專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用（真題測試）一、單選題1．（2023·山西·高二階段練習）對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋科學家沈括首創(chuàng)的“隙積木”就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為an，則a22=（

）A．275 B．277 C．279 D．2812．(2023·全國·高二課時練習）某種細胞開始時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個……按照此規(guī)律，6小時后細胞存活個數(shù)是（

）A．33 B．64 C．65 D．1273.(2023·遼寧葫蘆島·高二階段練習）設(shè)表示落在區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)個數(shù).在等比數(shù)列中，，，則（

）A．21 B．20 C．41 D．404．(2023·四川省高縣中學校高一階段練習（文））已知數(shù)列滿足，，令，若對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．(2023·青?！つM預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，若數(shù)列滿足，則m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．206．(2023·安徽·巢湖市第一中學高三期中（文））斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理?準晶體結(jié)構(gòu)?化學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項和為（

）A．2698 B．2697 C．2696 D．26957．(2023·浙江·高考真題（文））如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）若A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列D．是等差數(shù)列8．(2023·浙江·高考真題）已知成等比數(shù)列，且．若，則A． B． C． D．二、多選題9．(2023·湖北·武漢市第一中學高二期中）數(shù)學上有很多著名的猜想，“角谷猜想”（又稱“冰雹猜想”）就是其中之一，它是指任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．記正整數(shù)按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，若，則可能為（

）．A．64 B．16 C．8 D．110．(2023·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則11．(2023·黑龍江·哈師大附中高二期中）對于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”.下列敘述正確的有（

）A．若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，，則數(shù)列是周期數(shù)列C．若，則數(shù)列沒有最小值D．若，則數(shù)列有最大值12．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項和為，且，則下列說法正確的是（

）A．B．C．數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列D．滿足不等式的正整數(shù)n的最小值為63三、填空題13．(2023·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預(yù)測）若函數(shù)，其中n是正整數(shù)，則的最小值是______．14．(2023·全國·高三專題練習）某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿著紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為的長方形紙，對折1次可以得到和兩種規(guī)格的圖形，它們的周長之和為，對折2次可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的周長之和為，以此類推，則對折5次后能得到的所有不同規(guī)格圖形的種數(shù)為__________；如果對折次后，那么能得到的所有不同規(guī)格圖形的周長之和_____．15．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，在數(shù)列中，，對任意正整數(shù)n，，則數(shù)列的前n項和的最大值為___________.16．(2023·湖北·一模）2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進行這一過程若第1個圖中的三角形的周長為1，則第n個圖形的周長為___________；若第1個圖中的三角形的面積為1，則第n個圖形的面積為___________.四、解答題17．(2023·全國·高三專題練習）在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….記第行第個數(shù)為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.18．(2023·四川·高考真題（理））已知數(shù)列{}的首項為1，為數(shù)列{}的前n項和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.19．（2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．20．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．21．(2023·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為．(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)抽去數(shù)列中點第1項，第4項，第7項，…，第項，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，求證：．22．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2＝0上．(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和Tn；(3)若，求對所有的正整數(shù)n都有成立的k的取值范圍．專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用（真題測試）一、單選題1．（2023·山西·高二階段練習）對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋科學家沈括首創(chuàng)的“隙積木”就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為an，則a22=（

）A．275 B．277 C．279 D．281答案：A【解析】分析：由題意得到，再由累加法的到數(shù)列的通項公式，進而得到結(jié)果.【詳解】因為，，，…，，由累加法的到：，所以.故選：A.2．(2023·全國·高二課時練習）某種細胞開始時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個……按照此規(guī)律，6小時后細胞存活個數(shù)是（

）A．33 B．64 C．65 D．127答案：C【解析】分析：由題意可得，構(gòu)造等比數(shù)列可求出，從而可求出結(jié)果【詳解】將開始時的細胞個數(shù)記為，1小時后的細胞個數(shù)記為，2小時后的細胞個數(shù)記為，3小時后的細胞個數(shù)記為，……，由題意可得，當時，，則，所以數(shù)列是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，所以，所以，所以6小時后細胞存活個數(shù)為，故選：C3.(2023·遼寧葫蘆島·高二階段練習）設(shè)表示落在區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)個數(shù).在等比數(shù)列中，，，則（

