2023—2024學(xué)年度（下）白山市高一教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4的半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.2.袋內(nèi)有質(zhì)地均勻且大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，用事件表示“第一次摸得白球”，用事件表示“第二次摸得白球”，則事件與是（）A.相互獨(dú)立事件 B.不相互獨(dú)立事件 C.對(duì)立事件 D.互斥事件3.設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列說法中正確的序號(hào)為（）①若，，則，為異面直線； ②若，，則；③若，，，則； ④若，，，則.A.①② B.②③ C.③④ D.②④4.已知復(fù)數(shù)，，（是的共軛復(fù)數(shù)），則（）A. B. C. D.5.如圖，在梯形中，在線段上，.若，則（）A. B. C. D.6.一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為2，1，3，，4，5，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3.5的概率為（）A. B. C. D.7.如圖，已知，，，，兩點(diǎn)分別滿足，，其中，，且，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.8.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列四個(gè)說法中正確的有（）①若，則一定是等邊三角形；②若，則一定是等腰三角形；③若，則一定是等腰三角形；④若，則一定是銳角三角形.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”，為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，運(yùn)動(dòng)員們都在積極參加集訓(xùn).已知某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次集訓(xùn)中7位裁判給出的分?jǐn)?shù)分別為9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，則這組數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為9.6 B.眾數(shù)為10 C.第80百分位數(shù)為9.8 D.方差為10.已知向量，，，且，則（）A.B.C.向量與的夾角為D.向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為11.在三棱錐中，記，其他棱長均為2，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，球與三棱錐的所有面都相切.若點(diǎn)在底面內(nèi)的射影位于內(nèi)部及其邊界，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，球與球的體積之比為8:1C.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，球的半徑為D.當(dāng)時(shí)，球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則__________.13.國家高度重視青少年視力健康問題，指出要“共同呵護(hù)好孩子的眼睛，讓他們擁有一個(gè)光明的未來”.某校為了調(diào)查學(xué)生的視力健康狀況，決定從每班隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.若某班有50名學(xué)生，將每一名學(xué)生從01到50編號(hào)，從下面所給的隨機(jī)數(shù)表的第2行第4列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個(gè)數(shù)字，則選取的第四個(gè)號(hào)碼為__________.隨機(jī)數(shù)表如下01543287659542875346795325865741336983244597738652443578624114.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，一平面經(jīng)過點(diǎn)且垂直于直線，則該平面截四棱錐所得截面的面積為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知，，.（1）求；（2）求向量與的夾角的余弦值.16.（15分）為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），高一年級(jí)某班班主任對(duì)本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息，解決下列問題.（1）求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)；（2）①估計(jì)這40名學(xué)生周末學(xué)習(xí)時(shí)間的25%分位數(shù)；②將該班學(xué)生周末學(xué)習(xí)時(shí)間從低到高排列，估計(jì)第10名學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)長.17.（15分）如圖，已知與關(guān)于直線對(duì)稱，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到.若，，，四點(diǎn)共線，且，.（1）求的長；（2）求的面積.18.（17分）Matlab是一種數(shù)學(xué)軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學(xué)習(xí)、圖象處理與計(jì)算機(jī)視覺、信號(hào)處理、量化金融與風(fēng)險(xiǎn)管理、人工智能機(jī)器人和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，推動(dòng)了人類基礎(chǔ)教育和基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展.某學(xué)校舉行了相關(guān)Matlab專業(yè)知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為（），且在考試中每人各題的答題結(jié)果互不影響.已知每題甲、乙同時(shí)答對(duì)的概率為，恰有一人答對(duì)的概率為.（1）求和的值；（2）試求兩人共答對(duì)3道題的概率.19.（17分）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

