin-sin

正弦sinasinacosacosa

aaa

-COS-cos-sin

余弦cosacosacosasina

aaa

正切tga-tga-tgatga-tgaetga-etg

a

-ctg-ctg-ctg

余切ctgactgatga-tga

aaa

上述公式可以總結(jié)為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。

5.已知三角函數(shù)值求角

6.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

(1)三角函數(shù)線：

如下圖，sina=MP,cosa=0M,tga=AT,ctga=BS

(2)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì):

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx

圖

像

{x1x￡R

{x1x￡R

定義

且xWkJI+

RR且x#kn,k

域71

ez)

2,kez)

值

[-1,1]R1

乃x=2kn時(shí)

無(wú)最大值無(wú)最大值

x=2kn+2

y?>ax=lx=2k

無(wú)最小值無(wú)最小值

時(shí)ymax=l

JI+ji時(shí)

71ymin=-1

x=2k兀-2

時(shí)Ymin-1

域

周期

周期為2n周期為2兀周期為幾周期為幾

性

奇偶

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇涵數(shù)

性

在［2kn—

在［2kn-

71

2k

2,2kn+JI,

單

乃n］上都

71

2］上都是在(kn,kn

是增函在(kn-萬(wàn)，

+n)內(nèi)都是

增函數(shù)；

數(shù)；在71

kn+T)內(nèi)都

調(diào)在［2k減函數(shù)(k￡

JI+［2kn,

z)

713是增函數(shù)(k

2,2kJI+22kn+n］

ez)

JI］上都上都是減

性

函數(shù)(kQ

是減函數(shù)

z)

(kez)

7.函數(shù)y=Asin(wx+力)的圖像:

函數(shù)y二Asin(wx+6)的圖像可以通過(guò)下列兩種方式得到:

>>0,圖像左移。

(l)y=sinx因像右蜩'y=sin(x+0)

“■1.橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的‘借

W

OVwVI.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)對(duì)■倍

Wy=sin(wx+4>)

A>1,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的A倍

OVAV1,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的4倍y=Asin(wx+@)

3>1,橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的L倍

W

/o\_?0V卬VI,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的J■倍

U?y-sinx卬

8>0,圖像左移夙

w

y=sin(wx)…圖像右彩》

A>1,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)A倍

y=sin(wx+0)-OVAVI,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)MS,y=Asin(wx+6)

8.兩角和與差的三角函數(shù)：

⑴常用公式：

兩角和與差的公式：

sin(a±B)=sinacosB+cosasinB,

cos(a±B)=cosacosBxsinasin3,

tga±tg/3

tg(a±B)='斗tgatg。

倍角公式：

sin2a=2sinacosa,

cos2a=cos'a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a,

2tga

tg2a=]—g%.

半角公式：

積化和差公式:

sinacos=2(sin(a+B)+sin(a-B)),

cosasin3=2(sin(a+B)-sin(a-B))

cosacos8=2(cos(a+B)+cos(a-B)),

sinasin0=-2(cos(a+3)-cos(a-0))

和差化積公式:

a+Ba-B

-----cos-----

sina+sinB=2sin22

a+。,a—B

---sin..-

sina-sin3=2cos22

Q+尸Q—B

..-cos..-

cosa+cosP=2cos2-----2,

a+0.a-B

-------sin-------

cosa-cosp=_2sin2----------2

萬(wàn)能公式：

2嗚1-吟2嗚

(2)各公式間的內(nèi)在聯(lián)系:

(3)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題：

①凡使公式中某個(gè)式子沒(méi)有意義的角，都不適合公式。

②靈活理解各公式間的和差倍半的關(guān)系。

③在半角公式中，根號(hào)前的符號(hào)由半角所在像限來(lái)決定。

sin2al-cos2a1+cos2。

④常具的變形公式有：cosa=2sina,sir?a=2,cos2a=2,tga

+tgB=tg(a+B)(l-tgatgB).

