備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第一篇三角函數(shù)與解三角形專題05三角形中的邊角、面積計(jì)算問題類型對(duì)應(yīng)典例三角形邊角面積的基本計(jì)算（方程思想的應(yīng)用）典例1三角形的邊角計(jì)算與三角函數(shù)求值相結(jié)合典例2以三角形為背景的開放性問題（新題型）典例3三角形形狀的判斷典例4解三角形與不等式相結(jié)合問題典例5解三角形與三角形的心相結(jié)合問題典例6解三角形與平面幾何圖形相結(jié)合問題典例7【典例1】【2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科)（新課標(biāo)Ⅰ)】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求．【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關(guān)于和的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果【典例2】【2020屆安徽省亳州市高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求.【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理將邊化角，再利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)可得；（2）利用正弦定理將邊化角，利用三角恒等變換可得，從而求出角，再用兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【典例3】【山東省德州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④.（1）滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對(duì)應(yīng)的面積.（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分）【思路引導(dǎo)】（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，結(jié)合題意得出，推出矛盾，可得出①②不能同時(shí)成為的條件，由此可得出結(jié)論；（2）在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對(duì)應(yīng)的邊和角，然后利用三角形的面積公式可求出的面積.【典例4】【2020屆廣東省中山市高三上學(xué)期期末】已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.（1）若，求；（2）若，試判斷的形狀.【思路引導(dǎo)】（1）利用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的形式，求得，再利用余弦定理求得的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值.（2）結(jié)合已知條件得到，，結(jié)合為銳角，求得，由此證得三角形是直角三角形.【典例5】【2020屆山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期期末】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）若，的面積為，求，的值；（2）若，且角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】先由正弦定理和三角恒等變換，同角的三角函數(shù)基本關(guān)系求出、的值；（1）利用余弦定理和三角形的面積公式列出方程組，求出b、c的值；（2）利用正弦定理和余弦定理，結(jié)合角為鈍角，求出k的取值范圍．【典例6】【2020屆湖南省湘潭市高三模擬考試】的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求b；（2）求內(nèi)切圓的半徑.【思路引導(dǎo)】（1）由得，即可計(jì)算出，再由余弦定理計(jì)算出邊.（2）由面積公式（為內(nèi)切圓的半徑），及解得.【典例7】【遼寧省丹東市2019-2020學(xué)年高三總復(fù)習(xí)階段測(cè)試】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合≠0，可得，利用三角形內(nèi)角和化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求A的值；（2）由已知利用三角形的面積公式可得，即可求解.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七校高三上學(xué)期期末】在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，，求及的面積.2.【天津市和平區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】在中，角所對(duì)的邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.3.【2020屆河南省高三上學(xué)年期末】，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊.已知，，且.（1）求的面積；（2）若，是邊上的三等分點(diǎn)，求.4．【福建省福州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)】在中，．（1）若，求；（2）為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．5.【2020屆山東省棗莊、滕州市高三上學(xué)期期末】在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.6.【2020屆福建省莆田市（第一聯(lián)盟體)上學(xué)期高三聯(lián)考】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）設(shè)，點(diǎn)在上，且，若的面積為，求的長(zhǎng).7.【2020屆福建省漳州市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).8.【2020年1月遼寧省沈陽(yáng)市一?！康膬?