中考數(shù)學(xué)最值題目歸納

考查學(xué)問點(diǎn)：1，“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)

對(duì)于線對(duì)稱”，“線段的平移”。

（2,代數(shù)統(tǒng)計(jì)最值題目3,二次函數(shù)中最值題目）

題目原型：飲馬題目造橋選址題目（完好平方程式配方

求多項(xiàng)式取值二次函數(shù)極點(diǎn)）

出題背景變式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、

圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。

解題總思路：找點(diǎn)對(duì)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”

幾何根本模型：/

前提：似下左圖，A、B是直線/同旁

的兩個(gè)定點(diǎn).

題目：在直線/上肯定一點(diǎn)P,使"+總的值最小.

方式：作點(diǎn)A對(duì)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A,連結(jié)交/于

點(diǎn)P,那么=的值最小

例工，似圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊三

角形，M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上隨意任性一點(diǎn)，將

BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針扭轉(zhuǎn)60。得到BN,毗連EN、AM、CM.

(1)求證：^AMB會(huì)^ENB；

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在那邊時(shí)，AM+CM的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在那邊時(shí)，AM+BM+CM的值最小，同時(shí)講明

出處；

(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為萬+1時(shí)，求正方形的

邊長(zhǎng)。

例2,似圖13,拋物線y=ax2+bx+

c(a^O)的極點(diǎn)為(1,4),交x軸于A、B,交y軸于D,

其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)

(1)求拋物線的解析式

(2)似圖14,過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,交y軸于

點(diǎn)F,其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,如果直線PQ為拋物線的對(duì)

稱軸，點(diǎn)G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，那么x軸上是否存在一點(diǎn)

H,使D、G、F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最小.如果存在,

求出那個(gè)最小值及G、H的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)講明出

處.

(3)似圖15,拋物線上是否存在一點(diǎn)T,過點(diǎn)T作x的

垂線，垂足為M,過點(diǎn)M作直線MN〃BD,交線段AD于點(diǎn)

N,毗連MD,使△DNMS/XBMD,如果存在，求出點(diǎn)T的坐

標(biāo)；如果不存在，講明出處.

例3,似圖1,四邊形AEFG與ABCD根基上正方形，它

們的邊長(zhǎng)分不為a,b(bN2a),且點(diǎn)F在AD上(以下題

目的結(jié)論可用a,b示意)

（1）求SADBF；

(2)把正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向扭轉(zhuǎn)45。得圖2,

求圖2中的SADBF；

(3)把正方形AEFG繞點(diǎn)A扭轉(zhuǎn)隨意任性角度，在扭轉(zhuǎn)

環(huán)節(jié)中，SADBF是否存在最大值，最小值？介入存在，試

求出最大值、最小值；介入不存在，請(qǐng)講明出處。

例4,似圖，在平面

直角坐標(biāo)系中，直線y=gx+l與拋物線y=ax?+bx-3父于A,B兩

點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3。點(diǎn)P是直線

AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),過點(diǎn)P

作x軸的垂線交直線AB與點(diǎn)C,作PDLAB于點(diǎn)D

(1)求a,b及sin/ACP的值

(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m

①用含m的代數(shù)式示意線段PD的長(zhǎng)，同時(shí)求出線

段PD長(zhǎng)的最大值；

②毗連PB,線段PC把4PDB分成兩個(gè)三角形，是否

存在合適的m值，使這兩個(gè)三角形的面積之比為9：10?

如果存在，開門見山寫出m值；如果不存在，講明出處.

例5,似圖，OC的內(nèi)接△AOB中,

AB=A0=4,tanAOB——>拋物線、=加+云經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)與

4

點(diǎn)(-2,6).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)直線m與。C相切于點(diǎn)A,交y于點(diǎn)D.動(dòng)點(diǎn)P在線

段0B上，從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線

段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P的速率為

每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，點(diǎn)Q的速率為每秒2個(gè)單位長(zhǎng),

當(dāng)PQ1AD時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)候t的值；

(3)點(diǎn)R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當(dāng)

△ROB面積最大時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo).

證明：（［）???△ABE是等邊三角形,

.\BA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,/.ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.即

ZMBA=ZNBE.

XVMB=NB,/.△AMB^AENB(SAS).(5分)

解:

D

--

Rc（2）①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),

A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小.（7分）

②似圖，毗連CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),

AM+BM+CM的值最小.（9分）

出處似下：毗連MN,由（工）知，△AMBgZ\ENB,:.

AM=EN,

VZMBN=60°,MB=NB,??△BMN是等邊三角

形.???BM=MN.

