分類討論思想在相似形中的應(yīng)用專項素養(yǎng)綜合全練(五)

1.如圖,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一點,AD=12,在

AB上取一點E,使以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似,則AE的長為?(

)A.16

B.14C.16或14

D.16或9D解析本題分兩種情況:①如圖1,當(dāng)△ADE∽△ACB時,

=

,∵AB=24,AC=18,AD=12,∴AE=16;②如圖2,當(dāng)△ADE∽△ABC時,

=

,∵AB=24,AC=18,AD=12,∴AE=9.故選D.

圖1

圖22.如圖,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,點

P在BD上由點B向點D移動,當(dāng)點P移動到離點B多遠時,△APB和△CPD相似?

解析∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°.①當(dāng)∠A=∠CPD時,△ABP∽△PDC,∴

=

,即

=

,解得BP=2(cm)或BP=12(cm);②當(dāng)∠A=∠C時,△ABP∽△CDP,∴

=

,即

=

,解得BP=

(cm).即PB=2cm或12cm或

cm時,△PAB與△PCD相似.3.(2024福建泉州五中月考)如圖,在△ABC中,AB=8cm,BC=1

6cm,點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動,點Q

從點B開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動,如果點P、Q

分別從點A、B同時出發(fā),經(jīng)過幾秒△PBQ與△ABC相似?試

說明理由.

解析設(shè)經(jīng)過x秒△PBQ與△ABC相似,由題意知AP=2xcm,BQ=4xcm,∵AB=8cm,BC=16cm,∴BP=AB-AP=(8-2x)cm,∵∠B=∠B,∴當(dāng)

=

,即

=

時,△PBQ∽△ABC,此時x=2;當(dāng)

=

,即

=

時,△QBP∽△ABC,此時x=0.8,∴經(jīng)過2秒或0.8秒△PBQ與△ABC相似.4.如圖,在一塊直角三角板ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,

將另一個含30°角的直角三角板EDF的30°角的頂點D放在

AB邊上,E、F分別在AC、BC上,DE始終與AB垂直,若△CEF

與△DEF相似,求AD的長.

解析∵∠EDF=30°,ED⊥AB于D,∴∠FDB=∠B=60°,∴△BDF是等邊三角形.∵BC=1,∠A=30

°,∴AB=2,∵BD=BF,∴2-AD=1-CF,∴AD=CF+1.①如圖1,∠FED=90°,此時△CEF∽△EDF,∠EDF=∠CEF=3

0°,∴EF=2CF,∴

=

,即

=

,解得CF=

,∴AD=

+1=

.

圖1②如圖2,∠EFD=90°,此時△CEF∽△FED,∴∠EDF=∠CFE

=30°,∴EF=2CE,∴

=

,即

=

,解得CF=

,∴AD=

+1=

.∴AD的長為

或

.

圖25.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于A(-1,0),B(3,0)

兩點,與y軸交于點C,該拋物線的頂點為M.(1)求該拋物線的表達式及點M的坐標(biāo);(2)連接BC、CM、BM,判斷△BCM的形狀,并說明理由;(3)坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形

與△BCM相似?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明

理由.解析

(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于A(-1,0),B

(3,0)兩點,∴

解得

則拋物線的表達式為y=x2-2x-3.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴點M的坐標(biāo)為(1,-4).(2)△BCM為直角三角形,理由如下:在y=x2-2x-3中,令x=0,得到y(tǒng)=-3,∴C(0,-3),又∵B(3,0),M(1,-4),∴根據(jù)勾股定理得BC=3

,BM=2

,CM=

,∵BM2=BC2+CM2,∴△BCM為直角三角形且∠BCM=90°.(3)存在.若∠APC=90°,則P點和O點重合,如圖1.連接AC,∵∠AOC=∠MCB=90°,且

=

=

,∴△AOC∽△MCB,∴點P的坐標(biāo)為(0,0).

圖1

圖2若∠PAC=90°,則P點在y軸上,如圖2,∵△AOC∽△MCB,△BCM∽△CAP,∴△COA∽△CAP,∵∠APO=∠APC,∠AOP=∠PAC=90°,∴△CAP∽△AOP,∴△COA∽△AOP,∴

=

,即

=

,∴OP=

,∴點P的坐標(biāo)為

.若∠PCA=90°,則P