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.（1）求A及a；（2）若，求BC邊上的高.9.【安徽省阜陽(yáng)市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且.（1）求；（2）若，求的面積.10.【河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高三12月聯(lián)考】在中，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.11.【2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ】中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．12.【2020屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且.（1）求外接圓的半徑；（2）若，求的面積.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第一篇三角函數(shù)與解三角形專題05三角形中的邊角、面積計(jì)算問題類型對(duì)應(yīng)典例三角形邊角面積的基本計(jì)算（方程思想的應(yīng)用）典例1三角形的邊角計(jì)算與三角函數(shù)求值相結(jié)合典例2以三角形為背景的開放性問題（新題型）典例3三角形形狀的判斷典例4解三角形與不等式相結(jié)合問題典例5解三角形與三角形的心相結(jié)合問題典例6解三角形與平面幾何圖形相結(jié)合問題典例7【典例1】【2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科)（新課標(biāo)Ⅰ)】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求．【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關(guān)于和的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.解：（1）即：由正弦定理可得：，.（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因?yàn)樗?，?（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.【典例2】【2020屆安徽省亳州市高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求.【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理將邊化角，再利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)可得；（2）利用正弦定理將邊化角，利用三角恒等變換可得，從而求出角，再用兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【解】（1）由正弦定理得：即整理，得因?yàn)?，則又，（2）由正弦定理得：，，即，所以【典例3】【山東省德州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④.（1）滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對(duì)應(yīng)的面積.（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分）【思路引導(dǎo)】（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，結(jié)合題意得出，推出矛盾，可得出①②不能同時(shí)成為的條件，由此可得出結(jié)論；（2）在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對(duì)應(yīng)的邊和角，然后利用三角形的面積公式可求出的面積.解：（1）由①得，，所以，由②得，，解得或（舍），所以，因?yàn)?，且，所以，所以，矛?所以不能同時(shí)滿足①，②.故滿足①，③，④或②，③，④；（2）若滿足①，③，④，因?yàn)?，所以，?解得.所以的面積.若滿足②，③，④由正弦定理，即，解得，所以，所以的面積.【典例4】【2020屆廣東省中山市高三上學(xué)期期末】已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.（1）若，求；（2）若，試判斷的形狀.【思路引導(dǎo)】（1）利用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的形式，求得，再利用余弦定理求得的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值.（2）結(jié)合已知條件得到，，結(jié)合為銳角，求得，由此證得三角形是直角三角形.解：（1）∵，∴，，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴.（2）∵，∴，，∴或，，為銳角.∴（舍去），∴，∴為直角三角形.【典例5】【2020屆山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期期末】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）若，的面積為，求，的值；（2）若，且角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】先由正弦定理和三角恒等變換，同角的三角函數(shù)基本關(guān)系求出、的值；（1）利用余弦定理和三角形的面積公式列出方程組，求出b、c的值；（2）利用正弦定理和余弦定理，結(jié)合角為鈍角，求出k的取值范圍．解：△ABC中，4acosA＝，∴4sinAcosA＝＝sin（C+B）＝，∴，∴；（1）a＝4，∴a2＝b2+c2﹣2bc＝b2+c2＝16①；又△ABC的面積為：S△ABC==∴＝8②；由①②組成方程組，解得b＝4，c＝2或b＝2，c＝4；（2）當(dāng)＝（k＞0），b＝kc，∴a2＝b2+c2﹣2bc?＝（kc）2+c2﹣2kc?c?（k2k+1）c2；又C為鈍角，則a2+b2＜c2，即（k2k+1）+k2＜1，解得0＜k；所以k的取值范圍是．【典例6】【2020屆湖南省湘潭市高三模擬考試】的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求b；（2）求內(nèi)切圓的半徑.