）A．21 B．20 C．41 D．40答案：C【解析】分析：設(shè)的公比為q，根據(jù)和求出，從而得和，再根據(jù)的定義可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)的公比為q，則，所以，則，所以.所以落在區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)共有41個，故.故選：C4．(2023·四川省高縣中學校高一階段練習（文））已知數(shù)列滿足，，令，若對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)題意整理可得，即，利用累加法可得，結(jié)合題意可得，即，運算求解．【詳解】∵，則∴又∵∴由題意可得：，則∴故選：D．5．(2023·青?！つM預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，若數(shù)列滿足，則m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．20答案：B【解析】分析：根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的前n項和結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，求出異號的相鄰兩項即可作答.【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，則，有，，有，顯然數(shù)列是遞減的，且，因，所以.故選：B6．(2023·安徽·巢湖市第一中學高三期中（文））斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理?準晶體結(jié)構(gòu)?化學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項和為（

）A．2698 B．2697 C．2696 D．2695答案：C【解析】分析：根據(jù),遞推得到數(shù)列,然后再得到數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列求解.【詳解】因為所以數(shù)列為此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列為:是以6為周期的周期數(shù)列,所以.故選：C.7．(2023·浙江·高考真題（文））如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）若A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列D．是等差數(shù)列答案：A【解析】【詳解】表示點到對面直線的距離（設(shè)為）乘以長度的一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那么我們需要知道的關(guān)系式，由于和兩個垂足構(gòu)成了直角梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．8．(2023·浙江·高考真題）已知成等比數(shù)列，且．若，則A． B． C． D．答案：B【解析】分析：先證不等式，再確定公比的取值范圍，進而作出判斷.【詳解】令則，令得，所以當時，，當時，，因此，若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，，選B.二、多選題9．(2023·湖北·武漢市第一中學高二期中）數(shù)學上有很多著名的猜想，“角谷猜想”（又稱“冰雹猜想”）就是其中之一，它是指任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．記正整數(shù)按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，若，則可能為（

）．A．64 B．16 C．8 D．1答案：ACD【解析】分析：根據(jù)題意，利用利用帶入檢驗法對四個選項一一驗證即可.【詳解】利用帶入檢驗法：選項A6432168421選項B16842142選項C8421421選項D1421421所以為64、8、1都符合題意，為16不符合題意.故選：ACD10．(2023·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則答案：ACD【解析】分析：根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等差中項，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則對于A，由數(shù)列是等差數(shù)列及，所以可取，所以不成立，故A正確；對于B，由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以恒成立，故B不正確；對于C,由數(shù)列是等差數(shù)列，可取，所以不成立，故C正確；對于D，由數(shù)列是等差數(shù)列，得，無論為何值，均有所以若，則恒不成立，故D正確.故選：ACD.11．(2023·黑龍江·哈師大附中高二期中）對于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”.下列敘述正確的有（

）A．若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，，則數(shù)列是周期數(shù)列C．若，則數(shù)列沒有最小值D．若，則數(shù)列有最大值答案：BD【解析】分析：可通過的單調(diào)性或反例說明錯誤；令，可推導(dǎo)得到，由此整理得，知正確；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況下，根據(jù)的單調(diào)性可確定的單調(diào)性和正負，由此確定最大值和最小值，知的正誤.【詳解】對于，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，但在整個定義域上不是單調(diào)遞增，可知數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列不是單調(diào)遞增（如，則，），錯誤；對于，是常數(shù)列，可設(shè)，則，，不是常數(shù)列，，，整理得：，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，正確；對于，若，則，①當為偶數(shù)時，且單調(diào)遞增，，且單調(diào)遞增，此時；②當為奇數(shù)時，且單調(diào)遞減，，且單調(diào)遞減，此時；綜上所述：既有最大值，又有最小值，錯誤；正確.故選：BD.12．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項和為，且，則下列說法正確的是（

）A．B．C．數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列D．滿足不等式的正整數(shù)n的最小值為63答案：ABD【解析】分析：由和遞推公式→→，→A選項正確，B選項正確；→→為單調(diào)遞增的等差數(shù)列→C選項不正確；→→→D選項正確【詳解】因為，所以，所以，則，解得，，所以，，所以A選項正確，B選項正確；因為，所以，所以，又，所以，所以為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，則數(shù)列不是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以C選項不正確；，則，，解得，又，所以正整數(shù)n的最小值為63，所以D選項正確．故選：ABD．三、填空題13．(2023·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預(yù)測）若函數(shù)，其中n是正整數(shù)，則的最小值是______．答案：100【解析】分析：去絕對值，由等差數(shù)列求和公式化簡可解.【詳解】易知，要使取得最小值，正整數(shù)n必然在區(qū)間上，則∵，∴或時有最小值100．故答案為：10014．(2023·全國·高三專題練習）某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿著紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為的長方形紙，對折1次可以得到和兩種規(guī)格的圖形，它們的周長之和為，對折2次可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的周長之和為，以此類推，則對折5次后能得到的所有不同規(guī)格圖形的種數(shù)為__________；如果對折次后，那么能得到的所有不同規(guī)格圖形的周長之和_____．答案：