⑤asina+bcosa=如+廿sin(a+力).(其中巾所在位置由a,b的符號(hào)確

b

定，力的值由tge二a確定）。

9.解斜三角形:

在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表:

名稱公式變形

內(nèi)角和A￡￡_C

A+B+C=冗萬(wàn)+萬(wàn)=萬(wàn)一5,2A+2B=2n-c

定理

〃+c2_a2

2b

a2=b'+c2-2bccosAcosA=c

余弦定

bJ=a2+c2-2accosB

理COSB=2ac

222

c=a+b-2abcosC?+〃_c2

COSC2ab

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

正弦定3=上=二=2R

sinAsinBsinC

abc

理為AABC的外接圓半徑sinA=2R,sinB=2R,sinC=2A

acosB+bcosA=c

射影定

acosC+cosA=b

理

bcosC+ccosB=a

_L_L_L

①SA=2aha=2bhb=2ch(;

2sA

②SA=5absinC=5sinA二疝

面積公2S4

式acsinB=2bcsinAsinB=ac

2sA

abc

sinC=ab

③SA二正

④S、=JP（P—a）（P一份（P—c）

(P=2(a+b+c))

⑤SA=2(a+b+c)r

(r為AABC內(nèi)切圓半徑)

10.反三角函數(shù):

名稱反正弦函數(shù)反余弦涵數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)

y=sinx(x右y=tgx(x仁

71717171y=ctgx(x￡(0,

f-2,2)的y=cosx(x￡[0,(-5,5)的

冗))的反函

口))的反函數(shù)，

反函數(shù)，叫做

定義反函數(shù)，叫數(shù)，叫做反余

叫做反余弦函數(shù)，

反正弦函數(shù)，做反正切函

切函數(shù)，記作

記作記作x=arccosy數(shù)，記作

x二arcctgy

x=arcsinyx二arctgy

arctgx表不

arcsinx表示

冗arcctgx表不屬

71arccosx表示屬于屬于(-2,

屬于[-萬(wàn)，于(0,冗)且余

理解[0,Ji],且余弦71

712),且正切值等于X的

2]且正弦值值等于X的角

切值等于X角

等于X的角

的角

圖像

定

義[T,1][-1,1](-8,4-00)(-8,4-oo)

值

值717t7171

[0,Ji]

[>2,2](-2,2)(0,n)

域

單在(-8,+

在［-1,1)在［-1,1］上是在(-8,+OO)

性調(diào)8)上是增

上是增函數(shù)減函數(shù)上是減函數(shù)

性數(shù)

質(zhì)奇

arcsin(-x)=-arccos(-x)二=JI-arctg(-arcctg(-x)=1

偶

arcsinxarccosxx)=-arctgx-arcctgx

性

周

期都不是同期函數(shù)

性

sin(arcsinx)

tg(arctgx)

=x(x￡[-1,cos(arccosx)二X(xctg(arcctgx)二

二x(x￡

1])金[-x(x￡

恒等R)arctg(tg

arcsin(sinx)1,1])arccojs(cosR)arcctg(ctgx

式x)=x(x￡

7Cx)=x(xG[：0,)=x(x￡(0,

=x(x￡[一萬(wàn)，

7C7C

JI])(-2J))n))

71

2])

互余71

arcsinx+arccosx=2(x￡[-71

恒等arctgx+arcctgx=2(XGR)

1,1])

式

11.三角方程：

(1)最簡(jiǎn)單三角方程的解集:

方程方程的解集

a

①

>1

a

sinx=a{X1x=2kn+arcsina,kGz}

二1

a

(x1x=kn+(-1)karcsina,z)

<1

a

①

>1

a

cosx=ax1x=2kn+arccosa,k￡z}

二1

a

(x1x=2kn土arccosa,k￡z}

<1

tgx=a(x1x=kn+arctga,k￡z}

ctgx=a(x1x=kn+arcctga,kGz)

⑵簡(jiǎn)單三角方程：轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單三角方程。

三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，也是每年高考的必考內(nèi)容，其主要

內(nèi)容由以下三部分構(gòu)成：三角函數(shù)的定義，圖像和性質(zhì)；三角恒等變形;

反三角函數(shù)。在高考中，第二部分為主要內(nèi)容，進(jìn)行重點(diǎn)考查，當(dāng)然也不

放棄前后兩部的考查，對(duì)近幾年高考試題進(jìn)行分析后，可以看出：對(duì)三角

函數(shù)的考查主要有兩種方式：?jiǎn)为?dú)考查三角函數(shù)或與其它學(xué)科綜合考查,

前一部分通常是容易題或中等題，而后一部分有一定難度。

下面對(duì)常見(jiàn)考點(diǎn)作簡(jiǎn)單分析：

1.角、三角函數(shù)定義的考點(diǎn)：這是對(duì)三角基礎(chǔ)知識(shí)的直接考查，一般不會(huì)

