第2節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.結(jié)合實(shí)例,借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù),能求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件導(dǎo)數(shù)的符號(hào)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)f'(x)>0不等式中不帶“=”f(x)在(a,b)內(nèi)

f'(x)<0不等式中不帶“=”f(x)在(a,b)內(nèi)

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減微思考“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大(小)于0”是“f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)”的什么條件?提示

充分不必要條件.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大(小)于0,則必有f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上單調(diào)遞增,但f'(x)=3x2≥0.微點(diǎn)撥利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求函數(shù)的定義域;(2)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)在定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間,f'(x)<0的解集即為單調(diào)遞減區(qū)間.常用結(jié)論1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減),則在(a,b)內(nèi)f'(x)≥0(≤0)恒成立.2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間,則在(a,b)內(nèi)f'(x)>0(<0)有解.3.如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,那么這個(gè)函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快,其圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,圖象就比較“平緩”.自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1.若函數(shù)f(x)在其定義域上有f'(x)<0,則f(x)在定義域上單調(diào)遞減.(

)2.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根為有限個(gè),則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.(

)3.一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)變化得越快,其導(dǎo)數(shù)就越大.(

)4.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx在R上單調(diào)遞增,則a2-3b<0.(

)×√××題組二回源教材5.(人教B版選擇性必修第三冊(cè)6.2.1節(jié)練習(xí)A第2題改編)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=2x-1,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

6.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)5.3.1節(jié)例1(2)改編)函數(shù)f(x)=sin

x-x在(0,π)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是

.

(0,π)解析

由于f(x)=sin

x-x,所以f'(x)=cos

x-1,因?yàn)閤∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)內(nèi)單調(diào)遞減,即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,π).題組三連線高考7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函數(shù)f(x)=aex-ln

x在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,則a的最小值為(

)A.e2

B.eC.e-1

D.e-2C8.(2023·全國(guó)乙,理16)設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是

.

解析

由題意得f'(x)=ax·ln

a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒為0.∵f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f'(x)=ax·ln

a+(1+a)x·ln(1+a)≥0對(duì)?x>0恒成立.2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1(1)(2024·吉林長(zhǎng)春模擬)函數(shù)f(x)=x-2ln(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(-∞,1) B.(0,1)C.(0,2) D.(2,+∞)C(2)(2024·北京海淀模擬)已知函數(shù)f(x)=+1,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

(-∞,-1)和(1,+∞)解析

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=,令f'(x)<0,解得x>1或x<-1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞).(3)(2024·山東濰坊模擬)函數(shù)f(x)=e-xcosx,x∈(0,π)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.

(4)(2024·福建寧德模擬)函數(shù)f(x)=x2ex-e(x+2ln

x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

(1,+∞)

考點(diǎn)二討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例2(2024·福建泉州模擬)已知函數(shù)f(x)=(x-2)(aex-x).(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;(2)討論f(x)的單調(diào)性.解

(1)因?yàn)閒(x)=(x-2)(aex-x),所以f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).當(dāng)a=4時(shí),f(0)=-8,f'(0)=-2,所以曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y+8=-2x,即2x+y+8=0.(2)由(1)知,f'(x)=(x-1)(aex-2).①當(dāng)a≤0時(shí),aex-2<0,當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·遼寧沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R),試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解

因?yàn)閒(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx,所以f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6(x+1)(x+m).①若m=1,則f'(x)=6(x+1)2≥0在x∈R上恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞增.②若-m<-1,即m>1,當(dāng)x∈(-∞,-m)∪(-1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-m,-1)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(-m,-1)內(nèi)單調(diào)遞減.③若-m>-1,即m<1,當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(-m,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-1,-m)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(-1,-m)內(nèi)單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)m=1時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)m>1時(shí),f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-m,-1)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)m<1時(shí),f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,-m)內(nèi)單調(diào)遞減.考點(diǎn)三與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1辨析圖象問(wèn)題例3(1)(2024·陜西西安聯(lián)考)已知定義在[-3,4]上的函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式xf'(x)>0的解集為(

)C(2)(2024·浙江紹興模擬)如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象,若f(2)=0,則y=f(x)的圖象大致為(

)D解析

由y=f'(x)的圖象可知,當(dāng)0<x<1時(shí),0<f'(x)<1,則在區(qū)間(0,1)內(nèi),函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增,且各點(diǎn)處切線的斜率的取值在區(qū)間(0,1)內(nèi).對(duì)于A,在區(qū)間(0,1)內(nèi),函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)處切線的斜率均小于0,故A不正確;對(duì)于B,在區(qū)間(0,1)內(nèi),函數(shù)y=f(x)的圖象上存在點(diǎn),在該點(diǎn)處切線的斜率大于1,故B不正確;對(duì)于C,在區(qū)間(0,1)內(nèi),函數(shù)y=f(x)的圖象上存在點(diǎn),在該點(diǎn)處切線的斜率大于1,故C不正確;對(duì)于D,由y=f'(x)的圖象可知,當(dāng)0<x<1時(shí),0<f'(x)<1,當(dāng)1<x<3時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>3時(shí),f'(x)>0,所以函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間(0,1)內(nèi),在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(3,+∞)上單調(diào)遞增,而函數(shù)y=f(x)的圖象均符合這些性質(zhì),故D正確.故選D.考向2解不等式或比較大小問(wèn)題

C(2)(2024·福建南平模擬)已知函數(shù)f(x),g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)存在,且f'(x)<g'(x),記a=log52,b=log83,則(

)A.f(a)>g(a) B.f(a)<g(a)C.f(a)+g(b)>g(a)+f(b) D.f(a)+g(b)<g(a)+f(b)Cc=f(1.5),則(

)A.a>c>b B.c>b>aC.c>a>b D.a>b>cC考向3根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例5(2024·陜西西安模擬)若函數(shù)f(x)=x2-ax+ln

x在區(qū)間(1,e)內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

)A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.[3,e2+1] D.[3,e2-1]B變式探究1(變條件變結(jié)論)本例中,若改為“若函數(shù)f(x)=x2-ax+ln

x的單調(diào)遞減區(qū)間是(,1)”,則實(shí)數(shù)a的值等于

.

3變式探究2(變條件)本例中,若改為“若函數(shù)f(x)=x2-ax+ln

x在區(qū)間(1,e)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間”,則a的取值范圍是

.

變式探究3(變條件)本例中,若改為“若函數(shù)f(x)=x2-ax+ln

x在區(qū)間(1