2023-2024學(xué)年度（下）白山市高一教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)答案1.D【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，由題意得，解得，又側(cè)面展開圖是半徑為4的半圓，即圓錐的母線長為4，則圓錐的高，所以該圓錐的體積為.2.A【解析】依題意，有放回地摸球，事件與可以同時(shí)發(fā)生，因此事件與不互斥，更不對(duì)立，CD錯(cuò)誤；顯然，，因此與是相互獨(dú)立事件，A正確，B錯(cuò)誤.3.B【解析】對(duì)于①：因?yàn)槠矫娴钠叫芯€和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，故②正確；對(duì)于③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；對(duì)于④：兩直線平行，和這兩條直線分別垂直的平面也平行，故④錯(cuò)誤.4.B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，，所以，，所以.5.D【解析】依題意設(shè)，則，又，且，不共線，所以，即，所以，即.6.C【解析】顯然的可能取值有1，2，3，4，5，6，共有6種可能，除去將數(shù)據(jù)按升序排列可得1，2，3，4，5，可知這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中間兩數(shù)必有3，若這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3.5，則中間兩數(shù)應(yīng)為3，4，可得，共有3種可能，所以這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3.5的概率為.7.B【解析】因?yàn)?，，，所以，，所以，?又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，即的最小值為1.8.B【解析】對(duì)于①，，由正弦定理可得，即，所以，所以是等邊三角形，故①正確；對(duì)于②，由正弦定理可得，可得，所以或，所以或，所以是等腰或直角三角形，故②不正確；對(duì)于③，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，由正弦定理可得，所以為等腰三角形，故③正確；對(duì)于④，由余弦定理可得，所以為銳角，而，不一定是銳角，故④不正確.9.ABD【解析】對(duì)于A，平均數(shù)，故A正確；對(duì)于B，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為10，故B正確；對(duì)于C，，第80百分位數(shù)為第6位，即10，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方差為，故D正確.10.BC【解析】因?yàn)椋?，所以，解得，所以，，，所以；，所以；設(shè)與的夾角為，則，又，所以；向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.11.CD【解析】設(shè)球、球的半徑分別為，，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榕c均為等邊三角形，所以，，所以平面，所以三棱錐的體積，解得，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐，此時(shí)球與球的球心重合，且在三棱錐的高上.在線段上取點(diǎn)，使得，連接，則是的中心，所以底面，此時(shí)球與的球心在線段上，且在的平分線上，可得，所以球與球的體積之比為27:1，故B錯(cuò)誤；當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面，則底面，所以，，所以三棱錐的體積為.由題可知，與的面積均為，由等積法可得，解得，故C正確；取的中點(diǎn)，連接，連接，.因?yàn)?，所以在平面?又，且，所以在線段上，且.在中，由勾股定理得①，同理在中，由勾股定理得②，②-①得，所以，與聯(lián)立得，所以，所以球的表面積，故D正確.12.【解析】由題意可知，，，則.13.44【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表的讀取方法，第2行第4列的數(shù)為3，每次從左向右選取兩個(gè)數(shù)字，如下：32，58，65，74，13，36，98，32，44；其中58，65，74，98不在編號(hào)范圍內(nèi)，舍去，再去除重復(fù)的，剩下的號(hào)碼為32，13，36，44，所以選取的第四個(gè)號(hào)碼為44.14.【解析】如圖，設(shè)在，上的射影分別為，，連接，因?yàn)榈酌?，所以平面底?又平面底面，，所以平面，所以.又，，所以平面.因?yàn)椋矫?，所以，，又，，所以平?在中，，所以.連接，在中，，，得，，所以的面積.設(shè)平面與棱的交點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知為點(diǎn)在上的射影，與全等，所以該平面截四棱錐所得截面的面積為.15.解：（1）由，，，可得，所以，所以.（2）由（1）得，設(shè)向量與的夾角為，則.16.解：（1）由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率為，則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)為.（2）①學(xué)習(xí)時(shí)間在5小時(shí)以下的頻率為，學(xué)習(xí)時(shí)間在10小時(shí)以下的頻率為，所以25%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，則，所以這40名學(xué)生周末學(xué)習(xí)時(shí)間的25%分位數(shù)為8.75.②第10名是40名學(xué)生的25%，因而問題相當(dāng)于求25%分位數(shù)，也就是估計(jì)第10名學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)長，為8.75小時(shí).17.解：（1）由題意可得，，所以為等邊三角形，則，在中，，，設(shè)，則由余弦定理可得，即，整理得，得（負(fù)值舍去），所以.（2）在中，由正弦定理可得，即，得，所以，所以.在中，，，所以的面積.18.解：（1）由題意可得即，解得或.由于，所以，.（2）設(shè)“甲同學(xué)答對(duì)了道題”，“乙同學(xué)答對(duì)了道題”，.由題意得，，，，.設(shè)“甲、乙兩人共答對(duì)3道題”，則.由于和相互獨(dú)立，與互斥，