單獨(dú)成題，更多地是結(jié)合其它方面的內(nèi)容(如：三角恒等變形，三角函數(shù)性

質(zhì)等)對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)作綜合考查。

2.三角函數(shù)圖像的考查：通常有三種方式：由圖像到解析式：由圖像到性

質(zhì)；圖像的應(yīng)用。

3.三角函數(shù)性質(zhì)的考查

(1)定義域和值域：

(2)周期性：通常結(jié)合恒等變形考查如何求三角函數(shù)的最小正周期，或考查

與周期性相關(guān)的問(wèn)題，如：設(shè)f(x)是(-8,+8)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),

當(dāng)OWxWl時(shí),f(x)=x,則f(7.5)=()

(3)單調(diào)性：通常以處理最值問(wèn)題的形式出現(xiàn)，總與恒等變形聯(lián)系在一起，

一般地二次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等的最值問(wèn)題相結(jié)合。

4.三角恒等變形：以化簡(jiǎn)、求值、證明等各種題型出現(xiàn)，以題中通?？疾?/p>

和、差、倍、半各公式的運(yùn)用，大題中通?？疾楹头e互化公式的運(yùn)用，這

是三角函數(shù)的重要內(nèi)容。

5.反三角函數(shù)：對(duì)這部分的考查多屬于容易題或中檔題，重點(diǎn)是反三角函

數(shù)的定義和性質(zhì)。

6.代數(shù)、三角、解幾、立幾，不等式等的綜合考查。

進(jìn)行三角恒等變形是處在三角問(wèn)題最常用的技能，下面分析幾種常見(jiàn)的解

題思路：

1?角的變換：觀察各角之間的和、差、倍、半關(guān)系，減少角的種類(lèi)，化異

角為同角。

2.函數(shù)名的變換：觀察、比較題設(shè)與結(jié)論之間，等號(hào)的左右兩邊的函數(shù)名

差異，化異名為同名。

%7C

3.常數(shù)的變換：常用方式有l(wèi)=sirT'a+cos?a=sec?a-tg?a=tg4,2=sin3

等。

4.次數(shù)的變化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及

其逆向使用。

5.結(jié)構(gòu)變化：對(duì)條件，結(jié)論的結(jié)構(gòu)施行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變

除為乘，或求差等

6.和積互化：這既是一種基本技能，也是一種常見(jiàn)解題思路，且應(yīng)用比較

廣泛。

7.綜合運(yùn)用上述各種方式。

例lsin600°的值是()

LL旦旦

A.2B.-2C.TD.-T

解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°

=sin(180°+60°)=-sin60°

百

二-2

，應(yīng)選D.

例2已知sin6+cos0=?,9￡(0,n)，則ctg9的值是.

￡2n

解：sin0+cos0=5=(sin。+cos0)2=(5)2=>sin6?cos0=-25.

]_12

Asin。和cos0是方程t2-5t-25=0,即方程25t2-5t-12=0的兩根.

43

25t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的兩根為t^5,t2=-5.

V9e(0.Ji)sin9>0.

43

/.sin6=5,Affncos。=-5,

cos。3

/.Ctg0=sine.=-4.

3

應(yīng)填-I.

例3tg20°+tg40°+^tg20°?tg40°的值是.

吆20。+.40。

解：vV3=tg60°=tg(20°+40°)=1-^20^40°?

.\tg20°+tg40°(l-tg20°?tg40°).

原式二石(l-tg20°,tg40°)+.tg20°,tg40°

應(yīng)填5

5〃71

例4求值：COS8?COS8=.

5)71

解：COS8,COS8

13乃7i1\[2^[2

二2(COS4+COS2)=2(-2+0)=-4.

%

例5關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+3)(x￡R),有下列命題：

①由f(x)=f(X2)=O可得x「X2必是互的整數(shù)倍；

71

②y=f(x)的表達(dá)可以改寫(xiě)為y=4cos(2x-6)；

71

③y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-7,0)對(duì)稱；

④y=f(x)的圖像關(guān)于直線xh%對(duì)稱；

其中正確命題的序號(hào)是.

(注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)

解：分別討論四個(gè)命題.