【解析】分析：設(shè)沿著長方形紙長邊折疊k（且）次，則要沿著長方形紙片短邊折疊次，出現(xiàn)的規(guī)格情況有次，且周長為，利用等比數(shù)列求和公式進行求解.【詳解】設(shè)沿著長方形紙長邊折疊k（且）次，則要沿著長方形紙片短邊折疊次，故折疊5次后共出現(xiàn)的規(guī)格情況為，，即有，，，，，，共6種規(guī)格；同理，對折次共有種規(guī)格，，，……，．故答案為：，15．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，在數(shù)列中，，對任意正整數(shù)n，，則數(shù)列的前n項和的最大值為___________.答案：77【解析】分析：先由題給條件判定數(shù)列為等差數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式，利用數(shù)列的單調(diào)性即可求得其前n項和的最大值.【詳解】因為，且為R上的奇函數(shù)，所以.又在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以為等差數(shù)列，且公差為，首項為20，所以，所以，所以最大，且故答案為77.16．(2023·湖北·一模）2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進行這一過程若第1個圖中的三角形的周長為1，則第n個圖形的周長為___________；若第1個圖中的三角形的面積為1，則第n個圖形的面積為___________.答案：

【解析】分析：由圖形之間的邊長的關(guān)系，得到周長是等比數(shù)列，再按照等比數(shù)列通項公式可得解；由圖形之間的面積關(guān)系及累加法，結(jié)合等比數(shù)列求和可得解.【詳解】記第個圖形為，三角形邊長為，邊數(shù)，周長為，面積為有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長；分析可知，即；，即當?shù)?個圖中的三角形的周長為1時，即，所以由圖形可知是在每條邊上生成一個小三角形，即即，，，利用累加法可得數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故是以為公比的等比數(shù)列，當?shù)?個圖中的三角形的面積為1時，，即，此時，，有條邊，則所以，所以故答案為：，四、解答題17．(2023·全國·高三專題練習）在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….記第行第個數(shù)為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.答案：（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.【解析】分析：（I）由數(shù)陣寫出，，，由此可歸納出.（II），利用錯位相減法求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由數(shù)陣可知：，，，由此可歸納出.（Ⅱ），所以，錯位相減得.18．(2023·四川·高考真題（理））已知數(shù)列{}的首項為1，為數(shù)列{}的前n項和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】【詳解】試題分析：本題考查數(shù)列的通項公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題和解決問題的能力、計算能力.第（Ⅰ）問，利用得到數(shù)列為等比數(shù)列，再結(jié)合2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列求出的公比q，從而利用等比數(shù)列的通項公式求解；第（Ⅱ）問，先利用雙曲線的離心率得到的表達式，再解出的公比q的值，最后利用等比數(shù)列的求和公式計算證明.試題解析：（Ⅰ）由已知，兩式相減得到.又由得到，故對所有都成立.所以，數(shù)列是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等差數(shù)列，可得，即，則，由已知,，故.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以雙曲線的離心率.由解得.因為，所以.于是，故.19．（2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．答案：（I）；（II）證明見解析.【解析】分析：（I）根據(jù)，求得，進而求得數(shù)列的通項公式，利用累加法求得數(shù)列的通項公式.（II）利用累乘法求得數(shù)列的表達式，結(jié)合裂項求和法證得不等式成立.【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（II）依題意設(shè)，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即，.20．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．答案：（1），，，證明見解析；（2）.【解析】分析：（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數(shù)學歸納法證明即可；（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項公式的特征，由錯位相減法求解即可．【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當時也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構(gòu)造法，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項均為0的常數(shù)列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：錯位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優(yōu)解】：裂項相消法，所以．［方法三］：構(gòu)造法當時，，設(shè)，即，則，解得．所以，即為常數(shù)列，而，所以．故．［方法四］：因為，令，則，，所以．故．【整體點評】（1）方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項從而歸納得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)學歸納法進行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項公式；方法三：由化簡得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項公式；方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項，歸納得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項公式．（2）方法一：根據(jù)通項公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；方法二：根據(jù)通項公式裂項，由裂項相消法求出，過程簡單，是本題的最優(yōu)解法；方法三：由時，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；方法四：將通項公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項和即可，其中數(shù)列的前項和借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨特，很好的簡化了運算．21．(2023·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n