???AM+BM+CM=EN+MN+CM.（10分）

依照”兩點(diǎn)之間線段最短“，得EN+MN+CM=EC最短

???當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值

最小，即等于EC的長(zhǎng).（工工分）

例2,解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：廣心-1）2+4,

依題意，將點(diǎn)B（3,0）代入，得：a（3-l）2+4=0解得：

a=—1.1所求拋物線的解析式為：y=_（x-1）?+4

（2）似圖6,在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I,使得點(diǎn)F

與點(diǎn)I對(duì)于x軸對(duì)稱,

在x軸上取一點(diǎn)H,毗連HF、HLHG、GD、GE,那

么HF=HI...........................①

設(shè)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=kx+b(kWO),

???點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2,將x=2代入

拋物線丁=-(尤-1>+4,得

y=-(2-l)2+4=3

，點(diǎn)E坐標(biāo)為(2,3)

又:拋物線y=-(1)2+4圖象分不與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B、

D

，當(dāng)y=0時(shí)，-(X-I)2+4=O,.,.x=-1或

x=3

當(dāng)x=0時(shí)，y=-1+4=3,

???點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)D

(0,3)

圖6

又???拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=l,

???點(diǎn)D與點(diǎn)E對(duì)于PQ對(duì)稱，GD=GE..........................②

分不將點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)E(2,3)代入y=kx+b,得：

-k+b^0解得：k=l

2k+b=3b=l

過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=x+l

，當(dāng)x=0時(shí)，y=l???點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,1)

/.\DF\=2..............................................................................(3)

又丁點(diǎn)F與點(diǎn)I對(duì)于X軸對(duì)稱，

，點(diǎn)I坐標(biāo)為(0,-1)

\EI\=y/DE2+DI2=722+42=2出.....④

又???要使四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小，因?yàn)镈F是一個(gè)定

值，

，只要使DG+GH+HI最小即可

由圖形的對(duì)稱性和①、②、③，可知,

DG+GH+HF=EG+GH+HI

只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小

設(shè)過E(2,3)、I(0,-1)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：

y=+w0),

分不將點(diǎn)E(2,3)、點(diǎn)I(0,—1)代入y=得：

12/偽=3解得：H=2

P\=-1也=-1

過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=2x—1

當(dāng)x=l時(shí)，y=l；當(dāng)y=0時(shí)，x=g；

???點(diǎn)G坐標(biāo)為(1,1)，點(diǎn)H坐標(biāo)為(；，0)

，四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為：DF+DG+GH+HF=

DF+EI

由③和④，可知:

DF+EI=2+2V5

???四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為2+26。

(3)似圖7,由題意可知，NNMD=NMDB,

要使，△DNMs^BMD,只要使A絲=處即

MDBD

可，

即:MD1=NMxBD.............................................................⑤

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0),由MN〃:BD,可得

△AMN^AABD,

?NMAM

再由(1)、(2)可知，AM=l+a,BD=3&,AB=4

.…AMxBD(l+a)x3030八、

??MN=-----------=---------=(1+a)

AB44

MD2=OD2+OM2=片+9,

，⑤式可寫成：a2+9=—(l+a)x3V2

4

解得：或”3(不合題意，舍去)

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為弓，0)

又丁點(diǎn)T在拋物線>=-(尤-1)2+4圖象上,

.?.當(dāng)x=3時(shí)，y="

22

???點(diǎn)T的坐標(biāo)為G,絲).

22

例3,

解:(1)?.,點(diǎn)尸在AD上,.\AF2=a2+a2,

即AF=x/2ao

錦元數(shù)學(xué)工作室繪制

??DF-b-x/^ao

??SADBF=:DF.AB=；(b-/a).b=gb?-#ab°

(2)毗連DF,AF,由題意易知AF〃BD,

，四邊形AFDB是梯形。

錦元數(shù)學(xué)工作室繪制

.二△DBF與△ABD等高同底，即BD為

兩三角形的底。

由AF//BD,得到平行線間的間隔相等，即高相等，

?12

??SADBF=S'ABD=5b0

（3）正方形AEFG在繞A點(diǎn)扭轉(zhuǎn)的環(huán)節(jié)中，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡

是以點(diǎn)A為圓心，AF為半徑的圓。

第一種狀況：當(dāng)b>2a時(shí):存在最大值及最小值，

???△BFD的邊BD二夜b,

???當(dāng)F點(diǎn)到BD的間隔取得最大、最小值時(shí),SABFD取得最

大、最小值。

似圖，當(dāng)DF1BD時(shí),SABFD的最大值

二L岳.（也b+夜=

222

SABFD的最小值.（也b-揚(yáng)）=^=^。

222

錦元數(shù)學(xué)工作室繪制第二種狀況：當(dāng)b=2a時(shí),

存在最大值，不存在最小值,

S.BFD的最大值』修

例4,解：（1）由I+M）,得至Ux二一2,A(—2,0)o

由3+1=3,得到x=4,.?.B(4,3)o

:y=ax?+bx-3經(jīng)過A、B兩點(diǎn),

a=-

:凌:告解得2

1

b=-----

2

設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E,

么E(0,1)o

???依照勾股定理，得AE=—

???Pc〃y軸，.,.ZACP=ZAEOo

/.sinZACP=sinZAEO=—=_L=275。

AE755

（2）①由（1）可知拋物線的解析式為y=|x2-1x-3o

由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m9得P(m,^m29Cfm,^m+1

,PC二—m+l-[—m2--m-3I=-—m2+m+4o

2(22J2

在Rt^PCD中，PD=PCsin/ACP=Hm2+m+4)￥=-2m-lf+W，

,??當(dāng)＜0,?,?當(dāng)m=l時(shí)，PD有最大值W。

②存在知足前提的m值，或

例5,解：(1)將點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)(-2,6)的坐標(biāo)代入產(chǎn)一+灰

中，得方程組產(chǎn)+但。，

4a-2b=6

_1

解之，得"=2.，拋物線的解析式為廣42一2》.

b=-22

(2)毗連AC交0B于E.

???直線m切。C于AAAClm,二弦AB-AO,