第3課時不等式的性質(zhì)[考試要求]1．掌握等式性質(zhì).2．會比較兩個數(shù)的大小.3．理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．1．比較實數(shù)a，b大小的基本事實作差法a?b>0?a>b，a?b＝2．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：a>b?b<a；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質(zhì)3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．[常用結(jié)論]若a>b>0，m>0，則(1)真分數(shù)性質(zhì)：b?ma?m<ba<b+ma即真分數(shù)越加越大，越減越??；(2)假分數(shù)性質(zhì)：a+mb+m<ab<即假分數(shù)越加越小，越減越大．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a＞b，則ac2＞bc2． ()(2)若ba>1，則b>a． (3)若1a>1b，則b<a．(4)若a<b<0，則1a2n<1b2n(n∈N[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P43習(xí)題2.1T3改編)設(shè)M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則()A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[因為M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故選A.]2．(人教A版必修第一冊P43習(xí)題2.1T10改編)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水變淡了．下面式子可以說明這一事實的是()A．a(chǎn)b+m＜ab C．a(chǎn)b＜a+mb+mA[向糖水溶液中加入m克水，糖水的濃度變?yōu)閍b+m，此時濃度變小，糖水變淡，即a3．(人教A版必修第一冊P42練習(xí)T2改編)用不等號“＞”或“＜”填空．(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d；(2)如果a＜b＜0，那么1a2________(3)如果c＞a＞b＞0，那么ac?a________b[答案](1)＜(2)＜(3)＞4．(人教A版必修第一冊P43習(xí)題2.1T5改編)已知－1<a<2，－3<b<5，則a－b的取值范圍是________．(－6，5)[∵－3<b<5，∴－5<－b<3，又－1<a<2，∴－6<a－b<5．]考點一數(shù)(式)的大小比較[典例1](1)若a<0，b<0，則p＝b2a+a2b與A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能確定(1)B(2)C[(1)p－q＝b2a+a＝b2?a2a+a2?＝b2因為a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.又(b－a)2≥0，所以p－q≤0.綜上，p≤q.故選B.(2)P，Q作商可得PQ令f(x)＝exx，則f′(x)＝當(dāng)x>1時，f′(x)>0，所以f(x)＝exx在(1，＋因為a>b>1，所以ebb<又ebb>0，ea所以P<Q.故選C.]【教師備選資源】若a＝ln33A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<cB[法一(作差法)：a－b＝ln33?b－c＝ln44?所以a＞b＞c.法二(作商法)：易知a，b，c都是正數(shù)，ba＝3ln44ln3＝log8164＜1，所以a＞b；bc＝5ln4法三(單調(diào)性法)：對于函數(shù)y＝f(x)＝lnxx，y′＝易知當(dāng)x＞e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．因為e＜3＜4＜5，所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即c＜b＜a.]比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形(因式分解、配方、有理化等)；③定號；④得出結(jié)論．(2)作商法：①作商；②變形(因式分解、配方、有理化等)；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．[跟進訓(xùn)練]1．(1)已知a，b為不相等的實數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關(guān)系為()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不確定(2)已知a>b>0，則aabb與abba的大小關(guān)系為________．(1)A(2)aabb>abba[(1)因為M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.故選A.(2)因為aa又a>b>0，故ab>1，a－b所以aba?b>1，即又abba>0，所以aabb>abba.]考點二不等式的性質(zhì)[典例2](1)(2023·北京朝陽區(qū)一模)若a>0>b，則()A．a(chǎn)3>b3 B．|a|>|b|C．1a<1b D．ln(a－(2)(2024·湖北武漢模擬)下列說法正確的是()A．若ac2≥bc2，則a≥bB．若ca>cb，則aC．若a＋b>0，c－b>0，則a>cD．若a>0，b>0，m>0，且a<b，則a+m(1)A(2)D[(1)∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正確；取a＝1，b＝－2，則|a|>|b|不成立，故B錯誤；取a＝1，b＝－2，則1a<1取a＝12，b＝?(2)對于A，若ac2≥bc2，當(dāng)c＝0時，a與b的大小關(guān)系無法確定，故A錯誤；對于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，則滿足ca>cb，但不滿足a<對于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，則滿足a＋b>0，c－b>0，但不滿足a>c，故C錯誤；對于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，則b－a>0，所以a+mb+m?判斷不等式正誤的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)進行驗證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時，要特別注意應(yīng)用性質(zhì)條件．(2)利用特殊值法排除錯誤不等式．(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性來比較．[跟進訓(xùn)練]2．(多選)若1a<1A．1a+b<1ab B．|C．a(chǎn)－1a>b－1b D．lna2>lnAC[由1a<1b<0，可知b<a<0.A中，因為a＋b<0，ab>0，所以1a+b<0，1ab>0.故有1a+b<1ab，即A正確；B中，因為b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>a，即a+b<0，故B錯誤；C中，因為b<a<0，又1a<1b<0，則－1a>－1b>0，所以a－1a>b－1b，故C正確；D中，因為b<a<0，根據(jù)考點三不等式性質(zhì)的應(yīng)用[典例3](多選)(2024·重慶模擬)已知－2<a＋b<4，2<2a－b<8，則下列不等式不正確的是()A．