71冗k7T7T

①令4sin(2x+3)=0,得2x+3=kn(k￡Z),=>x=26(k￡Z),設(shè)XF

%[乃71k2兀71

26,X2=26,kiNkz,ki,kz￡Z,

則f(Xi)=f(x2)=0,

71

2

但xi-x2=(k-k2),當(dāng)k「k2為奇數(shù)時(shí)，x「X2不是兀的整數(shù)倍

命題①不正確.

7171717171

②y=f(x)=4sin(2x+3)=4cos[2-(2x+3)]=4cos(-2x+6)=4cos(2x-6)

,命題②正確

③根據(jù)

717134

2x+302JI~22n

7171247萬(wàn)54

X

-712~6~12~6

y04Q-40

71

作出y=f(x)=4sin(2x+3)的草圖，如圖

由圖知，f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-7,0)對(duì)稱,

**.命題③正確

④由圖知，y=f(x)的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱

命題④不正確

應(yīng)填②、③

例6函數(shù)y=sin(x-6)?cosx的最小值是.

解：利用積化和差公式(注：今后高考試卷中會(huì)印寫(xiě)公式)，得

171兀

y=2sin(2x-6)+sin(-6)

2sin(2x-6)-4

Vsin(2x-6)G[-1,1],

3

=-

??ymin.

3

應(yīng)填-4.

例7如圖，函數(shù)y=tg(2x-3冗)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像是()

加a

下6!

(C)

27r

解:y=tg(2-3)=tg[2(X-3)]

因?yàn)樗闹芷跒?=2兀，從而B(niǎo),D錯(cuò)；又當(dāng)x=3時(shí)，y=0,從而c錯(cuò)。

應(yīng)選Ao

例8在直角三角形中，兩銳角為A和B,貝UsinA-sinB()

A.有最大值5和最小值0

￡

B.有最大值5但無(wú)最小值

C.既無(wú)最大值也無(wú)最小值

D.有最大值1但無(wú)最小值

7C

解：VA+B=2.

sinA,sinB=sinA,cosA=2sin2A,

Ae(0,5)=2A￡(0,n)

sinAcosA有最大值，但無(wú)最小值.

應(yīng)選B.

例9求函數(shù)y=sin'x+2sinxcosx+3cos之的最大值

l+cos2x

解：*.，2sinxcosx=sin2x,sin^+cos^x=l,cos2x=2

/.y=sin'x+2sinxcosx+3cos?x

=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x

l+cos2x

=l+sin2x+2,2

=sin2x+cos2x+2

7T7t

二五(sin2x?cos4+cos2x?sin4)+2

n

sin(2x+4)+2

7171

，當(dāng)2x+Z=5+2k4時(shí)，y皿=2+痣

71

即X=1+KJI(K￡Z),y的最大值為2+收

24a_

例10已知a是第三象限角，且sina=-五則tg5=()

4334

A.3B.4C.-4D.-3

2rgi

,2a24

1+fg——.一

解：'/sina=2,sina=-25,

2若

24a

—l+/g2—

..-25="2

Cla

化簡(jiǎn)得12tg2+25tg2+12=0,

aa

即(4tg2+3)(3tg2+4)=0.

a3a3

解出tg^=-4,tg2=-4.

31

又已知a是第三象限角，即a￡(n+2kn,2+2kn),

a7t3%

?.2e(T+kJI,W+kJI),

a

tg26(-8,-1),

a4a

.\tg2=-3(舍去tg2=-l).

應(yīng)選D.

例llsin220°+COS280°+8sin20°-cos80°=.

解:sina220°+cos280°+后sin20°,cos80°

-l--c-o-s4-0-°--l-+-c-o-s-l6-0°1--V3

2+22.2sin20°?cos80°

=1-2(cos40°+cos20°)+-(sinlOO0-sin60°)

V33

=l-cos30°coslO°+^coslO°-4

二4

應(yīng)填7.

例12求sin220°+COS250°+sin20°,cos50°的值.

解：sir?20°+COS250°+sin20°cos50°

=sin2200+sin240°+sin20°sin40°

二(sin20°+sin40°)-sin20°sin40°

=(2sin30°coslO°)2+2(cos60°-cos20°)

cos200+l11__.

_-------——+-(z--cos2o0°)

3

=4

3

應(yīng)填7.

例13cos-‘75°+COS215°+COS75°,cosl5°的值等于()

V635V3

A.亍B.2C,4D.l+v

解：COS275°+COS215°+COS75°COS15°

=(sin215°+COS215°)+2sinl5°

j_J

=1+4=4.