【思路引導(dǎo)】（1）由得，即可計(jì)算出，再由余弦定理計(jì)算出邊.（2）由面積公式（為內(nèi)切圓的半徑），及解得.解：（1）由，得，則又，所以.由余弦定理得，，即，即，解得或5.若，則為等腰直角三角形，與矛盾，舍去，故.（2）當(dāng)時(shí)，的面積為，則內(nèi)切圓的半徑.【典例7】【遼寧省丹東市2019-2020學(xué)年高三總復(fù)習(xí)階段測(cè)試】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合sinB≠0，可得，利用三角形內(nèi)角和化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求A的值（2）由已知利用三角形的面積公式可得，即可求解.解：如圖：（1），∴由正弦定理可得，，，，，，，，．（2），，，，∴由，可得．【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七校高三上學(xué)期期末】在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求及的面積.【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)得，再由得，根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可求得角的大?。唬?）根據(jù)余弦定理得建立關(guān)于的方程，解之可得，再根據(jù)三角形的面積公式可求得三角形的面積.解：（Ⅰ），，由正弦定理可得，又，，，，，所以，故.（Ⅱ），，由余弦定理可得：，即,解得或（舍去），故.所以.2.【天津市和平區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】在中，角所對(duì)的邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【思路引導(dǎo)】（1），由余弦定理可得，再由正弦定理可得,將，代入化簡(jiǎn)可得，從而求出的值.（2）由條件，可知，又，進(jìn)而可求出，，以及的值，利用兩角差的余弦即可求出結(jié)果.解：（1）∵,由余弦定理可得，∴由正弦定理得,又∵,∴,∴，又∵,解得.（2）由（1）知,∴,,∴3.【2020屆河南省高三上學(xué)年期末】，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊.已知，，且.（1）求的面積；（2）若，是邊上的三等分點(diǎn)，求.【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合余弦定理求得，根據(jù)三角形面積公式求得三角形的面積.（2）首先利用余弦定理求得，求得，判斷出，由此證得，解直角三角形求得.解：（1）∵，∴由正弦定理得.∵，∴.又，∴，∴，∴的面積.（2）設(shè)靠近點(diǎn)，則.在中，由余弦定理，得.又，∴.∵，∴，故.4．【福建省福州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)】在中，．（1）若，求；（2）為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)已知條件和利用正弦定理可求出，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求出；(2)根據(jù)題意知為等腰三角形，再利用余弦定理得出為等邊三角形可得，從而求出的面積．解：（1）在中，由正弦定理及題設(shè)得，故，解得，又，所以.（2）設(shè)，則．在中，由余弦定理得，，即，①在等腰中，有，②聯(lián)立①②，解得或（舍去）．所以為等邊三角形，所以，所以．解法二：（1）同解法一．（2）設(shè)，則因?yàn)?，所以，由余弦定理得，得，所以，解得或（舍去）．所以為等邊三角形，所以，所以?.【2020屆山東省棗莊、滕州市高三上學(xué)期期末】在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.【思路引導(dǎo)】無(wú)論選哪一個(gè)，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式，展開后，可求得角，再由余弦定理求得，從而易求得三角形面積．在橫線上填寫“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因?yàn)?，所?從而有.又，所以由余弦定理及，得即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.將代入，解得.所以.6.【2020屆福建省莆田市（第一聯(lián)盟體)上學(xué)期高三聯(lián)考】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）設(shè)，點(diǎn)在上，且，若的面積為，求的長(zhǎng).【思路引導(dǎo)】(1)由正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可求解；(2)由題意得出的面積，由三角形面積公式得出，再由余弦定理求出的長(zhǎng).解：（1）∵∴∴∴∴∴∴又∵，∴∴，且，∴（2）∵，∴∵，∴，且∴，即∴∴∴∴.7.【2020屆福建省漳州市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).【思路引導(dǎo)】（1）利用三角恒等變換將化簡(jiǎn)為，再由正弦定理將角化邊，最后利用余弦定理即可求出的值.（2）設(shè)，則，在和中，分別利用余弦定理求出邊，即可求出三角形的周長(zhǎng).解：解：（1）由可得，，，，由正弦定理可得..則由余弦定理可得.（2）設(shè)，則.在和中，利用余弦定理可得，，結(jié)合（1）可得，，兩式相加可得，即，故的周長(zhǎng).8.【2020年1月遼寧省沈陽(yáng)市一?！康膬?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.（1）求A及a；（2）若，求BC邊上的高.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得a；根據(jù)二倍角正弦公式化簡(jiǎn)可得A；（2）先根據(jù)余弦定理求得，再根據(jù)三角形面積公式求BC邊上的高.解：（1）；（2）由余弦定理得,設(shè)BC邊上的高為..即BC邊上的高為9.【安徽省阜陽(yáng)市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，