(時間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分)1．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，＋＝2，則()A．＋＝0 B．＋＝0C．＋＝0 D．＋＋＝0解析：如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義，＋＝2?P是AC的中點，故＋＝0.答案：B2．(·惠州模擬)在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝λ＋μ，則eq\f(μ,λ)的值為()A．1 B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,3)解析：＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)∴eq\f(μ,λ)＝2.答案：C3．(·杭州模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若＝λ＋(λ∈R)，則點P一定在()A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上解析：∵＝λ＋∴－＝λ＋∴＝－λ∴P、A、C三點共線，即P在AC邊所在的直線上．答案：B4．已知a，b是不共線的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則A、B、C三點共線的充要條件為()A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2－1＝0 D．λ1λ2＋1＝1解析：A、B、C三點共線?∥?λ1λ2－1×1＝0?λ1λ2＝1.答案：C5．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的()A．重心 B．垂心C．內(nèi)心 D．外心解析：由題意得，＝λ(＋)，令＋＝，則AD與BC互相平分，又＝λ，即P點在直線AD上，而AD在BC邊的中線上，所以P點的軌跡必經(jīng)過△ABC的重心．答案：A6．已知△ABC中，點D是BC的中點，過點D的直線分別交直線AB、AC于E、F兩點，若＝λ(λ＞0)，＝μ(μ＞0)，則eq\f(1,λ)＋eq\f(4,μ)的最小值是()A．9 B.eq\f(7,2)C．5 D.eq\f(9,2)解析：由題意得，＋＝2＝λ＋μ?＝eq\f(λ,2)＋eq\f(μ,2)，又D、E、F在同一條直線上，可得eq\f(λ,2)＋eq\f(μ,2)＝1.所以eq\f(1,λ)＋eq\f(4,μ)＝(eq\f(λ,2)＋eq\f(μ,2))(eq\f(1,λ)＋eq\f(4,μ))＝eq\f(5,2)＋eq\f(2λ,μ)＋eq\f(μ,2λ)≥eq\f(5,2)＋2＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)2λ＝μ時取等號．答案：D二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)7．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若－3＋2＝0，則||＝________.解析：由－3＋2＝0，得－＝2(－)，即＝2，于是||＝2.答案：28．已知O是正三角形ABC內(nèi)部的一點，＋2＋3＝0，則△OAB的面積與△OAC的面積之比是________．解析：分別延長OB到B1，OC到C1，使＝2，＝3，故＋＋＝0，所以O(shè)為△AB1C1的重心，則＝，eq\f(S△OAB,S△OAC)＝＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中，λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.解析：如圖，∵ABCD為?，且E、F分別為CD、BC中點．∴＝＋＝(－)＋(－)＝(＋)－eq\f(1,2)(＋)＝(＋)－eq\f(1,2)，∴＝eq\f(2,3)(＋)，∴λ＝μ＝eq\f(2,3)，∴λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)三、解答題10．已知＝λ＋μ(λ、μ為實數(shù))，若A、B、C三點共線，求證λ＋μ＝1.證明：∵＝λ＋μ∴＝－＝(λ－1)＋μ＝－＝λ＋(μ－1)又∵A、B、C三點共線∴＝k即eq\f(λ－1,λ)＝eq\f(μ,μ－1)＝k∴λ＋μ＝1.11．如圖所示，若四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點，已知＝a，＝b，＝c，試用a、b、c表示，，＋.解：＝＋＋＝－a＋b＋c，∵＝＋＋，∴＝－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)c，＝－＝－b，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a，∴＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c.12．如圖，在△ABC中，在AC上取點N，使得AN＝eq\f(1,3)AC，在AB上取點M，使得AM＝eq\f(1,3)AB，在BN的延長線上取點P，使得NP＝eq\f(1,2)BN，在CM的延長線上取點Q，使得MQ＝λCM時，＝，試確定λ的值．解：∵＝－＝eq\