應(yīng)選c.

e_

例14已知ctg2=3,則cos0二.

e_

解：由已知有tg5=§.

例15已知tgA+ctgA=m,則sin2A二.

解：tgA+ctgA=m=tg2A+l=mtgA

2tgA_2tgA_2

：.sin2k=i+t^A~mt^A~m.

例16已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.

(l)bWO時(shí)，求tg3A的值(用a、b表示)；

(2)求(l+2cos2A產(chǎn)(用a、b表示).

解：(1)利用和差化積公式可得：

a=sin3A(l+2cos2A),

b=cos3A(l+2cos2A),

/.tg3A=b.

(2)由上可知ab=sin3Acos3A(l+2cos2A)2

2ah

：.(1+2COS2A)^^6A.

2世

b_2ab

2rg3A]+(a)2a2+b2

又sin6A=l+g3A=b,

lab

2ah

/.(l+2cos2A)Ja2+h2-a2+b2.

例17一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為0

逐-1逐-1

A.arccos2B.arcsin2

1-石1-石

C.arccos2D.arcsin2

解：不妨設(shè)此直角三角形三內(nèi)角為A、B、C且AVBVC=90°.

由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比數(shù)列,

二.sir?B=sinA

又A+B=90°,得sinB=cosA,

cos2A=sinA,l-sinJA=sinA,

即sin2A+sinA-l=0.

-i-Vs-1+后

解出sinA=2(舍去sinA=2)

V5-1

A=arcsin2,

應(yīng)選B.

例18如圖，若sir^xAcos、，則x的取值范圍是().

715"

B.{xI2kn+4<x<2kJi+T,keZ)

冗冗

C.(xIkJi-4<x<kJi+4,kez}

n34

D.xIkn+4<x<kJi+4,k￡Z}

解：由于sir?x和cos?*的周期都是冗，故可先研究在［0,n］上不等式的

解.

在同一坐標(biāo)系在區(qū)間［0,n］上作出sinx和cosx的圖像.

71

把［5,的COSX的圖像沿X軸上翻后，求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X尸

7137t713萬(wàn)

2

4,x2=4..,.在(4+2k冗,4+2kn)上有sin"x>cosx.

應(yīng)選D.

例19下列四個(gè)命題中的假命題是()

A.存在這樣的a和B的值，使得

cos(a+B)=cosacos3+sinasin3

B.不存在無(wú)窮多個(gè)a和B的值，使得

cos(a+B)=cosacosB+sinasin3

C.對(duì)于任意的a和B,使得

cos(a+8);cosacos3-sinasinB

D.不存在這樣的a和B的值，使得

cos(a+B)T^COSacosB-sinasinB

解：C是兩角和的余弦展開(kāi)公式，當(dāng)然正確，從而D也正確.

對(duì)于A取a=B=0,則cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,A正確.

對(duì)于B,取a=B=2kn,k@Z,貝?。輈os(2kJi+cos2kn)=cos2kncos2kn

+sin2knsin2k兀,

/.B.不正確.

應(yīng)選B

例20解不等式(arctgx)2-3arctgx+2>0.

解：((arctgx)-1)((arctgx)-2)>0.

arctgx<l或arctgx>2.

7171

又-2<arctgx<2.

7t

2<arctgx<l,即有-8VxVtgl.

例21滿足arccos(1-x)^arccosx的x的取值范圍是()

A.[-1,-2]B.[-2,0]

C.[oj]D.[2,1]

解：反余弦函數(shù)的定義域?yàn)閇T,l],且為減函數(shù).

<-1<x<1=>—<%<!

2

??l?-xI<X

應(yīng)選D

7乃53萬(wàn)

例22已知cos2a=25,ae(0,萬(wàn))，sinB=—行，B6(冗，5)

求a+B(用反三角函數(shù)表示).

Jl-cos2a_3412

解：由題設(shè)得sina=25,從而cosa=5,且cos8=-13

又a+B￡(n,2n)(a+0-ji)e(O,Ji),

33

cos(a+B)=cosacosB-sinasinB=一65.

33

/.cos(a+0-JI)=cos(n-(a+B))=-65.