0<a<4 B．0<b<2C．－6<a＋2b<6 D．0<a＋2b<8BD[對于A，∵－2<a＋b<4，2<2a－b<8，∴－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8，∴0<3a<12，∴0<a<4，故A正確；對于B，∵2<2a－b<8，∴－8<b－2a<－2，∵－2<a＋b<4，∴－4<2a＋2b<8，∵?8<b?2a<?2，?4<2a+2b<8，∴－12<3b對于CD，設(shè)a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，則a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b，∴1＝m∴a＋2b＝53(a＋b)－13(2a－∵－2<a＋b<4，∴－103<53(a＋b)<∵2<2a－b<8，∴－83<－13(2a－b)<－∴－6<a＋2b＝53(a＋b)－13(2a－b)<6，故C正確求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運算求得代數(shù)式的取值范圍．提醒：在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大了變量的取值范圍．[跟進訓(xùn)練]3．(多選)已知6＜a＜60，15＜b＜18，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)b∈13，4 B．a(chǎn)C．a(chǎn)－b∈(－9，42) D．a(chǎn)+bAB[因為6＜a＜60，15＜b＜18，所以118＜1b＜115，－18＜－b＜－15，所以618＜ab＜6015，6＋15＜a＋b＜60＋18，6－18＜a－b＜60－15，即13＜ab＜4，21＜a＋b＜78，－12＜a－b課時分層作業(yè)(三)不等式的性質(zhì)一、單項選擇題1．(2024·北京昌平區(qū)期末)若a<b<0，c>d>0，則一定有()A．a(chǎn)c>bd B．a(chǎn)C．a(chǎn)d>bc D．a(chǎn)D[由于c>d>0，則1d>1c>0，又a<所以－a>－b>0，故－ad>－bc>0，所以ad2．設(shè)a，b為實數(shù)，則“0<ab<1”是“b<1a”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件D[充分性：若0<ab<1，則當(dāng)a<0時，0>b>1a，所以b<1a不成立；必要性：若b<1a，則當(dāng)a<0時，ab3．若6<a<10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，則cA．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)D[因為a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a，因為6<a<10，所以9<故選D.]4．設(shè)a＝2，b＝7?3，A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．b>c>aB[因為7+22－6+32＝9＋214?9?218<0，所以7+2<6+3，所以7?3<6?2，即b<c.又a－5．已知a>b>c>0，下列結(jié)論正確的是()A．2a<b＋c B．a(chǎn)(b－c)>b(a－c)C．1a?c>1b?c D．(a－c)3>(b－cD[∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A錯誤；取a＝3>b＝2>c＝1>0，則a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B錯誤；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴1a?c<1b?c，(a－c)3>(b－c)6．eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系正確的為()A．eπ·πe>ee·ππ B．eπ·πe＝ee·ππC．eπ·πe<ee·ππ D．不能確定C[eπ又0<eπ<1，∴0＜eπ即eπ·πeee·ππ<1，即eπ故選C.]7．(2023·廣東五校聯(lián)考)已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，則5a＋b的取值范圍為()A．[15，31] B．[14，35]C．[12，30] D．[11，27]D[因為1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21，則5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)∈[11，27].故選D.]8．若a<b<0，c>0，則下列不等式一定成立的是()A．1a<1b B．a(chǎn)－1b<C．ln(b－a)>0 D．a(chǎn)bcD[對選項A，1a?1b＝b?aab，因為a<b<0，所以ab>0，b－a>0，即b?aab>0，所以1a>1b，故A錯誤；對選項B，a－1b?b?1a＝a?b+1a?1b＝(a－b)·ab?1ab，因為a<b<0，所以a－b<0，ab＞0，不能判斷ab與1之間的關(guān)系，故B不正確；對選項C，因為b－a>0，所以ln(b－a)的取值范圍為R，故C錯誤；對選項D，因為a<b二、多項選擇題9．(2023·湖南永州三模)已知a，b，c∈R，下列命題為真命題的是()A．若b<a<0，則bc2<ac2B．若b>a>0>c，則ca<C．若c>b>a>0，則ac?a>D．若a>b>c>0，則ab>BD[對于A，因為b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，即b·c2≤a·c2，故A錯誤；對于B，ca?cb＝cb?aab，因為b>a>0>c，所以所以ca?cb＝對于C，ac?a?bc?b＝ca?bc?ac?b，因為c>b>a>0，所以c－a所以ac?a即ac?a<b對于D，因為ab?a+cb+c＝ab+c?ba+cbb+c10．已知實數(shù)x，y滿足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，則()A．x的取值范圍為(－1，2)B．y的取值范圍為(－2，1)C．x＋y的取值范圍為(－3，3)D．x－y的取值范圍為(－1，3)ABD[因為－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，因為－3<x＋2y<2，所以－5<5x<10，則－1<x<2，故A正確；因為－3<x＋2y<2，所以－6<2x＋4y<4，因為－1<2x－y<4，所以－4<－2x＋y<1，所以－10<5y<5，所以－2<y<1，故B正確；因為－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－95<35(x＋2y)<65，?15<15(2x－y)<45，因為x＋y＝35(x＋2y)＋因為－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－25<－15(x＋2y)<35，?35<35(2x－y)<125，因為x－y＝－15(x＋2y)＋35(2三、填空題11．若－π2＜α＜β＜π2，則α－(－π，0)[由已知，得－π2＜α＜π2，?π2＜－β＜π2，所以－π＜α－β＜π，又α＜β，所以α－β12．a(chǎn)，b，c，d均為實數(shù)，使不等式ab＞cd＞0和ad＜bc都成立的一組值(a，b，c，(2，1，－3，－2)(答案不唯一)[根據(jù)不等式ab＞cd＞0和ad＜bc都成立，可知a，b同號，c，d同號，ab＞cd＞0?ab?cd＞0?ad?bcbd＞0，又ad＜bc?ad13．(2024·河南漯河模擬)某次全程為S的長跑比