2.2直線與圓的位置關系泰州市教育局教研室唐咸勝教學目標：1．在學生能夠應用平面幾何知識判斷直線與圓的位置關系的基礎上，轉(zhuǎn)化為應用坐標方法判斷直線與圓的位置關系．進一步理解坐標思想研究幾何問題的方法．認識方程組解的意義．2．理解直線與圓的位置的種類；能通過方程組的解和點到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關系．能夠解決直線和圓相關的問題．3．通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的位置關系，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想．教學重點：直線與圓的位置關系的判斷方法．直線與圓相關問題．教學難點：用坐標法判定直線與圓的位置關系．教學過程：一、情境設置1．復習與基礎練習．（1）直線kx－y＋1＋2k＝0過定點？（2）圓心為點（2，3），半徑為3的圓的標準方程？一般方程？（3）點（－2，1）與此圓的位置關系？學生自主思考，踴躍回答，教師參與分析，點明方法：解方程組、坐標法．2．問題：問題1：初中學過的平面幾何中，直線與圓的位置關系有幾種？教師通過PPT展示直線與圓的位置關系，學生回答．問題2：如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？通過圖形展示，教師引導學生總結出方法：判斷交點個數(shù)，聯(lián)系到方程的公共解，從而總結出解方程組的方法判定直線與圓之間的位置關系．二、學生活動1．思考畫圖并討論，說出自己的看法；2．在教師的引導下，觀察圖形，利用類比的方法，歸納出直線與圓的位置關系的種類；3．在教師的引導下動手做題．三、數(shù)學建構判斷直線與圓的位置關系的方法：直線l：Ax＋By＋C＝0；圓（x－a）2＋（y－b）＝r2．方法1：直線與圓的位置關系的判定方法：幾何法．利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系判斷：注：師生互動，共同總結判定方法，體會邏輯思維的嚴密性．方法2：利用直線與圓的公共點的個數(shù)進行判斷：代數(shù)法．設方程組的解的個數(shù)為n，則有：△＞0n＝2相交；△＝0n＝1相切；△＜0n＝0相離．四、數(shù)學運用1．例題．例1求直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100的公共點坐標，并判斷它們的位置關系．解直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100的公共點的坐標就是方程組的解，解這個方程組，得：，，所以公共點的坐標為（10，0），（，）．因為直線4x＋3y＝40和圓x2＋y2＝100有兩個公共點，所以直線和圓相交．變式：求直線4x＋3y＝50和圓x2＋y2＝100的公共點坐標，并判斷它們的位置關系．例2自點A（－1，4）作圓（x－2）2＋（y－3）2＝2的切線l，求切線l的方程．解法1當直線l垂直于x軸時，直線l：x＝－1與圓相離，不滿足條件．當直線l不垂直于x軸時，可設直線l的方程為y－4＝k（x＋1），即kx－y＋（k＋4）＝0．如圖，因為直線與圓相切，所以圓心（2，3）到直線l的距離等于圓的半徑，從而．解得k＝0或k＝．因此，所求直線l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0．解法2當直線l垂直于x軸時，直線l：x＝－1與圓相離，不滿足條件．當直線l不垂直于x軸時，可設直線l的方程為y－4＝k（x＋1），因為直線l與圓相切，所以方程組僅有一組解，由方程組消去y，得到關于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0．依題意，這個一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，所以判別式△＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，解得k＝0或k＝．因此，所求直線l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0．變式當點A的坐標為(2，2)或(1，1)時，結果分別有什么變化？例3求直線x－y＋2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長．解法1直線x－y＋2＝0和圓x2＋y2＝4的公共點坐標就是方程組的解，解這個方程組，得，，所以公共點的坐標為（，1），（0，2），從而知直線x－y＋2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為．解法2如圖，設直線x－y＋2＝0與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，弦AB的中點為M，則OM⊥AB（O為坐標原點），所以OM＝，從而AB＝2AM＝2.變式已知過點M（－3，－3）的直線l被圓所截得的弦長為，求直線l的方程．2．練習．求滿足下列條件的圓的標準方程：（1）直線x－y－2＝0被圓x2＋y2＝4所截得的弦長為．（2）若過點（－2，1）作圓（x－3）2＋（y－1）2＝r2的切線有且只有一條，則r＝．（3）若直線（m＋1）x＋y＋1＝0與圓（x－1）2＋y2＝1相切，則實數(shù)的m值為．（4）已知直線x－y＋b=0與圓x2＋y2＝25相離，求b的取值范圍．（5）求以C（1，3）為圓心，并和直線3x－4y－6＝0相切的圓的方程．（6）已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，與直線l：（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－4＝0（m∈R）．①證明：不論m取何實數(shù)，直線l與圓