33

，-JI+(a+B)=arccos65

33

即a+B=1+arccos65

]_

例23記函數(shù)y=x的圖像為L(zhǎng),y=arctgx的圖像為b,那么L和k的交點(diǎn)

個(gè)數(shù)是()

A.無(wú)窮多個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

解：作出函數(shù)草圖可知有2個(gè)交點(diǎn).

7t1

又x：Of2時(shí)，arctgx：0^+00,R：+℃>->0.

，x>0時(shí)，L和k有一個(gè)交點(diǎn).

又arctgx和*都是奇函數(shù)，

，xVO時(shí)，L和b也有一個(gè)交點(diǎn).應(yīng)選B.

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1.以下命題中正確的命題是()

(A)終邊相同的角一定相等

(B)若sina三0,那么a是第一或第二象限的角

(C)若角a與B的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，那么a+B=0

(D)若a為鈍角，則cosa<0

(考查象限角的概念)

2.扇形圓心角為60。，半徑為a,則扇形內(nèi)切圓面積與扇形面積之比是()

(A)l：3(B)2：3(C)4：3(D)4：9

(考查扇形面積公式)

0_20_4

3.若sin2=5,COS2=-5，則0角的終邊在()

(A)第一象限⑻第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(考查象限角與三角函數(shù)值的符號(hào))

4.sin2l°+sin'2°+,,,+sin290°的值屬于區(qū)間0

(A)(43,44](B)(44,45](C)(45,46](D)(46,47]

(考查同角三角函數(shù)的關(guān)系及三角函數(shù)的有界性)

a

5.已知知ina=l+cosa,那么tg2()

]_j_

(A)等于5⑻等于5或不存在

(C)等于2(D)等于2或不存在

(考查三角函數(shù)公式的應(yīng)用)

7171

————___Isina?cosa

6.己知OVaVl,4<a<2,則下列元數(shù)歸如。)&,N=(cosa)",

P=(ssa)V的大小關(guān)系是()

(A)M>N>P(B)M>P>N(C)M<N<P(D)M<P<N

(考查對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)關(guān)系)

7.若f(sinx)=sin3x,則cos3x等于()

(A)f(cosx)(B)-f(cosx)(C)f(sinx)(D)-f(sinx)

(考查誘導(dǎo)公式與函數(shù)解析式)

8.方程sinx=lgx的實(shí)根個(gè)數(shù)是()

(A)1(B)2(C)3(D)以上都錯(cuò)

(考查三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像)

9.下面的4條直線中，是函數(shù)y=2^2cos2x-2sinxcosx-^的圖像的對(duì)稱軸

的是0

715乃2)54

(A)x=6(B)x=i2(C)x=3(D)x=-12

(考查三角函數(shù)圖像的特征)

10.如圖是周期為2n的三角函數(shù)y二f(x)的圖像，那么f(x)的解析式可以

寫(xiě)成()

(A)f(x)=sin(l+x)

(B)f(x)=-sin(1+x)

(C)f(x)=sin(xT)

(D)f(x)=sin(l-x)

(考查三角函數(shù)的圖像與解析式)

X

11.函數(shù)f(x)=cos”則下列等式中成立的是()

(A)f(2Ji-x)=f(x)(B)f(2n+x)=f(x)

(C)f(-x)=f(x)(D)f(-x)=-f(x)

(考查余弦函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性)

12.函數(shù)y=sin(3-2x)+cos2x的最小正周期是()

(A)2(B)JI(c)2n(D)4五

(考查三角函數(shù)的周期和恒等變形)

7171

13.設(shè)函數(shù)y=sin(ax-5)?cos(3x+3)的最小正周期為2,且3>0,是

④的值為()

7171

(A)1(B)n(C)2(D)4

(考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系)

14.若a=sinl4°+cosl4°,b=sinl6°+cosl6°,則下列不等式中成立的

是()

V64b4bV6

(A)a>3>b(B)a<^"<b(C)a<b<^"(D)bVaV3

(考查輔助角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性)

15.下列四個(gè)命題中的假命題是()

(A)存在這樣的a和B的值，使得cos(a+B)=cosacosB+sinasinB

(B)不存在無(wú)窮多個(gè)a和B的值，使得cos(a+B)=cosacos3+sinasin

8

(C)對(duì)于任意的a和B,都有cos(a+B)=cosacos0-sinasin0

(D)不存在這樣的a和B的值，使得cos(a+B)WcosacosB-sinasinB

(考查公式的記憶，理解和邏輯語(yǔ)言的理解)

16.tga、tgB是方程7x?-8x+l=0的二根,則

8

sir?(a+B)-7sin(a+B)cos(a+B)+7cos2(a+：)的值是()

_LJ__L

(A)3(B)5(C)v(D)9

(考查兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)關(guān)系及有關(guān)求值)

17.已知cos2a-cos2B=m,貝ijsin(a+B)?sin(a—B)=()

mm

(A)-m(B)m(C)-2'(D)萬(wàn)

(考查同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的余弦公式)

式

18.函數(shù)f(x)=sin2x+5cos(4-x)+3的最小值是()

9

(A)-3(B)-6(C)-8(D)-l

(考查同角三角函數(shù)關(guān)系，半角公式，萬(wàn)能公式)

sinx|cosx|g卜吆才

-----------1------------H---------H------------

19.函數(shù)丫小山可cosx如的值域是()

(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}

(考查同角三角函數(shù)關(guān)系)

54

20在aABC中,(1)已知tgA二日sinB=S,則NC有且只有一解,⑵已知

123

tgA=5,sinB二S,則NC有且只有一解，其中正確的是()

(A)只有(1)(B)只有(2)(C)(1)與⑵都正確(D)(1)與⑵均不正確

(考查綜合有關(guān)公式，靈活處理三角形中的計(jì)算)

71

21.已知不等邊4ABC中，sinA=sinB,則下列等式：①A=B；②A+B=”③A+B=

71

n；④A-B="其中可能成立的是()

(A)①、②(B)①、③(C)①、②、④(D)②、③、④

(考查三角形的內(nèi)角和定理及角的正弦值關(guān)系)

22.給出下列四個(gè)命題：

①若sin2A=sin2B,則4ABC是等腰三角形；

②若sinA=cosB,則aABC是直角三角形；

③若sin2A+sin2B+sin2C<2,則4ABC是鈍角三角形；

④若cos(A—B)cos(B—C)cos(C—A)=l,則△ABC是等邊三角形,以上命題正

確的個(gè)數(shù)是()

(A)l個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

(考查靈活運(yùn)用公式判斷三角形形狀和判斷正誤的能力)

23.函數(shù)y=cosx(nWxW2n)的反函數(shù)是()

53

(A)y=n+arccosx(B)y=2n-arcsinx(C)y=2冗+arcsinx(D)y=n-arccosx

(考查反函數(shù)的求法，誘導(dǎo)公式，反三角弦函數(shù)定義)

24.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的一組是()

(A)y=arcsin(cosx)與y=arccos(sinx)

(B)y=sin(arccosx)與y=cos(arcsinx)

(C)y=arctgx與y=arcctgx

(D)y=sin(arcsinx)與y=tg(arctgx)

(考查有關(guān)反三角恒等式及其運(yùn)算，函數(shù)的定義)

2￡

25.設(shè)m=arcsin石，n=arccos2,p二arctg五，則m,n,p的大小關(guān)系是()

(A)p>n>m(B)n>m>p(C)p>m>n(D)m>n>p

(考查反三角函數(shù)的運(yùn)算及其單調(diào)性)

712冗

26.設(shè)函數(shù)y=2arcsin(cosx)的定義域?yàn)?-3,3),則其值域是()

71H71717171

(A)(3,2)(B)(3,Ji)(c)(-3,2)(D)(-3,Jl)

(考查三角函數(shù)與反三角函數(shù)的定義域和值域)

27.函數(shù)丫=而耳+^^的定義域是.

(考查函數(shù)定義域的求法，數(shù)形結(jié)合解三角不等式)

28.f(x)=sinx-sinIxI的值域是.

(考查絕對(duì)值定義，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，函數(shù)值域)

_1_

29.把y-sinx的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的5(縱坐標(biāo)不變)。然后

TC

將新得圖像向左平移7單位，這樣得到的圖像的解析式是。

(考查三角函數(shù)圖像的變換)

30.若函數(shù)y=sin(x+3)+cos(x+3)是偶函數(shù)，則6的值是。

(考查函數(shù)的奇偶性，三角恒等變形，最簡(jiǎn)單三角方程)

31.(I)tgl7°+tg28°+tgl7°?tg28°二

(2)ZSABC中，(1+tgA)(l+tgB)=2,則logzsinc二

(3)(l+tgl°)(l+tg2°)(l+tg3°)……(l+tg45°)=